2020版高考理数：专题8立体几何课件五

专题八

立体几何专题八立体几何目录CONTENTS考点一空间几何体的三视图、表面积与体积1

考点三直线、平面平行的判定及其性质3考点五空间向量与立体几何5考点四直线、平面垂直的判定及其性质4考点二空间点、直线、平面之间的位置关系2目录考点一空间几何体的三视图、表面积与体积1考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握核心方法重点突41．空间向量(1)共面向量及共面向量定理①共面向量的定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(1)当p，a，b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p，a，b所在三条直线共面的充要条件．(2)推论1和推论2与共面向量定理实质是一样的，只是形式不同，是证明M，A，B，P四点共面的重要理论依据和判定方法．考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握41．空间向量(1)共面向量及共面向量定理(5(2)空间向量的坐标表示设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，以e1，e2，e3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.那么，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

(1)写向量坐标的前提是建立空间直角坐标系，在坐标轴上取单位正交基底．(2)写向量的坐标时，三个实数之间的顺序不可颠倒，如a＝(1，2，4)与b＝(4，2，1)不是同一向量．(3)在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是唯一确定的．考点五空间向量与立体几何5(2)空间向量的坐标表示(1)写向量坐标的6考点五空间向量与立体几何6考点五空间向量与立体几何72．空间角考点五空间向量与立体几何72．空间角考点五空间向量与立体几何8(2)用几何法求空间角①异面直线所成角的求法求异面直线所成的角分四步：作、证、求、结论．a．作角：选择适当的点，作异面直线中的一条或两条的平行线，使其成为相交直线(即作出异面直线所成的角)，这里的点通常选择特殊位置的点，如直线上某一线段的端点或中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点．b．证明：证明作出的角就是要求的角．c．计算：求角度，常利用解三角形的知识．d．结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求的异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求的异面直线所成的角．考点五空间向量与立体几何8(2)用几何法求空间角a．作角：选择适当的点，作异面直线中9②直线与平面所成的角的求法

直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直线在平面内的射影)，最后根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角．

上述步骤可以简记为：一作、二证、三求．其中，确定斜线在平面内的射影是求解过程的关键．③求二面角的平面角的步骤a．找到或作出二面角的平面角；b．证明a中的角就是所求的角；c．计算出此角的大小．以上步骤可概括为“一作、二证、三计算考点五空间向量与立体几何9②直线与平面所成的角的求法上述步骤可以简记为：一作、二证10考点五空间向量与立体几何10考点五空间向量与立体几何11考点五空间向量与立体几何11考点五空间向量与立体几何12核心方法重点突破方法1异面直线所成角的求法求异面直线所成的角常采用“平移法”与“向量法”．(1)平移法①平移找角(作角)；②证明：推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成角；③求解：解三角形求出角的大小，注意异面直线所成角的取值范围．其中，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；利用异面直线所在几何体的特点，补形平移．(2)向量法使用范围更广，适用于异面直线所成的角不易作、垂直关系多的情况．设异面直线a，b所成的角为θ，则

其中，a，b分别是直线a，b的方向向量．考点五空间向量与立体几何12核心方法重点突破方法1异面直线所成角的求法求异13【答案】B考点五空间向量与立体几何13【答案】B考点五空间向量与立体几何14考点五空间向量与立体几何14考点五空间向量与立体几何15考点五空间向量与立体几何15考点五空间向量与立体几何16方法2线面角的求法1．几何法求线面角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置；②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值，即sinθ＝

.其中，θ为线面角，h为点B到平面α的距离，l为斜线段AB的长．如图(1)．图(1)考点五空间向量与立体几何16方法2线面角的求法1．几何法求线面角的步骤考点五172．向量法求线面角的方法如图(2)所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝考点五空间向量与立体几何172．向量法求线面角的方法考点五空间向量与立体几何18[湖南、江西十四校2018联考]如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为(

)

【解析】连接AB1与A1B交于点F，则AF⊥平面A1BCD1.连接EF，则∠AEF是直线AE与平面A1BCD1所成角，tan∠AEF＝.故选A.【答案】A考点五空间向量与立体几何18[湖南、江西十四校2018联考]如图，已知棱长为19方法3二面角的求法1．几何法求二面角(1)找①点(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．(2)算sin

