人教版九年级上册-一元二次方程知识点复习和易错点总结课件

一元二次方程知识点复习与易错点总结一元二次方程知识点复习与1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)1.定义：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a3.项数和系数：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)一次项：ax2

一次项系数：a二次项：bx二次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．

3.项数和系数：二、解一元二次方程的方法x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各种一元二次方程的解法及使用类型二、解一元二次方程的方法x2+px+q=0（p一元二次方程一元二次方程的定义概念：①整式方程；②一元；③二次.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解法根的判别式及根与系数的关系根的判别式：Δ=b2-4ac根与系数的关系一元二次方程的应用营销问题、平均变化率问题几何问题、数字问题课堂小结一元二次方程一元二次方概念：①整式方程；②一元；③二次.列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄1、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是

，m=

。2、设x1、x2是方程x2－4X+1=0的两个根，则

x1+x2=

,x1x2=

，

x12+x22=(x1+x2)2-

=

(x1-x2)2

=(

)2–4x1x2=

3、判断正误：以2和-3为根的方程是x2－x-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

。x1+x22x1x2-3411412×2和-1基础练习1、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另x1+x21.解一元二次方程有哪些方法？

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2.解方程

(80－2x)(60－2x)＝15001.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公

解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式x2－70x＋825＝0．(2)确认a，b，c的值a＝1，b＝－70，c＝825(3)判断b－4ac的值

b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，(4)代入求根公式得x1＝55，x2＝15

2

解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为易错点及针对练习易错点及针对练习例1

若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0A1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

.4-20例1若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方例2

若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=

.【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.-1例2若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0针对训练2.

一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1针对训练2.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18AA例3(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.12C.16或12D.24A3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-74.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=04.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.例4已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是

（写出一个即可）．D05.下列所给方程中，没有实数根的是（）D0例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25【重要变形】例5已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m7.

已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A7.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x

例6

某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？例6某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20解析

本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.432x-2032-2(x-24)150解：（1）32-(x-24)×2=80-2x;（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由题意x≤28,∴x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128解析本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：例7

菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得

5（1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.例7菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发例8

为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）例8为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准解：设小道进出口的宽为xcm

（30-2x)(20-x)=532

x2-35x+34=0

x1=1x2=34（舍去）答：小道进出口的宽度应为1米.解：设小道进出口的宽为xcm

解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）平移转化方法总结解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析

(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．考点三一元二次方程的解法例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18AA【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)23.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.12C.16或12D.24A针对训练3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-74.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=04.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0考点四一元二次方程的根的判别式的应用例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.解析根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得,故选A.Δ考点四一元二次方程的根的判别式的应用例4已知关于x的一5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是

（写出一个即可）．D0针对训练5.下列所给方程中，没有实数根的是（）D0针对训练考点五一元二次方程的根与系数的关系例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25解析根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.故填25.【重要变形】考点五一元二次方程的根与系数的关系例5已知一元二次方程7.

已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A7.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x当堂检测当堂检测1.两个连续奇数的积是323，求这两个数。2.某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样树木的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？1.两个连续奇数的积是323，求这两个数。2.某种植物的主干3.有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛．3.有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交5.新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？6.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．5.新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：根据相等关系列出列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：检查求得的值是否符合实际意义；小结第五步：写出答案（及单位名称）。解应用题的一般步骤？第一步：设未知数(单位名称);第二步：根一元二次方程知识点复习与易错点总结一元二次方程知识点复习与1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)1.定义：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a3.项数和系数：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)一次项：ax2

一次项系数：a二次项：bx二次项系数：b常数项：c4.注意事项：(1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；(3)二次项系数不为0；(4)整式方程．

3.项数和系数：二、解一元二次方程的方法x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各种一元二次方程的解法及使用类型二、解一元二次方程的方法x2+px+q=0（p一元二次方程一元二次方程的定义概念：①整式方程；②一元；③二次.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次方程的解法直接开平方法配方法公式法因式分解法根的判别式及根与系数的关系根的判别式：Δ=b2-4ac根与系数的关系一元二次方程的应用营销问题、平均变化率问题几何问题、数字问题课堂小结一元二次方程一元二次方概念：①整式方程；②一元；③二次.列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．列方程解应用题的一般步骤：审设列解检答（1）审题：通过审题弄1、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是

，m=

。2、设x1、x2是方程x2－4X+1=0的两个根，则

x1+x2=

,x1x2=

，

x12+x22=(x1+x2)2-

=

(x1-x2)2

=(

)2–4x1x2=

3、判断正误：以2和-3为根的方程是x2－x-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

。x1+x22x1x2-3411412×2和-1基础练习1、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另x1+x21.解一元二次方程有哪些方法？

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2.解方程

(80－2x)(60－2x)＝15001.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公

解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式x2－70x＋825＝0．(2)确认a，b，c的值a＝1，b＝－70，c＝825(3)判断b－4ac的值

b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，(4)代入求根公式得x1＝55，x2＝15

2

解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为易错点及针对练习易错点及针对练习例1

若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0A1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是

，一次项系数是

，常数项是

.4-20例1若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方例2

若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=

.【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.-1例2若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0针对训练2.

一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为

.-1针对训练2.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18AA例3(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.12C.16或12D.24A3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-74.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=04.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.例4已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A.x2+x=0B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0D.4x2-5x+2=06.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是

（写出一个即可）．D05.下列所给方程中，没有实数根的是（）D0例5

已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝

．25【重要变形】例5已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m7.

已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等于（）A.7B.-2C.D.A7.已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x

例6

某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.

(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？例6某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20解析

本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.432x-2032-2(x-24)150解：（1）32-(x-24)×2=80-2x;（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.解得

x1=25,x2=35.由题意x≤28,∴x=25,即售价应当为25元.【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.128解析本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：例7

菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得

5（1-x)2=3.2

解得x1=1.8(舍去）,x2=0.2=20%.答：平均每次下调的百分率是20%.例7菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发例8

为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形）例8为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准解：设小道进出口的宽为xcm

（30-2x)(20-x)=532

x2-35x+34=0

x1=1x2=34（舍去）答：小道进出口的宽度应为1米.解：设小道进出口的宽为xcm

解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）平移转化方法总结解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与（a+b)2要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析

(1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．考点三一元二次方程的解法例3

(1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（）A.(x-1)2=6B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9(2)(易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（）

A．13B．15C．18D．13或18AA【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)23.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.12C.16或12D.24A针对训练3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-74.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=04.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0（要求写出必要解题步骤）.4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0考点四一元二次方程的根的判别式的应用例4

已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.B.m<2C.m≥0D.m<0A【易