连续时间域分析课件

12.3系统的冲激响应描述2.4卷积2.5卷积性质第二章连续时间域分析2.1基本信号2.2系统的微分方程描述电子教案目录12.3系统的冲激响应描述2.4卷积2.5卷积性质第二22.1基本信号1.正弦信号2.复指数信号3.阶跃信号4.冲激信号5.冲激偶信号22.1基本信号1.正弦信号2.复指数信号3.阶跃信号4.31.正弦信号A为振幅，θ为初相，ω为振荡角频率，周期T和频率f分别为2.1基本信号1.正弦信号正弦信号的定义注意：正弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号，具有同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。31.正弦信号A为振幅，θ为初相，ω为振荡角频率，周期T和频42.复指数信号欧拉公式一般形式的复指数信号定义为因此注意：虚部ω决定信号的振荡频率，而实部σ决定了信号振幅的变化，σ

>0时则是增幅振荡，而σ

<0时减幅振荡。2.1基本信号2.复指数信号42.复指数信号欧拉公式一般形式的复指数信号定义为因此注意：53.阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）2.1基本信号3.阶跃信号53.阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）6（2）阶跃信号的数学描述单位阶跃函数延迟时间的阶跃信号2.1基本信号3.阶跃信号6（2）阶跃信号的数学描述单位阶跃函数延迟时间的阶跃信号2.7（3）阶跃信号的特性函数t＞0部分的截取

①单边特性②加窗特性矩形脉冲加窗信号2.1基本信号3.阶跃信号7（3）阶跃信号的特性函数t＞0部分的截取①单边特性8例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)2.1基本信号3.阶跃信号8例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号f(t)=9（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号2.1基本信号3.阶跃信号9（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号2.1基本信号3.104.冲激信号（1）冲激信号的物理背景

冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。2.1基本信号4.冲激信号104.冲激信号（1）冲激信号的物理背景冲激11注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述

延迟单位冲激①δ(t)的狄拉克定义单位冲击函数一般冲激信号2.1基本信号4.冲激信号11注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学12②脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：

脉冲逼近：积分：极限：2.1基本信号4.冲激信号12②脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：脉冲逼近：积分：极13③频域积分定义法

此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住。意义：冲激函数可用无限个频率的虚指数的“和”表示。因为：所以：即：2.1基本信号4.冲激信号13③频域积分定义法此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的14（3）冲激信号（函数）的性质引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为

①冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数的积分为阶跃函数阶跃函数的微分为冲激函数微分2.1基本信号4.冲激信号14（3）冲激信号（函数）的性质引入冲激函数后，间断点的导数151516n0ε(t)例2.1.22.1基本信号4.冲激信号用冲激序列对连续信号抽样16n0ε(t)例2.1.22.1基本信号4.冲激信号用17③冲激函数的尺度变换性质其中a为不等于0的实常数推论当取时，有为偶函数所以解：根据冲激函数的性质进行化简：

例2.1.3和化简2.1基本信号4.冲激信号17③冲激函数的尺度变换性质其中a为不等于0的实常18例2.1.4写出右图所示信号的表达式，并求一阶导数解利用冲激函数的尺度变换性质和抽样性质，有：例2.1.5

化简表达式2.1基本信号4.冲激信号18例2.1.4写出右图所示信号的表达式，并求一阶195.单位冲激偶信号（1）定义：单位冲激函数的导数为单位冲激偶函数2.1基本信号5.冲激偶信号195.单位冲激偶信号（1）定义：单位冲激函数20（2）单位冲激偶性质①抽样性质：

设为常规函数，其导数在t=t0处连续，则积分②积分性质：2.1基本信号5.冲激偶信号20（2）单位冲激偶性质①抽样性质：设为常规函21③乘积性质：注意：④对称性：为奇对称函数由于为偶对称函数2.1基本信号5.冲激偶信号21③乘积性质：注意：④对称性：为奇22LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称时域分析法。这种方法直观、物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。22LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分232.2系统的微分方程描述1.输入输出微分方程2.零输入响应与零状态响应232.2系统的微分方程描述1.输入输出微分方程2.零输入24

仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物理量的数学关系式称为系统的输入输出（I/O）方程.对实际系统的分析：首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型；其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所具有的数学关系；最后运用信号与系统理论进行分析.1.输入输出微分方程描述1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述241.输入输出微分方程描述1.输入输出微分方程描述2.225一般情况下，M<N,N称为方程的阶数.本书着重研究信号与线性系统分析的一般方法.

x(t)表示系统输入，y(t)表示输出，连续时间系统的I/O方程可表示为：一般连续时间系统的输入输出数学模型1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述25一般情况下，M<N,N称为方程的阶数.本书着重26齐次解是齐次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。微分方程的经典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述26齐次解是齐次微分方程微分方程的经典解：微分方程的经典解27特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励x(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。27特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的经典解1281.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为求（1）当时的全解

（2）当时的全解解：(1)特征方程为其特征根

齐次解为由表2-2，当其特解为代入微分方程得解得k=1于是特解为

全解为：其中待定系数C1,C2由初始条件确定得解得C1=3,C2=-2

最后得全解为281.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例291.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为求（1）当时的全解

（2）当时的全解解：(2)齐次解同上

全解为：代入初始条件，得解得C1=2,C2=-1

最后得全解为当激励时，其指数与特征根之一相重，由表知其特解为代入微分方程得解得k=1于是特解为291.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例30

y(t)=ya(t)+yb(t),可分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励x(t)的系统，初始值ya(j)(0+),yb(j)(0+)(j=0，1，…，n-1)的计算：

y(j)(0-)=ya(j)(0-)+yb(j)(0-)y(j)(0+)=ya(j)(0+)+yb(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有

ya(j)(0+)=ya(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有

yb(j)(0-)=0yb(j)(0+)的求法下面举例说明。2.零输入响应与零状态响应2.零输入响应与零状态响应2.2系统的微分方程描述30y(t)=ya(t)+yb(311.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述311.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述322.零输入与零状态响应2.2系统的微分方程描述322.零输入与零状态响应2.2系统的微分方程描述332.3系统的冲激响应描述1.冲激响应2.阶跃响应332.3系统的冲激响应描述1.冲激响应2.阶跃响应341.冲激响应2.3单位的冲激响应描述由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。解：1、先求h’(0+)和h(0+)根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0例2.3.1

描述某系统的微分方程为求其冲激响应h(t)。1.冲激响应341.冲激响应2.3单位的冲激响应描述由单位35因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(0+)=h(0-)。两端积分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=12、求t>0时的微分方程h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(A1e-2t+A2e-3t)ε(t)h’(t)=(-2A1e-2t-3A2e-3t)ε(t)代入初始条件0=A1

+A21=-2A1

-3A2求得A1=1,A2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1对高阶微分方程

2.3单位的冲激响应描述1.冲激响应35因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ36

例2.3.2描述某系统的微分方程为

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=x”(t)+2x’(t)+3x(t)求其冲激响应h(t)。解：利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性令δ(t)单独输入时的输出为h1(t),即：

h1”(t)+5h1’(t)+6h1(t)=δ(t)则有y(t)=h1”(t)+2h1’(t)+3h1(t)＝δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)由例1的结果知：h1(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

当微分方程的右端包含高阶冲激函数时，可先按右端只为单位冲激函数的方法求出其响应，再根据线性系统的叠加性、齐次性和微分性质求解系统的冲激响应。2.3单位的冲激响应描述1.冲激响应36例2.3.2描述某系统的微分方程为解：利372.阶跃响应由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。

系统方程的右端将包含阶跃函数ε(t)，所以除了齐次解外，还有特解项（1／零阶微分项的系数）。由于δ(t)与ε(t)为微积分关系，故冲激响应和阶跃响应的关系

求解冲激响应需确定y(0+)，求解阶跃响应需确定特解。2.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应372.阶跃响应由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应称38例2.3.3系统的微分方程为求出系统的阶跃响应和冲激响应。解：（1）求单位阶跃响应gx(t)特解为1／22.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应38例2.3.3系统的微分方程为解：（1）求单位阶跃响应39（2）求阶跃响应g(t)（3）求冲激响应h(t)2.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应39（2）求阶跃响应g(t)（3）求冲激响应h(t)2.3402.4卷积1.卷积公式2.卷积计算402.4卷积1.卷积公式2.卷积计算411.卷积公式（1）信号的时域分解①预备知识问

f1(t)=?

