2021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件

第2讲不等式选讲第2讲不等式选讲1高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数21.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a). (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围.解

(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，显然f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1).(2)当a<1时，若a≤x<1，则f(x)＝(x－a)x＋(2－x)·(x－a)＝2(x－a)≥0，不合题意；所以a≥1，当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞).真题感悟1.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－32.(2019·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：证明

(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，2.(2019·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc4(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，当且仅当a＝b＝c＝51.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.考点整合2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|63.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(72021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件8热点一绝对值不等式的解法【例1】

(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.热点一绝对值不等式的解法【例1】(2018·全国Ⅱ卷)设9(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.又|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立.故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.10探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可11【训练1】

(2019·河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－m|(m>0). (1)当m＝2时，求不等式f(x)≤1的解集； (2)g(x)＝f(x)－2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m的值.解

(1)当m＝2时，不等式f(x)≤1化为2|x＋1|－|x－2|≤1，①当x<－1时，不等式化为x＋5≥0，解得－5≤x<－1.③当x>2时，不等式化为3＋x≤0，解集为∅.【训练1】(2019·河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)12故实数m的取值是3.故实数m的取值是3.13热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题角度1不等式恒成立问题【例2－1】

(2019·长郡中学模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－1|(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；解

(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒|x－1|＋|2x－1|≤2，热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题【例2－1】(201142021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件15∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2，∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2，162021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件17【训练2】

(2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.则当x≥1时，f(x)＝2>1恒成立，所以x≥1；【训练2】(2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－18(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立.(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价19角度2不等式能成立问题【例2－2】

(2019·河北名校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1， (1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x<2；解

(1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1，不等式f(x)＋x<2化为|2x＋2|<1－x，当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解；当1－x>0时，不等式化为x－1<2x＋2<1－x，角度2不等式能成立问题解(1)当a＝2时，函数f(x)＝20(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解，等价于b≤g(x)max，由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，∴b≤|a2－a|＋1；(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，212021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件222021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件23【训练3】

已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋m|(m∈R) (1)若m＝2时，解不等式f(x)≤3； (2)若关于x的不等式f(x)≤|2x－3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围.解

(1)当m＝2时，不等式为|x－1|＋|2x＋2|≤3，若－1<x<1，则原不等式可化为1－x＋2x＋2≤3，解得x≤0，所以－1<x≤0；若x≥1，则原不等式可化为x－1＋2x＋2≤3，不等式无解.【训练3】已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋m|(m∈24(2)当x∈[0，1]时，由f(x)≤|2x－3|，得1－x＋|2x＋m|≤3－2x，则x－2≤2x＋m≤2－x，因此－x－2≤m≤2－3x，由f(x)≤|2x－3|在x∈[0，1]上有解，知(－x－2)min≤m≤(2－3x)max，所以－3≤m≤2.故实数m的取值范围为[－3，2].(2)当x∈[0，1]时，由f(x)≤|2x－3|，25热点三不等式的证明【例3】

已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.

证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.证明

(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.热点三不等式的证明证明(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a26探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.在不等式的证明中，一方面要注意基本不等式成立的条件；另一方面要善于对“式子”进行恰当的转化、变形.探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和272021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件28所以4a2－1<0，4b2－1<0，所以|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.所以4a2－1<0，4b2－1<0，291.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想.2.利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题.3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对302021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件第2讲不等式选讲第2讲不等式选讲32高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数331.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a). (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围.解

(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，显然f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1).(2)当a<1时，若a≤x<1，则f(x)＝(x－a)x＋(2－x)·(x－a)＝2(x－a)≥0，不合题意；所以a≥1，当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞).真题感悟1.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－342.(2019·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：证明

(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，2.(2019·全国Ⅰ卷)已知a，b，c为正数，且满足abc35(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，当且仅当a＝b＝c＝361.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.考点整合2.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1.绝对值不等式的性质定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|373.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立.3.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(382021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件39热点一绝对值不等式的解法【例1】

(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.热点一绝对值不等式的解法【例1】(2018·全国Ⅱ卷)设40(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.又|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立.故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.41探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可42【训练1】

(2019·河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－m|(m>0). (1)当m＝2时，求不等式f(x)≤1的解集； (2)g(x)＝f(x)－2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A，B，C，若三角形ABC的面积为12，求m的值.解

(1)当m＝2时，不等式f(x)≤1化为2|x＋1|－|x－2|≤1，①当x<－1时，不等式化为x＋5≥0，解得－5≤x<－1.③当x>2时，不等式化为3＋x≤0，解集为∅.【训练1】(2019·河南A10联盟冲刺)已知函数f(x)43故实数m的取值是3.故实数m的取值是3.44热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题角度1不等式恒成立问题【例2－1】

(2019·长郡中学模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－1|(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；解

(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒|x－1|＋|2x－1|≤2，热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题【例2－1】(201452021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件46∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2，∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2，472021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件48【训练2】

(2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.则当x≥1时，f(x)＝2>1恒成立，所以x≥1；【训练2】(2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－49(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立.(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价50角度2不等式能成立问题【例2－2】

(2019·河北名校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1， (1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x<2；解

(1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1，不等式f(x)＋x<2化为|2x＋2|<1－x，当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解；当1－x>0时，不等式化为x－1<2x＋2<1－x，角度2不等式能成立问题解(1)当a＝2时，函数f(x)＝51(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解，等价于b≤g(x)max，由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，∴b≤|a2－a|＋1；(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，522021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件532021年高考文数第二轮第2讲-不等式选讲课件54【训练3】

已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋m|(m∈R) (1)若m＝2时，解不等式f(x)≤3； (2)若关于x的不等式f(x)≤|2x－3|在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围.解

(1)当m＝2时，不等式为|x－1|＋|2x＋2|≤3，若－1<x<1，则原不等式可化为1－x＋2x＋2≤3，解得x≤0，所以－1<x≤0；若x≥1，则原不等式可化为x－1＋2x＋2≤3，不等式无解.【训练3】已知函数f(x)＝|x－1|＋|2x＋m|(m∈55(2)当x∈[0，1]时，由f(x)≤|2x－3|，得1－x＋|2x＋m|≤3－2x，则x－2≤2x＋m≤2－x，因此－x－2≤m≤2－3x，由f(x)≤|2x－3|在x∈[0，1]上有解，知(－x－2)min≤m≤(2－3x)max，所以－3≤m≤2.故实数m的取值范围为[－3，2].(2)当x∈[0，1]时，由f(x)≤|2x－3|，56热点三不等式的证明【例3】

已知实数a>0，b>0，且