高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第五讲导数的应用一教案理

高考数学二轮复习专题一会集常用逻辑用语不等式函数与导数第五讲导数的应用一教课方案理高考数学二轮复习专题一会集常用逻辑用语不等式函数与导数第五讲导数的应用一教课方案理16/16高考数学二轮复习专题一会集常用逻辑用语不等式函数与导数第五讲导数的应用一教课方案理第五讲导数的应用(一)年份201820172016

卷别观察角度及命题地址Ⅰ卷函数的奇偶性应用及切线方程求法·T5Ⅱ卷切线方程求法·T13Ⅲ卷切线方程求法·T14Ⅰ卷利用导数求三棱锥的体积·T16Ⅱ卷函数图象的极小值求法·T11利用导数研究函数的图象和性质·T7Ⅰ卷利用导数研究函数零点、不等式证明·T21曲线的切线方程·T16Ⅱ卷利用导数判断函数的单调性、证明不等式、求函数的最值问题·T21导数的几何意义、切线方程·T15Ⅲ卷导数与函数、不等式的综合应用·T21导数的运算及几何意义

命题解析及学科涵养命题解析高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．高考重点观察导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时出现在解答题第一问．学科涵养导数的应用主若是经过利用导数研究单调性解决最值、不等式、函数零点等问题，重视观察逻辑推理与数学运算这两大核心涵养与分析问题解决问题的能力.授课提示：对应学生用书第11页[悟通——方法结论]1．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；1(4)(logax)′＝xlna(a>0，且a≠1)．[全练——快速解答]1．若直线y＝ax是曲线y＝2lnx＋1的一条切线，则实数a的值为()A．B．C．D．解析：依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2lnx＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝a＝22，于是有x0解得x0x0＋1，ax0＝2ln答案：B2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若?(x)为奇函数，则曲线y＝?(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：法一：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又?(x)为奇函数，∴?(－x)＝－?(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，∴曲线y＝?(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.应选D.法二：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，a＝1，即?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，∴曲线y＝?(x)在点(0,0)应选D.答案：D

处的切线方程为

y＝x.3．(2018·山东四市联考

)已知函数

f(x)＝

x3b23－2x＋ax＋1的部分图象以下列图，则函数g(x)＝alnx＋f′x在点(b，g(b))处的切线的斜率的最小值是________．a解析：由题意，f′(x)＝x2－bx＋a，依照f(x)的图象的极大值点、极小值点均大于零，a2－ba2－bab可得b>0，a>0，又g′(x)＝x＋a，则g′(b)＝b＋a＝b＋a≥2，当且仅当a＝b时取等号，因此切线斜率的最小值为2.答案：2求曲线y＝f(x)的切线方程的3各种类及方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，经过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点