p(t)直观看出2.4卷积1.卷积公式411.卷积公式（1）信号的时域分解①预备知识问f42②任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：

f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)△p(t+△)任意信号f(t)可以表示为冲激信号之加权积分——卷积2.4卷积1.卷积公式42②任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用43y

(t)x(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)x(τ)δ(t

-τ)由齐次性：x(τ)h(t-τ)由叠加性：‖x(t)‖y

(t)卷积积分。（2）任意信号作用下的零状态响应2.4卷积1.卷积公式43y(t)x(t)根据h(t)的定义：δ(t)h(44已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数x1(t)和x2(t)，则定义积分为x1(t)与x2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

x(t)=x1(t)*x2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。2.4卷积1.卷积公式（3）卷积的定义任意激励作用下LTI系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积44已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数452.卷积计算2.4卷积2.卷积计算1)定的区间和t的区间由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。积分限由的区间决定。452.卷积计算2.4卷积2.卷积计算1)定的区间和46的特点：宗量时存在，＝12.4卷积2.卷积计算46的特点：宗量时存在，＝12.4卷积2.卷积计算47解

例2.4.1

已知系统的冲激响应时的响应y(t)。

，求输入例2.4.2

已知系统的冲激响应时的响应y(t)。

，求输入解

2.4卷积2.卷积计算47解例2.4.1已知系统的冲激响应时的响应y(t)。48例2.4.3

已知一LTI系统的输出为

求该系统的单位冲激响应，并说明该系统的因果性。解

系统的单位冲激响应

该系统是因果系统2.4卷积2.卷积计算48例2.4.3已知一LTI系统的输出为求该系统的单位冲492）卷积的图解说明卷积过程可分解为四步：

①

换元：t换为τ→得x1(τ)，x2(τ)②反转平移：由x2(τ)反转→x2(–τ)右移t→x2(t-τ)③乘积：x1(τ)x2(t-τ)

④

积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。2.4卷积2.卷积计算492）卷积的图解说明卷积过程可分解为四步：2.4卷积2.50例12.4卷积2.卷积计算50例12.4卷积2.卷积计算51浮动坐标t浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0f2(t-)

未移动t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-112.4卷积2.卷积计算51浮动坐标t浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移52两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

-12.4卷积2.卷积计算52两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t-12.53-1

t

1

时两波形有公共部分，积分开始不为0，即-1

t12.4卷积2.卷积计算53-1t1时两波形有公共部分，541

t

2即1

t22.4卷积2.卷积计算541t2即1t22.4卷积2.卷积552

t

4即2

t42.4卷积2.卷积计算552t4即2t42.4卷积2.56t

4即t4t-312.4卷积2.卷积计算56t4即t4t-312.4卷积2.卷积计57卷积结果2.4卷积2.卷积计算57卷积结果2.4卷积2.卷积计算58积分上下限和卷积结果区间的确定[A,B][C,D][A+C,B+D]一般规律：上限下限当或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。

(1)积分上下限(2)卷积结果区间t-1+12.4卷积2.卷积计算58积分上下限和卷积结果区间的确定[A,B][C,D][A+59例2f(t),h(t)

如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。[解]

采用图解法f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

时,f(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。

f(t)换元f(τ)④2≤t≤3

时02.4卷积2.卷积计算59例2f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h60求。

例已知2.4卷积2.卷积计算60求61(1)t<0，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算61(1)t<0，求62(1)t<0，(2)0<t<1，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算62(1)t<0，(2)0<t<1，求63(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算63(1)t<0，(2)0<t<1，(3)164(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，(4)2<t<3，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算64(1)t<0，(2)0<t<1，(3)165(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，(4)2<t<3，(5)t>3，于是求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算65(1)t<0，(2)0<t<1，(3)166例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(1)t<-1区间τ2.4卷积2.卷积计算66例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统67例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(2)-1<t<0区间(1)t<-1区间τ2.4卷积2.卷积计算67例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统68例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(2)-1<t<0区间(3)0<t<1区间(1)t<-1区间τ2.4卷积2.卷积计算68例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统69例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(2)-1<t<0区间(3)0<t<1区间(4)t>1区间(1)t<-1区间τ2.4卷积2.卷积计算69例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统70例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(2)-1<t<0区间(3)0<t<1区间(4)t>1区间(1)t<-1区间故响应为

