数列求和的基本方法归纳

数列求和的基本方法归纳.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.分数列的求和都需要一定的技巧.的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n(aa)n(n1、等差数列求和公式：Snd122n1na(q2、等比数列求和公式：1)qaaqSan(q11nn1q1q11nn3、Skn(n4、Skn(nn226nnk1k11n5、Sk[n(n]322nk11例1]已知logx，求xxxx的前n项和.23nlog332112解：由logxlogxlog2xlog33332由等比数列求和公式得Sxxxx23nn11)xxn)212n＝＝＝1－1121x2nS例2]()设S＝…+n，n∈N,求fn的最大值.*n(n32)Snn111解：由等差数列求和公式得Snn(，S(nn22nnSn∴f(n)＝n(n32)S23464nnn111181＝＝n(n)2nn81∴当n，即n＝8时，f(n)max508二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a·b}的前n项和，其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列.nnnn例3]求和：S13x5xxnx………①7(2n123n解：由题可知，{(2nx}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x}的通项n1n1之积设x3x5x7x(2nx……….②234nn①－②得x)S12x2x2x2x2x(2nx）234n1nn再利用等比数列的求和公式得：x)S12x1x(2nxn1n1xn(2nx(2nxx)n1n∴Snx)22462n例4],,,前n项的和.求数列2222n232n1解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积22nn24设S62n…………………①22222n3n122462nS………………②2223242n1n1222222n）①－②得)S22223242n2n1n212n242n1n22n1∴S2nn1三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n2再把它与原数列相加，就可以得到n个(aa).1n例5]3C5CnC(2(求证：C012nnnnnnn证明：设SCCC(2nC…………..①012nnnnnn把①式右边倒转过来得(2nC(2nCCCSnn110nnnnn又由CC可得mnmnnS(2nC(2nCCn1C…………..……..②01nnnnnn①+②得2S(2nCCCC)2(n201n1nnnnnnn∴S(n2nn例6]123的值2求2222解：设S123………….①22222将①式右边反序得S321…………..②22222又因为sinxcos(90x),sinxcosx122①+②得2S(sin1cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)＝89222222∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.111例7]求数列的前n项和：1,32，…naa2an1111解：设(4)(7)(32)Snaa2an1n将其每一项拆开再重新组合得11Saa1)47n2)an1n2nnnn当a＝1时，＝Sn22n3111nnaannnan1当1时，S＝a2a12na例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设ak(kk2kkk32kknn∴(＝(23)kkSk3k2knk1k1将其每一项拆开再重新组合得nnnS＝2k3kk32nk1k1k1＝2n)2n)2n)333222n2(n2n(nnn(n＝＝222n(n(n2)22五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解如：sin1（1）af(nf(n)（2）tan(ntannncosncos(n111(2n)2111（3）an(nnn1（4）a1()(2nn22n12n1nn1111（5）a[]n(nn2)2n(n(nnnn212(nn1111(6)a,则S1n(n2(2nnn2n1(nn(nnnnnn111例9],,的前n项和.求数列1223nn141n1n解：设annn1111则S1223nn1n＝(2(32)(1)nn＝n1112n2例10]和.在数列{a}中，a，又b{b}的前n项的naann1n1n1nnnn112nn解：∵an1n1n12n211bn)∴nn1nn122∴数列{b}的前n项和n1111111S)()()(22334nn1n18n＝)＝n1n1111cos1例11]求证：cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin2111解：设S0cos1cos12sin1∵tan(ntanncosncos(n111∴S0cos1cos121＝＝10)21)32)111cos1(tan89tan0)＝cot1＝sin1sin1sin12∴原等式成立5六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S.n例12]求cos1°+°+cos3°++cos178°+cos179°的值.解：设S＝cos1°+cos2°+cos3°++cos178°+cos179°n∵cos)nn∴S＝（cos1°+cos179°）（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+n+（cos89°+cos91°）+cos90°＝0例13]数列{a}：aaaaaa，求S.n123212002nnn解：设S＝aaaa20021232002由aaaaaa可得123n2n1naaa456aaaaaa789101112……aaaaaa26k16k26k36k46k56k60∵aaaaaa6k16k26k36k46k56k6∴S＝aaaa20021232002＝(aaaa)(aaa)(aaa)123678126k16k26k6(aaa)aaaa1993199419981999200020012002＝aaaa1999200020012002＝a＝5aaa6k16k26k36k4例14]logloglog在各项均为正数的等比数列中，若aa求a1a2a的值.1056333解：设Slogalogalogan3132310由等比数列的性质mnpqaaaamnpq6和对数的运算性质logMlogNlogMN得aaaS(logaloga)(logaloga)(logaloga)n3131032393536＝(logaa)(logaa)(logaa)3110329356＝log9log9log9333＝10七、利用数列的通项求和示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15]求1111111111之和.n111解：由于11119999（分组求和）1k991∴1111111111n11111＝123n919991＝0101010)11123n99n11nn＝9191＝9)n1n8例16],求(na