内积外积混和积课件

向量的内积、外积、混和积

112/23/20221向量的内积、外积、混和积112/19/20221向量的内积

向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。212/23/20222向量的内积向量是一个具有很强的物理背景的概例:物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上，物体产生位移S，求力F所作的功。于是功W为:

W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ

为反映这一类物理现象，引入向量的内积。FS

解:

根据物理知识，F可以分解成水平方向分力和垂直方向分力。其中只有与位移平行的分力作功，而不作功。

312/23/20223例:物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成θ角的方向作用根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律

定义

两个向量α与β的内积是一个数，它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘积，记为，即有412/23/20224根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律定义(1)向量的内积又称为点积或数量积(3)(2)(4)(5)

注：向量内积不满足结合律具有以下性质：512/23/20225(1)向量的内积又称为点积或数量积(3)(2)(4)(5)例：用向量证明余弦定理ACB证明：612/23/20226例：用向量证明余弦定理ACB证明：612/19/20226例：证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：因此所以712/23/20227例：证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：因此所以7例：证明：812/23/20228例：证明：812/19/20228内积的坐标表示对任意向量(1)证：912/23/20229内积的坐标表示对任意向量(1)证：912/19/20229(2)(3)1012/23/202210(2)(3)1012/19/202210向量的外积

上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，叫做外积，它的运算结果是一个向量。1112/23/202211向量的外积上一节讨论了向量的一种乘法：两个定义

两个向量α与β的外积α×β是一个向量1.外积及其运算规律α×β的方向与α，β均垂直，且使α，β，α×β成右手系(2)(1)α×β的模是以α，β为边的平行四边形的面积，满足注：即：1212/23/202212定义两个向量α与β的外积α×β是一个向量1.外积及外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：（反交换律）1312/23/202213外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：（反交换律）1312/12.外积的应用

(1)用向量积来求平行四边形及三角形面积(2)

用向量积来求点到直线的距离(3)用向量积来求证两个向量共线1412/23/2022142.外积的应用(1)用向量积来求平行四边形及三角例:已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β与4α+kβ共线。解：又α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α因为α，β不平行，故有，据题设（kα+9β）×（4α+kβ）＝０kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０即因而所以α×β≠０即k=±6．

1512/23/202215例:已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β与4α+例：证明：所以，1612/23/202216例：证明：所以，1612/19/202216例：解：且1712/23/202217例：解：且1712/19/202217外积的坐标表示由定义直接可以得到:1812/23/202218外积的坐标表示由定义直接可以得到:1812/19/20221因此:（自己算）1912/23/202219因此:（自己算）1912/19/202219例：解法一：解法二：2012/23/202220例：解法一：解法二：2012/19/202220解：构造向量，以AB，AC为边的平行四边形面积所以三角形ABC的面积是

例:

求以，， 为顶点的三角形ABC的面积.那么2112/23/202221解：构造向量例：求与垂直的单位向量。解：设

，可见δ是与γ同方向的单位向量，因此，与α及β都垂直的单位向量是设γ=α×β，则γ与α及β都垂直，则有而2212/23/202222例：求与向量的混合积

混合积的定义定义

三个向量α，β，γ的混合积是一个数，它等于向量α，β先作向量积，然后再与γ作数量积，记作(α，β，γ)即(α，β，γ)=(α×β)·γ2312/23/202223向量的混合积混合积的定义定义三个向量α，β，γ的混合混合积的几何意义注：

2412/23/202224混合积的几何意义注：2412/19/202224混合积的性质注：2512/23/202225混合积的性质注：2512/19/202225定理：

三个向量α，β，γ共面的充要条件是(α×β)·γ=0.证:当α∥β时,α×β=,当α不平行β时，必要性如若α，β，γ共面自然有(α×β)·γ=0α×β垂直于α，β所在的平面，因而α×β⊥γ，仍有(α×β)γ=0。2612/23/202226定理：三个向量α，β，γ共面的充要条件是证:当α∥β时充分性当α×β=0时，有α×β⊥γ，如若(α×β)·γ=0有α∥β，故α，β，γ共面；当α×β≠0时，从而α，β，γ共面。又因α×β亦垂直于α及β，2712/23/202227充分性当α×β=0时，有α×β⊥γ，如若(α×β)·γ=例：证明：2812/23/202228例：证明：2812/19/202228例：解：2912/23/202229例：解：2912/19/202229例：证明：3012/23/202230例：证明：3012/19/202230混合积的坐标表示注：设3112/23/202231混合积的坐标表示注：设3112/19/202231分析:所以，D-ABC的体积可用混合积求出。例:

求以，为顶点的四面体的体积。，，以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一。3212/23/202232分析:所以，D-ABC的体积所以解：构造向量以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为3312/23/202233所以解：构造向量以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为3三向量的双重外积定义：性质：3412/23/202234三向量的双重外积定义：性质：3412/19/202234例：证明一：由定义证明二：3512/23/202235例：证明一：由定义证明二：3512/19/202235例：证明：3612/23/202236例：证明：3612/19/202236向量的内积、外积、混和积

112/23/202237向量的内积、外积、混和积112/19/20221向量的内积

向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。212/23/202238向量的内积向量是一个具有很强的物理背景的概例:物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上，物体产生位移S，求力F所作的功。于是功W为:

W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ

为反映这一类物理现象，引入向量的内积。FS

解:

根据物理知识，F可以分解成水平方向分力和垂直方向分力。其中只有与位移平行的分力作功，而不作功。

312/23/202239例:物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成θ角的方向作用根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律

定义

两个向量α与β的内积是一个数，它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘积，记为，即有412/23/202240根据内积的定义，上例中的功可写作：内积及其运算规律定义(1)向量的内积又称为点积或数量积(3)(2)(4)(5)

注：向量内积不满足结合律具有以下性质：512/23/202241(1)向量的内积又称为点积或数量积(3)(2)(4)(5)例：用向量证明余弦定理ACB证明：612/23/202242例：用向量证明余弦定理ACB证明：612/19/20226例：证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：因此所以712/23/202243例：证明：直径所对应的圆周角为直角.ABCO证明：因此所以7例：证明：812/23/202244例：证明：812/19/20228内积的坐标表示对任意向量(1)证：912/23/202245内积的坐标表示对任意向量(1)证：912/19/20229(2)(3)1012/23/202246(2)(3)1012/19/202210向量的外积

上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，叫做外积，它的运算结果是一个向量。1112/23/202247向量的外积上一节讨论了向量的一种乘法：两个定义

两个向量α与β的外积α×β是一个向量1.外积及其运算规律α×β的方向与α，β均垂直，且使α，β，α×β成右手系(2)(1)α×β的模是以α，β为边的平行四边形的面积，满足注：即：1212/23/202248定义两个向量α与β的外积α×β是一个向量1.外积及外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：（反交换律）1312/23/202249外积又叫叉积或向量积，具有以下性质：（反交换律）1312/12.外积的应用

(1)用向量积来求平行四边形及三角形面积(2)

用向量积来求点到直线的距离(3)用向量积来求证两个向量共线1412/23/2022502.外积的应用(1)用向量积来求平行四边形及三角例:已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β与4α+kβ共线。解：又α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α因为α，β不平行，故有，据题设（kα+9β）×（4α+kβ）＝０kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０即因而所以α×β≠０即k=±6．

1512/23/202251例:已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β与4α+例：证明：所以，1612/23/202252例：证明：所以，1612/19/202216例：解：且1712/23/202253例：解：且1712/19/202217外积的坐标表示由定义直接可以得到:1812/23/202254外积的坐标表示由定义直接可以得到:1812/19/20221因此:（自己算）1912/23/202255因此:（自己算）1912/19/202219例：解法一：解法二：2012/23/202256例：解法一：解法二：2012/19/202220解：构造向量，以AB，AC为边的平行四边形面积所以三角形ABC的面积是

例:

求以，， 为顶点的三角形ABC的面积.那么2112/23/202257解：构造向量例：求与垂直的单位向量。解：设

，可见δ是与γ同方向的单位向量，因此，与α及β都垂直的单位向量是设γ=α×β，则γ与α及β都垂直，则有而2212/23/202258例：求与向量的混合积

混合积的定义定义

三个向量α，β，γ的混合积是一个数，它等于向量α，β先作向量积，然后再与γ作数量积，记作(α，β，γ)即(α，β，γ)=(α×β)·γ2312/23/202259向量的混合积混合积的定义定义三个向量α，β，γ的混合混合积的几何意义注：

2412/23/202260混合积的几何意义注：2412/19/202224混合积的性质注：2512/23/202261混合积的性质注：2512/19/202225定理：

三个向量α，β，γ共面的充要条件是(α×β)·γ=0.证:当α∥β时,α×β=,当α不平行β时，必要性如若α，β，γ共面自然有(α×β)·γ=0α×β垂直于α，β所在的平面，因而α×β⊥γ，仍有(α×β)γ=0。2612/23/202262定理：三个向量α，β，γ共面的充要条件是证:当α∥β时充分性当α×β=0时，有α×β⊥γ，如若(α×β)·γ