τ2.4卷积2.卷积计算70例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统71图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例3：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）2.4卷积2.卷积计算71图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便722.5卷积性质1.与冲激函数的卷积2.交换律、分配律、结合律3.时间移位4.卷积后信号的长度5.微积分性质722.5卷积性质1.与冲激函数的卷积2.交换律、分配律、731.与冲激函数的卷积2.5卷积的性质1.与冲激函数的卷积731.与冲激函数的卷积2.5卷积的性质1.与冲激函数的74证明：注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便.在系统分析中，卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应与一个单位冲激响应为x(t)的LTI系统对输入h(t)的响应是一样的.交换律2.交换律、分配律、结合律2.5卷积的性质2.交换律、分配律、结合律74证明：注：两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便75分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和.x(t)h1(t)h2(t)分配律2.5卷积的性质2.交换律、分配律、结合律75分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并76

结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷积.

改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变.

h1(t)

h2(t)x(t)结合律2.5卷积的性质2.交换律、分配律、结合律76结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响77与冲激函数的卷积两信号卷积h(t)h(t-t2)h(t)h(t-t2)x(t)y(t)x(t)y(t-t1)x(t-t1)x(t-t1)y(t-t1-t2)y(t-t2)时不变性质3.时间移位2.5卷积的性质3.时间移位77与冲激函数的卷积两信号卷积h(t)h(t-t2)h(t)78若两个起始时可分别为a1、a2的信号做卷积运算，则卷积后的起始时刻为a1+a2若两个持续期分别为（a1，b1）、（a2，b2）的信号做卷积运算，则卷积后的终止时刻为（b1+b2），故卷积后信号的长度为4.卷积后信号的长度2.5卷积的性质4.卷积后信号的长度因此，两个有限持续期信号卷积后的长度是它们两个长度的和。78若两个起始时可分别为a1、a2的信号做卷79两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷积。特别地：对冲激偶：推广：5.微积分性质微分2.5卷积的性质5.微积分性质79两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的80证明：推论：用处：如果相卷积的两个信号之一是奇异信号，可进行微积分变成δ(t),另一个信号只需单独做相反的积微分，使卷积运算变成微积分运算.特别地：（与阶跃函数的积分）积分微积分2.5卷积的性质5.微积分性质80证明：推论：用处：如果相卷积的两个信号之一是奇异信号，可81例2.5.1：求解：根据移位性质和微积分性质，有2.5卷积的性质5.微积分性质81例2.5.1：求解：根据移位性质和微积分性质，82例2.5.2：已知系统的单位冲激响应图示，求系统响应y(t).解：输入信号为：根据卷积的微积分性质，得系统响应:,输入信号如2.5卷积的性质5.微积分性质82例2.5.2：已知系统的单位冲激响应图示，求系统响应83求卷积是本章的重点和难点求卷积的方法可归纳为：1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数、多项式等。2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。3）利用性质。灵活求解。三者常常结合起来使用。2.5卷积的性质83求卷积是本章的重点和难点2.5卷积的性质842.3系统的冲激响应描述2.4卷积2.5卷积性质第二章连续时间域分析2.1基本信号2.2系统的微分方程描述电子教案目录12.3系统的冲激响应描述2.4卷积2.5卷积性质第二852.1基本信号1.正弦信号2.复指数信号3.阶跃信号4.冲激信号5.冲激偶信号22.1基本信号1.正弦信号2.复指数信号3.阶跃信号4.861.正弦信号A为振幅，θ为初相，ω为振荡角频率，周期T和频率f分别为2.1基本信号1.正弦信号正弦信号的定义注意：正弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号，具有同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。31.正弦信号A为振幅，θ为初相，ω为振荡角频率，周期T和频872.复指数信号欧拉公式一般形式的复指数信号定义为因此注意：虚部ω决定信号的振荡频率，而实部σ决定了信号振幅的变化，σ