P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率

f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．利用导数研究函数的单调性授课提示：对应学生用书第12页[悟通——方法结论]导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不用要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递加，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不拥有单调性．(2017·高考全国卷Ⅰxx－a－a2x.)(12分)已知函数fx＝ee?谈论f(x)的单调性；若fx≥0，求a的取值范围．?[学审题]条件信息想到方法注意什么信息?：已知f(x)的解析可求导函数f′(x)(1)要谈论函数的单调性，必定先求出式函数定义域信息?：f(x)≥0函数的最小值(2)对于含参数的问题，要依照不同样情f(x)min≥0况对参数进行分类谈论[规范解答](1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，(1分)f′(x)＝2e2xx2xx－ae－a＝(2e＋a)(e－a)．①若＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递加．a②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递加．(3分)③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝lna－2.当x∈－∞，ln－a时，f′(x)<0；2a当x∈ln－2，＋∞时，f′(x)>0；a故f(x)在－∞，ln－2上单调递减，在lna(6分)－2，＋∞上单调递加．①若a＝0，则f(x)＝e2x，因此f(x)＞0.(7分)②若a>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)获取最小值，最小值为2f(lna)＝－alna.从而当且仅当－a2lna≥0，即0<a≤1时，f(x)≥0.(9分)a③若a<0，则由(1)得，当x＝ln－2时，f(x)获取最小值，最小值为a23afln－2＝a4－ln－2.23a从而当且仅当a4－ln－2≥0，3即－2e4≤a<0时，f(x)≥0.(11分)3综上，a的取值范围是[－2e4，1](12分)求解或谈论函数单调性有关问题的解题策略谈论函数的单调性其实就是谈论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题能够概括为一个含有参数的一元二次不等式的解集的谈论：在能够经过因式分解求出不等式对应方程的根时，依照根的大小进行分类谈论．在不能够经过因式分解求出根的情况时，依照不等式对应方程的鉴识式进行分类谈论．2．谈论函数的单调性重点观察学科核心涵养中的逻辑推理与数学运算，表现了分类讨论思想及解析问题解决问题的能力.[练通——即学即用]1．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－26]6B.－∞，2C．[－26，＋∞)D．[－5，＋∞)2x2＋ax＋3解析：由题意得f′( )＝2x＋＋＝x≥0在(1，＋∞)上恒成立，xax∴g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立，a∴＝a2－24≤0或－4≤1，1≥0，a≥－4，∴－26≤a≤26或a≥－5，即a≥－26.答案：C2．(2018·荆州联考)已知函数f(x)＝x(lnx－a)．(1)当x≥1时，对任意实数b，直线y＝－x＋b与函数f(x)的图象都不相切，求实数a的取值范围；(2)当＝－1时，谈论f(x)在区间[t，t＋e](t>0)上的单调性；a(3)证明：当＝－1时，对任意的x1(x21成立．>0，都有·[)＋2]>x＋1axfee解析：(1)由f(x)＝x(lnx－a)(x≥1)，得f′(x)＝lnx－a＋1，由于对任意实数b，直线y＝－x＋b与函数f(x)的图象都不相切，因此f′(x)＝lnx－a＋1≠－1，即a≠lnx＋2.而函数y＝lnx＋2在[1，＋∞)上单调递加，因此lnx＋2≥ln1＋2＝2，故a<2.(2)当a＝－1时，f(x)＝x(lnx＋1)，f′(x)＝lnx＋2，1由f′(x)＝0得x＝e2.当0<t<12时，在[t，12)上，f′(x)<0，在(12，t＋e]上，f′(x)>0，eee11因此f(x)在[t，e2)上单调递减，在(e2，t＋e]上单调递加．1当t≥e2时，在[t，t＋e]上，f′(x)≥0恒成立，因此f(x)在[t，t＋e]上单调递加．1111综上所述，当0<t<e2时，f(x)在[t，e2)上单调递减，在(e2，t＋e]上单调递加；当t≥e2时，f(x)在[t，t＋e]上单调递加．x2证明：问题等价于证明当a＝－1时，f(x)>ex＋1－e2对任意的x>0恒成立．由(2)知当＝－1时，f()＝lnx＋x11在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递axxee增，1因此f(x)min＝f(e2)＝－e2.x21－x设g(x)＝ex＋1－e2(x>0)，则g′(x)＝ex＋1，因此()在(0,1)上单调递加，在(1，＋∞)上单调递减，gx()max＝g(1)＝－1gxe1从而当a＝－1时，对任意的x>0，都有f(x)≥－e2≥g(x)(等号不同样时取到)，2因此f(x)>ex＋1－e2成立，即对任意的x>0，都有121[f(x)＋2]>x＋1成立．xee利用导数研究函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第12页[悟通——方法结论]1．若在x0周边左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0周边左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处获取．(2018·高考全国卷Ⅰ)(12分)已知函数f(x)＝(1)；(2)，证明：[学审题]条件信息想到方法注意什么信息?：已知f(x)的解先求定义域，再求导函(1)易忽视定义域求法及参析式数，变形数对单调性的影响．信息?：谈论单调性参数分类标正的确立及(2)与极值点有关的双变量用导数判断单调性方法不等式证明，要明确消元、12极值点的定义及应用构造法信息?：两极值点x、x信息?：双变量不等式的双变量不等式证明，利用证明极值点消元、构造[规范解答](1)?(x)的定义域为(0，＋∞)，ax2－ax＋1?′(x)＝－x2－1＋x＝－x2.(2分)①若a≤2，则?′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，?′(x)＝0，因此()在(0，＋∞)上单调递减．(4分)?x②若a＞2，令?′(x)＝0，得a－a2－4＋a2－4或x＝.x＝22当x∈0，a－a2－4∪a＋a2－4，＋∞时，?′(x)＜0；22当x∈a2－4a＋a2－4时，?