θ＝

，如图(4)，θ为二面角的大小，h为点A到平面β的距离，d为点A到棱l的距离．③面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图(3)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．考点五空间向量与立体几何19方法3二面角的求法1．几何法求二面角(2)算③面202．向量法求二面角考点五空间向量与立体几何202．向量法求二面角考点五空间向量与立体几何21考点五空间向量与立体几何21考点五空间向量与立体几何22方法4空间距离的求法求空间距离常用的方法(1)几何法①直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出表示空间距离的垂线段，再通过解三角形求出距离．其中，找垂足是作垂线段的关键，一般可借助线面垂直的判定定理作面的垂线．因此，要善于挖掘条件中的线线垂直，用以作平面的垂线段．②间接法：利用“等积性”可求“点到面的距离”．因为点到面的距离可转化为一个几何体的高，因此寻求一个体积易求的几何体，利用V＝Sh或

求解出h，从而得到点到面的距离．考点五空间向量与立体几何22方法4空间距离的求法求空间距离常用的方法考点五空23考点五空间向量与立体几何23考点五空间向量与立体几何24考点五空间向量与立体几何24考点五空间向量与立体几何25考法例析成就能力考法1

求异面直线所成的角[课标全国Ⅱ2017·10]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)考点五空间向量与立体几何25考法例析成就能力考法1求异面直线所成的角26[浙江2018·8]已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则(

)A．θ1≤θ2≤θ3

B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2

D．θ2≤θ3≤θ1考点五空间向量与立体几何26[浙江2018·8]已知四棱锥S－ABCD的底面27考法2求线面角[天津2016·17]如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O－EF－C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝

，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．考点五空间向量与立体几何27考法2求线面角[天津2016·17]如图28考点五空间向量与立体几何28考点五空间向量与立体几何29考法3

求二面角考点五空间向量与立体几何29考法3求二面角考点五空间向量与立体几何30考点五空间向量与立体几何30考点五空间向量与立体几何31考法4

求空间距离[大纲全国2014·19]如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B；(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－C的大小．方法一：(1)【证明】因为A1D⊥平面ABC，A1D平面AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面ABC.又因为BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.如图所示，连接A1C.因为侧面AA1C1C为菱形，所以AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B.考点五空间向量与立体几何31考法4求空间距离[大纲全国2014·1932(2)【解】因为BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，所以平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.如图所示，作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.又因为直线AA1∥平面BCC1B1，考点五空间向量与立体几何32(2)【解】因为BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC33考点五空间向量与立体几何33考点五空间向量与立体几何34考点五空间向量与立体几何34考点五空间向量与立体几何专题八

立体几何专题八立体几何目录CONTENTS考点一空间几何体的三视图、表面积与体积1

考点三直线、平面平行的判定及其性质3考点五空间向量与立体几何5考点四直线、平面垂直的判定及其性质4考点二空间点、直线、平面之间的位置关系2目录考点一空间几何体的三视图、表面积与体积1考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握核心方法重点突381．空间向量(1)共面向量及共面向量定理①共面向量的定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(1)当p，a，b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p，a，b所在三条直线共面的充要条件．(2)推论1和推论2与共面向量定理实质是一样的，只是形式不同，是证明M，A，B，P四点共面的重要理论依据和判定方法．考点五空间向量与立体几何必备知识全面把握41．空间向量(1)共面向量及共面向量定理(39(2)空间向量的坐标表示设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，以e1，e2，e3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.那么，对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

(1)写向量坐标的前提是建立空间直角坐标系，在坐标轴上取单位正交基底．(2)写向量的坐标时，三个实数之间的顺序不可颠倒，如a＝(1，2，4)与b＝(4，2，1)不是同一向量．(3)在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是唯一确定的．考点五空间向量与立体几何5(2)空间向量的坐标表示(1)写向量坐标的40考点五空间向量与立体几何6考点五空间向量与立体几何412．空间角考点五空间向量与立体几何72．空间角考点五空间向量与立体几何42(2)用几何法求空间角①异面直线所成角的求法求异面直线所成的角分四步：作、证、求、结论．a．作角：选择适当的点，作异面直线中的一条或两条的平行线，使其成为相交直线(即作出异面直线所成的角)，这里的点通常选择特殊位置的点，如直线上某一线段的端点或中点，也可以是异面直线中某一条上的一个特殊点．b．证明：证明作出的角就是要求的角．c．计算：求角度，常利用解三角形的知识．d．结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求的异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求的异面直线所成的角．考点五空间向量与立体几何8(2)用几何法求空间角a．作角：选择适当的点，作异面直线中43②直线与平面所成的角的求法