>0时则是增幅振荡，而σ

<0时减幅振荡。2.1基本信号2.复指数信号42.复指数信号欧拉公式一般形式的复指数信号定义为因此注意：883.阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）2.1基本信号3.阶跃信号53.阶跃信号突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）89（2）阶跃信号的数学描述单位阶跃函数延迟时间的阶跃信号2.1基本信号3.阶跃信号6（2）阶跃信号的数学描述单位阶跃函数延迟时间的阶跃信号2.90（3）阶跃信号的特性函数t＞0部分的截取

①单边特性②加窗特性矩形脉冲加窗信号2.1基本信号3.阶跃信号7（3）阶跃信号的特性函数t＞0部分的截取①单边特性91例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)2.1基本信号3.阶跃信号8例2.1.1：用阶跃函数闭式表示分段光滑信号f(t)=92（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号2.1基本信号3.阶跃信号9（4）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号2.1基本信号3.934.冲激信号（1）冲激信号的物理背景

冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。2.1基本信号4.冲激信号104.冲激信号（1）冲激信号的物理背景冲激94注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述

延迟单位冲激①δ(t)的狄拉克定义单位冲击函数一般冲激信号2.1基本信号4.冲激信号11注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学95②脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：

脉冲逼近：积分：极限：2.1基本信号4.冲激信号12②脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：脉冲逼近：积分：极96③频域积分定义法

此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的基础，请记住。意义：冲激函数可用无限个频率的虚指数的“和”表示。因为：所以：即：2.1基本信号4.冲激信号13③频域积分定义法此关系式是信号的拉氏变换和傅里叶变换的97（3）冲激信号（函数）的性质引入冲激函数后，间断点的导数可以表示为

①冲激函数与阶跃函数的关系冲激函数的积分为阶跃函数阶跃函数的微分为冲激函数微分2.1基本信号4.冲激信号14（3）冲激信号（函数）的性质引入冲激函数后，间断点的导数981599n0ε(t)例2.1.22.1基本信号4.冲激信号用冲激序列对连续信号抽样16n0ε(t)例2.1.22.1基本信号4.冲激信号用100③冲激函数的尺度变换性质其中a为不等于0的实常数推论当取时，有为偶函数所以解：根据冲激函数的性质进行化简：

例2.1.3和化简2.1基本信号4.冲激信号17③冲激函数的尺度变换性质其中a为不等于0的实常101例2.1.4写出右图所示信号的表达式，并求一阶导数解利用冲激函数的尺度变换性质和抽样性质，有：例2.1.5

化简表达式2.1基本信号4.冲激信号18例2.1.4写出右图所示信号的表达式，并求一阶1025.单位冲激偶信号（1）定义：单位冲激函数的导数为单位冲激偶函数2.1基本信号5.冲激偶信号195.单位冲激偶信号（1）定义：单位冲激函数103（2）单位冲激偶性质①抽样性质：

设为常规函数，其导数在t=t0处连续，则积分②积分性质：2.1基本信号5.冲激偶信号20（2）单位冲激偶性质①抽样性质：设为常规函104③乘积性质：注意：④对称性：为奇对称函数由于为偶对称函数2.1基本信号5.冲激偶信号21③乘积性质：注意：④对称性：为奇105LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称时域分析法。这种方法直观、物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。22LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分1062.2系统的微分方程描述1.输入输出微分方程2.零输入响应与零状态响应232.2系统的微分方程描述1.输入输出微分方程2.零输入107

仅以单一输出信号为未知量而不含其他中间物理量的数学关系式称为系统的输入输出（I/O）方程.对实际系统的分析：首先要依据系统的定律和定理建立合理的模型；其次要选取必要的物理量，列出这些物理量间所具有的数学关系；最后运用信号与系统理论进行分析.1.输入输出微分方程描述1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述241.输入输出微分方程描述1.输入输出微分方程描述2.2108一般情况下，M<N,N称为方程的阶数.本书着重研究信号与线性系统分析的一般方法.

