线性代数-线性方程组第四章

第四章线性方程组一、非齐次线性方程组的解的存在性m

个方程，n

个未知量的非齐次线性方程组(1)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm§1线性方程组的消元法称为方程组(1)的系数矩阵为方程组(1)的增广矩阵A=定义1若非齐次线性方程组(1)有解，则称该方程组是相容的。否则，则称不相容。例1解方程组2x1–x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=6解：用消元法2x1–x2+3x3=14x1+2x2+5x3=42x1+2x3=62x1–x2+3x3=14x2–x3=2x2–x3=5r2–2r1r3–r1(2)–2(1)(3)–(1)2x1–x2+x3=13x3=–18x2–x3=5(2)(2)(3)2x1–x2+x3=1x2–x3=5x3=–6r2–4r3r2r2r3(2)–4(3)x1=9x2=–1x3=–6此时(未知数的个数)是方程组的唯一解例2讨论方程组是否有解。2x1+x2+x3=2x1+3x2+x3=5x1+x2+5x3=–72x1+3x2–3x3=15解：r(A)=3,r(A)=4初等行变换1对应的方程组化成x1+3x2+x3=5x2–2x3=62x3=–20x1+0x2+0x3=1方程组无解!例3讨论方程组是否有解x1+x2+x3–x4=1x1–x2–x3+x4=02x1–2x2+2x3–2x4=2解r2–r1r(A)=r(A)=2<4(未知量个数)对应的方程组化成x1–x2+x3–x4=1

–2x3+2x4=–1x1+x3=1+x2+x4有两个自由未知量任取r(A)=r(A)=2<4(未知量个数)得方程组解其中c1,c2

可任意选定x2=c1x4=c2在非齐次线性方程组(1)中，若定理2(1)若r=n

则方程组(1)有唯一组解(2)若r<n

则方程组(1)有无穷多个解定理1非齐次线性方程组(1)有解例4讨论，，取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？x1+2x3=1x1+x23x3=22x1x2+

x3=

解：r2+r1r3–2r1r3+r2(I)=5,3时，无解.

(II)=5,=3时,有无穷多个解.(III)5时,有唯一解.一、齐次线性方程组有非零解的条件设有n

元齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0…am1x1+am2x2+…+amnxn=0(1)简记为(2)AX=0方程组(1)总有解。x1=x2=…=xn=0.称为零解或平凡解。§2齐次线性方程组解的结构若引入向量方程组(1)又可记为x11+x22+…+xnn=0(3)结论：

1,

2,…,

n线性相关r(A)<n方程组(1)总有零解：x1=x2=…=xn=0.1.方程组(1)有非零解2.齐次线性方程组(1)有非零解r(A)<n定理1齐次线性方程组(1)，当m<n

时，有非零解推论1(方程个数<未知量个数)推论2齐次线性方程组(1)，当m=n

时，有非零解|A|=0例1:

判定下列齐次线性方程组是否有非零解。(1)x1+2x2+5x3=0x1+3x2–2x3=03x1+7x2+8x3=0x1+4x2–9x3=0解：A=r2–r1r3–3r1r4–r1r1–2r2r(A)=2方程组有非零解进一步:还可得：x1=–17x3x2=7x3(2)x1+x2+x3=0x1+2x2+3x3=0x1+3x2+6x3=0解法一：|A|==10所以方程只有唯一的一组零解。r(A)=3方程组无非零解，只有唯一的一组零解.A=r2–r1r3–r1r3–2r2解法二：二、齐次线性方程组的结构定义1齐次线性方程组AX=0的解称为方程组的解向量。看成一个列向量，定理2设X1和X2是齐次线性方程组AX=0的解，(2)

R,

X1仍是AX=0的解。(1)

X1+X2

仍是

AX=0的解则定理3记V={X|AX=0}，则V

是Rn

的一个子空间，称为齐次线性方程组AX=0的解空间，方程组

AX=0的基称为它的一个基础解系。对齐次线性方程组AX=0，(1)若r=n，方程组AX=0只有零解。(2)若r<n，方程组AX=0的基础解系含有

n–r个解向量。设r(A)=r,例2求齐次阶梯方程组的一个基础解系，其中a11,a22,…,arr

0。解：初等行交换A=0a11a22arr……11……1a11x1+a12x2+…+a1rxr+…+a1nxn=0a22x2+…+a2rxr+…+a2nxn=0...……arrxr+…+arnxn=0对应的方程组经初等变换化成同解方程组x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+…+c1n

xnx2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+…+c2n

xnxr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+…+crn

xn………………

有n–r

个自由未知量,…..x

r+1,x

r+2,…,xn,分别令

111依次代入方程组X1=,…,Xn–r

=X2=,显然：(1)X1,X2,…,X

n–r

线性无关。(2)XV,可由X1,X2,…,X

n–r

线性表出方程组解满足：

x1=c1,r+1xr+1…+c1n

xnx2=c2,r+1xr+1…+c2n

xnxr=cr,r+1xr+1…+crn

xn…………xr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn…………+…++X=xr+1

X1+xr+2

X2+…+xn–r

Xn–rX1,X2,…,Xn–r一个基础解系。AX=0是注：设方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0am1x1+am2x2+…+amnxn=0…有一个基础解系：X1,X2,…,Xn–r