直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取一点(除斜足外)作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直线在平面内的射影)，最后根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角．

上述步骤可以简记为：一作、二证、三求．其中，确定斜线在平面内的射影是求解过程的关键．③求二面角的平面角的步骤a．找到或作出二面角的平面角；b．证明a中的角就是所求的角；c．计算出此角的大小．以上步骤可概括为“一作、二证、三计算考点五空间向量与立体几何9②直线与平面所成的角的求法上述步骤可以简记为：一作、二证44考点五空间向量与立体几何10考点五空间向量与立体几何45考点五空间向量与立体几何11考点五空间向量与立体几何46核心方法重点突破方法1异面直线所成角的求法求异面直线所成的角常采用“平移法”与“向量法”．(1)平移法①平移找角(作角)；②证明：推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成角；③求解：解三角形求出角的大小，注意异面直线所成角的取值范围．其中，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；利用异面直线所在几何体的特点，补形平移．(2)向量法使用范围更广，适用于异面直线所成的角不易作、垂直关系多的情况．设异面直线a，b所成的角为θ，则

其中，a，b分别是直线a，b的方向向量．考点五空间向量与立体几何12核心方法重点突破方法1异面直线所成角的求法求异47【答案】B考点五空间向量与立体几何13【答案】B考点五空间向量与立体几何48考点五空间向量与立体几何14考点五空间向量与立体几何49考点五空间向量与立体几何15考点五空间向量与立体几何50方法2线面角的求法1．几何法求线面角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置；②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值，即sinθ＝

.其中，θ为线面角，h为点B到平面α的距离，l为斜线段AB的长．如图(1)．图(1)考点五空间向量与立体几何16方法2线面角的求法1．几何法求线面角的步骤考点五512．向量法求线面角的方法如图(2)所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sinφ＝考点五空间向量与立体几何172．向量法求线面角的方法考点五空间向量与立体几何52[湖南、江西十四校2018联考]如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为(

)

【解析】连接AB1与A1B交于点F，则AF⊥平面A1BCD1.连接EF，则∠AEF是直线AE与平面A1BCD1所成角，tan∠AEF＝.故选A.【答案】A考点五空间向量与立体几何18[湖南、江西十四校2018联考]如图，已知棱长为53方法3二面角的求法1．几何法求二面角(1)找①点(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图(1)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图(2)，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．(2)算sin

θ＝

，如图(4)，θ为二面角的大小，h为点A到平面β的距离，d为点A到棱l的距离．③面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图(3)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．考点五空间向量与立体几何19方法3二面角的求法1．几何法求二面角(2)算③面542．向量法求二面角考点五空间向量与立体几何202．向量法求二面角考点五空间向量与立体几何55考点五空间向量与立体几何21考点五空间向量与立体几何56方法4空间距离的求法求空间距离常用的方法(1)几何法①直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出表示空间距离的垂线段，再通过解三角形求出距离．其中，找垂足是作垂线段的关键，一般可借助线面垂直的判定定理作面的垂线．因此，要善于挖掘条件中的线线垂直，用以作平面的垂线段．②间接法：利用“等积性”可求“点到面的距离”．因为点到面的距离可转化为一个几何体的高，因此寻求一个体积易求的几何体，利用V＝Sh或

求解出h，从而得到点到面的距离．考点五空间向量与立体几何22方法4空间距离的求法求空间距离常用的方法考点五空57考点五空间向量与立体几何23考点五空间向量与立体几何58考点五空间向量与立体几何24考点五空间向量与立体几何59考法例析成就能力考法1

求异面直线所成的角[课标全国Ⅱ2017·10]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)考点五空间向量与立体几何25考法例析成就能力考法1求异面直线所成的角60[浙江2018·8]已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则(

)A．θ1≤θ2≤θ3

B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2

D．θ2≤θ3≤θ1考点五空间向量与立体几何2