′(x)＞0.－a，22因此?(x)在0，a－a2－4，a＋a2－4上单调递减，在22，＋∞a－a2－4a＋a2－4上单调递加．2，2(6分)(2)证明：由(1)知，?(x)存在两个极值点当且仅当＞2.a由于?(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，因此xx＝1，不如设x＜x，则x＞1.(8分)12122?x－?x21lnx－lnx2lnx－lnx2－2lnx21＝－x1x2－1＋a11由于x1－x2x1－x2＝－2＋ax1－x2＝－2＋a1，－x2x2?x1－?x21因此x1－2＜a－2等价于2－x2＋2lnx2＜0.xx(10分)设函数(x1＋2lnx，由(1)知，()在(0，＋∞)上单调递减．)＝－gxxgx又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.因此1－x2＋2lnx2＜0，即?x1－?x2＜－2.xx－x2a21(12分)利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转变成已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在获取极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较获取函数的最值．[练通——即学即用]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A．－1B．－2e－3C．5e－3D．12＋ax－1)ex－1解析：由于f(x)＝(x，因此f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.由于x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，因此－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，因此a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′( )>0，解得x<－2或x>1，x令f′(x)<0，解得－2<x<1，因此f(x)在(－∞，－2)上单调递加，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递加，因此当x＝1时，f(x)获取极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.答案：A2．(2018·江西八校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)解析：f′(x)＝lnx－2ax＋1(x>0)，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同样的零点，lnx＋1令f′(x)＝0，则2a＝x，lnx＋1－lnx设g(x)＝x，则g′(x)＝x2，∴()在(0,1)上单调递加，在(1，＋∞)上单调递减，gx又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，1∴只需0<2a<1，即0<a<2.答案：B23．(2018·南昌模拟)设函数f(x)＝lnx－2mx－n(m，n∈R)．谈论f(x)的单调性；若f(x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，12＝1－4mx′( )＝－4，fxxmxx当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递加；当m>0时，令f′(x)>0得0<x<2mm，令f′(x)<0得x>2，mm∴f(x)在(0，mm)上单调递加，在(，＋∞)上单调递减．2m2mmm由(1)知，当m>0时，f(x)在(0，2m)上单调递加，在(2m，＋∞)上单调递减．∴(x)max＝mm111＝－ln2，()＝ln－2·－＝－ln2－ln－－ff2m2mm4mn2m2n1111∴n＝－2lnm－2，∴m＋n＝m－2lnm－2，1112－1令h(x)＝x－2lnx－2(x>0)，则h′(x)＝1－2x＝x，2x11h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递加，1h(x)min＝h(2)＝2ln2，1mn2授课提示：对应学生用书第119页一、选择题x2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()1．曲线y＝e在点(2，e)9222e2A.4eB．2eC．eD.2解析：由题意可得x，则所求切线的斜率2y′＝ek＝e，则所求切线方程为y－e2＝e2(x－2)．2212e2即y＝ex－e，∴S＝2×1×e＝2.答案：Dx＋12．(2018·西宁一检)设曲线y＝x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )A．－2B．211C．－2D.2解析：由y′＝－2处的切线斜率为－1ax＋y＋12得曲线在点(3,2)，又切线与直线x－120垂直，则a＝－2.答案：A3．(2018·北京模拟)曲线f(x)＝xlnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()ππA.6B.4C.πD.π321解析：由于f(x)＝xlnx，因此f′(x)＝lnx＋x·x＝lnx＋1，因此f′(1)＝1，所以曲线f(x)＝xlnx在点(1，fπ(1))处的切线的倾斜角为.4答案：B4．已知函数f()＝2－5＋2lnx，则函数f()的单调递加区间是( )xxxx1A.0，和(1，＋∞)B．(0,1)和(2，＋∞)21C.0，2和(2，＋∞)D．(1,2)22解析：函数f(x)＝x－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋x＝22－5＋2－－11>0，解得0<x<2或x>2，故函数f(x)的单调递加区间是0，2x＝x和(2，＋∞)．答案：C5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝(2－)，且当x∈(－∞，1)时，(x－fx1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f1，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )2A．a<b<cB．c<b<aC．<<D．<<cabbca解析：由于当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，因此f′(x)>0，因此函数f(x)在(－∞，1)上是单调递加函数，1因此a＝f(0)<f2＝b，又f(x)＝f(2－x)，因此c＝f(3)＝f(－1)，因此c＝f(－1)<f(0)＝a，因此c<a<b，应选C.答案：C6．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为

