《诱导公式》课件与导学案

第5章

三角函数5.3诱导公式第5章三角函数5.3诱导公式诱导公式二~四【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P

（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α

有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又

会得到什么结论？

【分析】以OQ为终边的角都是与角α+π终边相同的角，即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).

因此只需要研究角α+π和角α的三角函数关系即可.设P，由对称

关系有Q，根据三角函数的定义得，，；

这就是公式二：

诱导公式二~四【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆诱导公式二~四【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？【答】内容：

作用：把任意角的三角函数值转化为0~2π上角的三角函数值.【回顾2】点P关于轴、轴和原点的对称点是什么？

【答】关于轴对称：;关于轴对称：;关于原点对称：

【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？【答】

诱导公式二~四【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？【答】诱导公式二~四【拓展】进一步，通过作出P点关于轴的对称点和关于

轴的对称点，我们可以得出如下结论：

【公式三】

【公式四】

诱导公式二~四【拓展】进一步，通过作出P点关于轴的诱导公式二~四【总结】对于公式一~四的概括：

【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上

等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时

原函数值的符号.即“函数名不变，符号看象限.”【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对

于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即

【3】诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制

表示.诱导公式二~四【总结】对于公式一~四的概括：

诱导公式二~四【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？【答】

【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由

新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在

第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα诱导公式二~四【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？【诱导公式的应用【例1】利用公式求下列三角函数的值.【解】

诱导公式的应用【例1】利用公式求下列三角函数的值.【解】

诱导公式的应用【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】任意负角的三角函数用公式一或公式三任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数用公式二或公式四锐角的三角函数用公式一利用诱导公式化简的一般思路：切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.诱导公式的应用【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐诱导公式的应用【例2】化简【解】因为

所以原式=

诱导公式的应用【例2】化简【解】因为

所以原式=

填表：

填表：

诱导公式五~六【问题1】

【分析】作角α的终边关于的对称边，根据集合

对称关系，设P点坐标为，则Q点坐标为

，由三角函数的定义有：

同理我们有

诱导公式五~六【问题1】

【分析】作角α的终边关于诱导公式五~六【总结1】公式五和公式六可以概括如下：

的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面

加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”【总结2】六组诱导公式各有什么用？

公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值公式三：将负角转化成正角求值公式四：将之间的角转化成之间的角求值

公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化诱导公式五~六【总结1】公式五和公式六可以概括如下：六组诱导公式的横向对比

六组诱导公式的横向对比

六组诱导公式的横向对比【1】诱导公式都是α的三角函数与的三角函数之间的转化，记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限

【2】“奇变偶不变”：角α前面的是，如果是的奇数倍，那么得到的

三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果是的偶数倍，

那么得到的三角函数名不变化

【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，

此时判断所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号

是正还是负.【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立

六组诱导公式的横向对比【1】诱导公式都是α的三角函数与【例1】证明：【证明】

【例1】证明：【证明】【例2】已知，且，求的值.【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果设β=53°-α，γ=37°+α，那

么β+γ=90°，所以可以利用诱导公式.

【解】设β=53°-α，γ=37°+α，则β+γ=90°，γ=90°-β.所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°由，得143°＜β＜180°

所以

所以

【例2】已知《5.3诱导公式》导学案(第1课时)第五章三角函数《5.3诱导公式》导学案第五章三角函数17第一阶段课前自学质疑第一阶段课前自学质疑18sinα

cosα

tanα

－sinα

－cosα

tanα

必备知识深化预习sinαcosαtanα－sinα－cos19－sinα

cosα

－tanα

sinα

－cosα

－tanα

－sinαcosα－tanαsinα－cos20同名函数值

原函数值的符号

函数名不变，符号看象限

同名函数值原函数值的符号函数名不变，符号看象限21A

预习验收衔接课堂A预习验收衔接课堂22B

B

BB23A

A24第二阶段课堂探究评价第二阶段课堂探究评价25关键能力素养提升关键能力素养提升26《诱导公式》课件与导学案27《诱导公式》课件与导学案28《诱导公式》课件与导学案29《诱导公式》课件与导学案30《诱导公式》课件与导学案31《诱导公式》课件与导学案32《诱导公式》课件与导学案33《诱导公式》课件与导学案34《诱导公式》课件与导学案35《诱导公式》课件与导学案36《诱导公式》课件与导学案37《诱导公式》课件与导学案38《诱导公式》课件与导学案39《诱导公式》课件与导学案40《诱导公式》课件与导学案41课堂检测基础达标课堂检测基础达标42《诱导公式》课件与导学案43《诱导公式》课件与导学案44《诱导公式》课件与导学案45《诱导公式》课件与导学案46《诱导公式》课件与导学案47《5.3诱导公式》导学案(第2课时)第五章三角函数《5.3诱导公式》导学案第五章三角函数48第一阶段课前自学质疑第一阶段课前自学质疑49cosα

sinα

cosα

－sinα

必备知识深化预习cosαsinαcosα－sinα必备知识50异名

锐角时原函数值的符号

函数名改变，符号看象限

异名锐角时原函数值的符号函数名改变，符号看象限51《诱导公式》课件与导学案52C

预习验收衔接课堂C预习验收衔接课堂530

1

－sin2α

01－sin2α54第二阶段课堂探究评价第二阶段课堂探究评价55关键能力素养提升关键能力素养提升56《诱导公式》课件与导学案57《诱导公式》课件与导学案58《诱导公式》课件与导学案59B