x(t)表示系统输入，y(t)表示输出，连续时间系统的I/O方程可表示为：一般连续时间系统的输入输出数学模型1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述25一般情况下，M<N,N称为方程的阶数.本书着重109齐次解是齐次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。微分方程的经典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解)微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述26齐次解是齐次微分方程微分方程的经典解：微分方程的经典解110特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的经典解1.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励x(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。27特解的函数形式与激励函数的形式有关。微分方程的经典解11111.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为求（1）当时的全解

（2）当时的全解解：(1)特征方程为其特征根

齐次解为由表2-2，当其特解为代入微分方程得解得k=1于是特解为

全解为：其中待定系数C1,C2由初始条件确定得解得C1=3,C2=-2

最后得全解为281.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例1121.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例描述系统的微分方程为求（1）当时的全解

（2）当时的全解解：(2)齐次解同上

全解为：代入初始条件，得解得C1=2,C2=-1

最后得全解为当激励时，其指数与特征根之一相重，由表知其特解为代入微分方程得解得k=1于是特解为291.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述例113

y(t)=ya(t)+yb(t),可分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励x(t)的系统，初始值ya(j)(0+),yb(j)(0+)(j=0，1，…，n-1)的计算：

y(j)(0-)=ya(j)(0-)+yb(j)(0-)y(j)(0+)=ya(j)(0+)+yb(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有

ya(j)(0+)=ya(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有

yb(j)(0-)=0yb(j)(0+)的求法下面举例说明。2.零输入响应与零状态响应2.零输入响应与零状态响应2.2系统的微分方程描述30y(t)=ya(t)+yb(1141.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述311.输入输出微分方程描述2.2系统的微分方程描述1152.零输入与零状态响应2.2系统的微分方程描述322.零输入与零状态响应2.2系统的微分方程描述1162.3系统的冲激响应描述1.冲激响应2.阶跃响应332.3系统的冲激响应描述1.冲激响应2.阶跃响应1171.冲激响应2.3单位的冲激响应描述由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。解：1、先求h’(0+)和h(0+)根据h(t)的定义有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0例2.3.1

描述某系统的微分方程为求其冲激响应h(t)。1.冲激响应341.冲激响应2.3单位的冲激响应描述由单位118因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(0+)=h(0-)。两端积分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=12、求t>0时的微分方程h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(A1e-2t+A2e-3t)ε(t)h’(t)=(-2A1e-2t-3A2e-3t)ε(t)代入初始条件0=A1

+A21=-2A1

-3A2求得A1=1,A2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1对高阶微分方程

2.3单位的冲激响应描述1.冲激响应35因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ119

例2.3.2描述某系统的微分方程为

y”(t)+5y’(t)+6y(t)=x”(t)+2x’(t)+3x(t)求其冲激响应h(t)。解：利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性令δ(t)单独输入时的输出为h1(t),即：

h1”(t)+5h1’(t)+6h1(t)=δ(t)则有y(t)=h1”(t)+2h1’(t)+3h1(t)＝δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)由例1的结果知：h1(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

当微分方程的右端包含高阶冲激函数时，可先按右端只为单位冲激函数的方法求出其响应，再根据线性系统的叠加性、齐次性和微分性质求解系统的冲激响应。2.3单位的冲激响应描述1.冲激响应36例2.3.2描述某系统的微分方程为解：利1202.阶跃响应由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。

系统方程的右端将包含阶跃函数ε(t)，所以除了齐次解外，还有特解项（1／零阶微分项的系数）。由于δ(t)与ε(t)为微积分关系，故冲激响应和阶跃响应的关系

求解冲激响应需确定y(0+)，求解阶跃响应需确定特解。2.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应372.阶跃响应由单位阶跃函数ε(t)所引起的零状态响应称121例2.3.3系统的微分方程为求出系统的阶跃响应和冲激响应。解：（1）求单位阶跃响应gx(t)特解为1／22.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应38例2.3.3系统的微分方程为解：（1）求单位阶跃响应122（2）求阶跃响应g(t)（3）求冲激响应h(t)2.3单位的冲激响应描述2.阶跃响应39（2）求阶跃响应g(t)（3）求冲激响应h(t)2.31232.4卷积1.卷积公式2.卷积计算402.4卷积1.卷积公式2.卷积计算1241.卷积公式（1）信号的时域分解①预备知识问

f1(t)=?