(

)A．[－3，＋∞)C．(－∞，－3)

B．(－3，＋∞)D．(－∞，－3]解析：由题意知

f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，因此f′(x)，f(x)随x的变化情况以下表：(－∞，－－3(－1(1，＋∞)x3)3,1)f′(x00＋－＋)f(x)极大值极小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，因此k≤－3.答案：Dex27．已知函数f(x)＝x2－kx＋lnx，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为( )A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)ex解析：2x－x21x－2x－k>0)．设()＝x′( )fkxxgxxxxxgxxx＝x－1e，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递加．x2ex∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝x与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e.答案：A8．已知函数f(x)＝lnx－(n>0)的最大值为()，则使( )－＋2>0成立的n的取nxgngnn值范围为()A．(0,1)B．(0，＋∞)11C.0，4D.2，＋∞解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，1′(x)＝x－n(x>0，n>0)，1当x∈0，n时，f′(x)>0；1当x∈n，＋∞时，f′(x)<0，11因此f(x)在0，n上单调递加，在n，＋∞上单调递减，1因此f(x)的最大值g(n)＝fn＝－lnn－1.设( )＝( )－＋2＝－lnn－＋1.hngnnn1由于h′(n)＝－n－1<0，因此h(n)在(0，＋∞)上单调递减．又h(1)＝0，因此当0<n<1时，h(n)>h(1)＝0，故使g(n)－n＋2>0成立的n的取值范围为(0,1)，应选A.答案：A二、填空题9．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．2解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝x＋1.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y＝2x.答案：y＝2x10．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－)＝( )，xfxf(x)＝ex－1＋x.∵当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线

y＝f(x)在点(1,2)

处的切线方程为

y－2＝2(x－1)，即

2x－y＝0.答案：2x－y＝011．(2018·太原二模

)若函数

f(x)＝sin

x＋ax为

R上的减函数，则实数

a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝cosx＋a，由题意可知，f′(x)≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数

a的取值范围是

(－∞，－

1]．答案：(－∞，－

1]12．(2018·新乡一模

)设

x1，x2是函数

f(x)＝x3－2ax2＋a2x

的两个极值点，若

x1<2<x2，则实数

a的取值范围是

________．解析：由题意得

f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点

x1，x2满足

x1<2<x2，因此

f′(2)

＝12－8a＋a2<0，解得

2<a<6.答案：(2,6)三、解答题a13．已知函数f(x)＝x－1＋ex(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在