，其中ki

是任意实数，X

=k1X1+

k2

X2+…+kn–r

Xn–r(3)则方程组的任一解可表为：(3)

式称为齐次线性方程组的通解。求解齐次线性方程组x1x2+2x4+x5=0,3x13x2+7x4=0,x1x2+2x3+3x4+2x5=0,2x12x2+2x3+7x43x5=0.例5解：A=r2–3r1r3–r1r4–2r1r2

r3r4–r3r4–2r3121x1

x2

x3

x4

x5(取x2,x5为自由未知量)r1–2r3r2–r3x1

x2

x3

x4

x5121(取x2,x5为自由未知量)对应于方程组x1=x2–7x5x3=–2x5x4=3x5x1

x2

x3

x4

x5121分别令x2=1,x5=0；x2=0,x5=1X2=故方程组的通解为k1X1+k2

X2,k1、k2R。得X1=，三、特征值和特征向量的求法齐次线性方程组(A

–E)X=0有非零解设A

R

nn，为矩阵A

的一个特征值，而X为矩阵A

对应于特征值

的一个特征向量。A

X=

X，有其中X

是非零向量(A

–E)X=0|A

–E|=0A

X=

X即：方程(4)是一个关于的n

次多项式方程，称为

A的特征方程。

的n

次多项式()=|A

–E|，称为A

的特征多项式。|A

–E|==0(4)–––求矩阵A的特征值，特征向量的过程(1)由特征方程|A

–E|=0，求出特征值。(2)由(A

–E)X=0，求出非零向量X，注：若齐次线性方程组(A

–E)X=0的基础解系是

X1,X2,…,Xn–r。X=k1X1+k2X2+…+Kn–rXn–r则对应于的所有特征向量X

可表示成

其中ki

不全为0，i=1,2,…,n–r。即为对应于的特征向量。例6求的特征值和特征向量。解：A有一个特征单根

1=2二重特征根

2=3=1|A

–E|==(

–2)(

–1)2–––(1)设A的对应于1=2的特征向量为

X=解方程组(A

–2E)X=0A

–2E=r1

r3r2

+4r1r3

+3r1r3

–

r2r(A–2E)=2<3有一个自由未知量x3x1=0,x2=0取x3=1得X1=A的对应于

=2的特征向量为其中k10R

X=k1X1=k1(2)对于2=3=1，设对应的特征向量X=解方程组(A

–E)X=0A

–E=r1

r3r2

+4r1r3

+2r1r3

r2r3

–2r2对应的方程组为x1=–x3x2=–2x3取x3=1,

得X2=A的对应于

=1的特征向量为其中k20R

X=k2例7解：的特征值：例8解：的特征值和特征向量:求实对称矩阵(1)解=0同理，解=0其中：，X1与X2正交。定理4

设A

Rnn

为实对称阵，则A的特征值全是实数，且对每个特征值都存在实的特征向量。定理5

设ARnn

为实对称阵，则A的不同特征值相应的特征向量相互正交。例9证明相似矩阵有相同的特征值设A~B，存在可逆矩阵

C，使

B=C1AC证明：例10证明n阶方阵A与AT有相同的特征值证明：由二、非齐次线性方程组AX=b

的解的结构§3非齐次线性方程组解的结构(1)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…+amnxn=bmm

个方程，n

个未知量的非齐次线性方程组方程组(1)的其它形式(2)I)其中：,简记为(4)x11+

x22+…+xnn=bII)(3)定理1(1)设X、Y

是方程组AX=b

的两个解，则XY

是齐次线性方程组AX=0

的解。(2)设X

是方程组AX=b

解，而X0

是AX=0

的解则X+X0

是AX=b

的解。定理2设X*

是AX=b

的一个解向量，X

是AX=0的通解，则AX=b的所有解都可以表示成~X=X*

+X~证(1)X

=X*

+X显然是方程组AX=b

的解。~(2)方程组

AX=b

的任一解都有X

=(XX0)+X0其中XX0是AX=b的解，X0是AX=0的解。注(1)当r(A)=r(A)=r<n

时，X

=X*

+X=X*

+k1X1+k2X2++knrXnr~其中ki

R,i=1,2,…,n–r则：方程AX=b

的通解为AX=