p(t)直观看出2.4卷积1.卷积公式411.卷积公式（1）信号的时域分解①预备知识问f125②任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：

f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)△p(t+△)任意信号f(t)可以表示为冲激信号之加权积分——卷积2.4卷积1.卷积公式42②任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用126y

(t)x(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)x(τ)δ(t

-τ)由齐次性：x(τ)h(t-τ)由叠加性：‖x(t)‖y

(t)卷积积分。（2）任意信号作用下的零状态响应2.4卷积1.卷积公式43y(t)x(t)根据h(t)的定义：δ(t)h(127已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数x1(t)和x2(t)，则定义积分为x1(t)与x2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

x(t)=x1(t)*x2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。2.4卷积1.卷积公式（3）卷积的定义任意激励作用下LTI系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积44已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数1282.卷积计算2.4卷积2.卷积计算1)定的区间和t的区间由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。积分限由的区间决定。452.卷积计算2.4卷积2.卷积计算1)定的区间和129的特点：宗量时存在，＝12.4卷积2.卷积计算46的特点：宗量时存在，＝12.4卷积2.卷积计算130解

例2.4.1

已知系统的冲激响应时的响应y(t)。

，求输入例2.4.2

已知系统的冲激响应时的响应y(t)。

，求输入解

2.4卷积2.卷积计算47解例2.4.1已知系统的冲激响应时的响应y(t)。131例2.4.3

已知一LTI系统的输出为

求该系统的单位冲激响应，并说明该系统的因果性。解

系统的单位冲激响应

该系统是因果系统2.4卷积2.卷积计算48例2.4.3已知一LTI系统的输出为求该系统的单位冲1322）卷积的图解说明卷积过程可分解为四步：

①

换元：t换为τ→得x1(τ)，x2(τ)②反转平移：由x2(τ)反转→x2(–τ)右移t→x2(t-τ)③乘积：x1(τ)x2(t-τ)

④

积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。注意：t为参变量。2.4卷积2.卷积计算492）卷积的图解说明卷积过程可分解为四步：2.4卷积2.133例12.4卷积2.卷积计算50例12.4卷积2.卷积计算134浮动坐标t浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移动的距离t=0f2(t-)

未移动t>0f2(t-)右移t<0f2(t-)左移-112.4卷积2.卷积计算51浮动坐标t浮动坐标：下限上限t-3t-0t：移135两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t

-12.4卷积2.卷积计算52两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0t-12.136-1

t

1

时两波形有公共部分，积分开始不为0，即-1

t12.4卷积2.卷积计算53-1t1时两波形有公共部分，1371

t

2即1

t22.4卷积2.卷积计算541t2即1t22.4卷积2.卷积1382

t

4即2

t42.4卷积2.卷积计算552t4即2t42.4卷积2.139t

4即t4t-312.4卷积2.卷积计算56t4即t4t-312.4卷积2.卷积计140卷积结果2.4卷积2.卷积计算57卷积结果2.4卷积2.卷积计算141积分上下限和卷积结果区间的确定[A,B][C,D][A+C,B+D]一般规律：上限下限当或为非连续函数时，卷积需分段，积分限分段定。

(1)积分上下限(2)卷积结果区间t-1+12.4卷积2.卷积计算58积分上下限和卷积结果区间的确定[A,B][C,D][A+142例2f(t),h(t)

如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。[解]

采用图解法f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0时,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

时,f(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函数形式复杂换元为h(τ)。

f(t)换元f(τ)④2≤t≤3

时02.4卷积2.卷积计算59例2f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h143求。

例已知2.4卷积2.卷积计算60求144(1)t<0，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算61(1)t<0，求145(1)t<0，(2)0<t<1，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算62(1)t<0，(2)0<t<1，求146(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算63(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1147(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，(4)2<t<3，求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算64(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1148(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1<t<2，(4)2<t<3，(5)t>3，于是求。

例已知解2.4卷积2.卷积计算65(1)t<0，(2)0<t<1，(3)1149例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(1)t<-1区间τ2.4卷积2.卷积计算66例已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统150例

已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示，求系统响应。解输入信号为用下式计算响应(2)