B60《诱导公式》课件与导学案61《诱导公式》课件与导学案62《诱导公式》课件与导学案63《诱导公式》课件与导学案64《诱导公式》课件与导学案65《诱导公式》课件与导学案66《诱导公式》课件与导学案67《诱导公式》课件与导学案68《诱导公式》课件与导学案69《诱导公式》课件与导学案70《诱导公式》课件与导学案71《诱导公式》课件与导学案72《诱导公式》课件与导学案73《诱导公式》课件与导学案74B

B75课堂检测基础达标课堂检测基础达标76《诱导公式》课件与导学案77《诱导公式》课件与导学案78《诱导公式》课件与导学案79《诱导公式》课件与导学案80第5章

三角函数5.3诱导公式第5章三角函数5.3诱导公式诱导公式二~四【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P

（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α

有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又

会得到什么结论？

【分析】以OQ为终边的角都是与角α+π终边相同的角，即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).

因此只需要研究角α+π和角α的三角函数关系即可.设P，由对称

关系有Q，根据三角函数的定义得，，；

这就是公式二：

诱导公式二~四【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆诱导公式二~四【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？【答】内容：

作用：把任意角的三角函数值转化为0~2π上角的三角函数值.【回顾2】点P关于轴、轴和原点的对称点是什么？

【答】关于轴对称：;关于轴对称：;关于原点对称：

【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？【答】

诱导公式二~四【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？【答】诱导公式二~四【拓展】进一步，通过作出P点关于轴的对称点和关于

轴的对称点，我们可以得出如下结论：

【公式三】

【公式四】

诱导公式二~四【拓展】进一步，通过作出P点关于轴的诱导公式二~四【总结】对于公式一~四的概括：

【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上

等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时

原函数值的符号.即“函数名不变，符号看象限.”【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对

于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即

【3】诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制

表示.诱导公式二~四【总结】对于公式一~四的概括：

诱导公式二~四【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？【答】

【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由

新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在

第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα诱导公式二~四【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？【诱导公式的应用【例1】利用公式求下列三角函数的值.【解】

诱导公式的应用【例1】利用公式求下列三角函数的值.【解】

诱导公式的应用【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】任意负角的三角函数用公式一或公式三任意正角的三角函数0~2π的角的三角函数用公式二或公式四锐角的三角函数用公式一利用诱导公式化简的一般思路：切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.诱导公式的应用【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐诱导公式的应用【例2】化简【解】因为

所以原式=

诱导公式的应用【例2】化简【解】因为

所以原式=

填表：

填表：

诱导公式五~六【问题1】

【分析】作角α的终边关于的对称边，根据集合

对称关系，设P点坐标为，则Q点坐标为

，由三角函数的定义有：

同理我们有

诱导公式五~六【问题1】

【分析】作角α的终边关于诱导公式五~六【总结1】公式五和公式六可以概括如下：

的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面

加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”【总结2】六组诱导公式各有什么用？

公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值公式三：将负角转化成正角求值公式四：将之间的角转化成之间的角求值

公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化诱导公式五~六【总结1】公式五和公式六可以概括如下：六组诱导公式的横向对比

六组诱导公式的横向对比

六组诱导公式的横向对比【1】诱导公式都是α的三角函数与的三角函数之间的转化，记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限

【2】“奇变偶不变”：角α前面的是，如果是的奇数倍，那么得到的

三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果是的偶数倍，

那么得到的三角函数名不变化

【3】“符号看象限”：将角α看成一个锐角(为了判断符号，实际α可以不是锐角)，

此时判断所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号

是正还是负.【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立

六组诱导公式的横向对比【1】诱导公式都是α的三角函数与【例1】证明：【证明】

【例1】证明：【证明】【例2】已知，且，求的值.【分析】注意到(53°-α)+(37°+α)=90°，如果设β=53°-α，γ=37°+α，那

么β+γ=90°，所以可以利用诱导公式.

【解】设β=53°-α，γ=37°+α，则β+γ=90°，γ=90°-β.所以sinγ=sin(90°-β)=cosβ因为-270°＜α＜-90°，所以143°＜β＜323°由，得143°＜β＜180°

所以

所以

【例2】已知《5.3诱导公式》导学案(第1课时)第五章三角函数《5.3诱导公式》导学案第五章三角函数97第一阶段课前自学质疑第一阶段课前自学质疑98sinα

cosα

tanα

－sinα

－cosα

tanα

必备知识深化预习sinαcosαtanα－sinα－cos99－sinα

cosα

－tanα

sinα

－cosα

－tanα

－sinαcosα－tanαsinα－cos100同名函数值

原函数值的符号

函数名不变，符号看象限

同名函数值原函数值的符号函数名不变，符号看象限101A

预习验收衔接课堂A预习验收衔接课堂102B

B

BB103A

A104第二阶段课堂探究评价第二阶段课堂探究评价105关键能力素养提升关键能力素养提升106《诱导公式》课件与导学案107《诱导公式》课件与导学案108《诱导公式》课件与导学案109《诱导公式》课件与导学案110《诱导公式》课件与导学案111《诱导公式》课件与导学案112《诱导公式》课件与导学案113《诱导公式》课件与导学案