《课题学习最短路径问题》优秀课件初中数学1

13.4课题学习最短路径问题人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题人教版数学八年级上册11.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化利用对称知识解决最短路径问题“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.AB①②③PlABCD现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.探究新知利用对称知识解决最短路径问题“两点的所有连线中，线段

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮解：连接AB,与直线l相交于一点C.∴AC+CE+MN＞AE+MN,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.（1）作点B关于直线l的对称点B′；根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.（2）连接AB′，与直线l相交于点C．利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）AM+MN+BN长度改变了.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？A．10B．15

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.问题1：AlBC解：连接AB,与直线l相交于一点C.现在假如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.问题2：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l

相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C作法：ABlB′C你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．问题3：ABlB′CC′你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线C．20D．30现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，Q是m上到A、B距离相等的点.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．A．AB B．DE C．BD D．AF4课题学习最短路径问题（2）连接AB′，与直线l相交于点C．例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4

D．不能确定解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.B考点探究1最短路径问题的应用C．20D．30例1如图，已知此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.方法点拨此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求∴AC+BC＜AC′+BC′．根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.即AC+BC最短．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．∴AC′+BC′=AC′+B′C′．“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.则四边形AFD′D为平行四边形，如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.（1）作点B关于直线l的对称点B′；解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？∴AC+BC=AC+B′C=AB′，Q是m上到A、B距离相等的点.在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM巩固练习∴AC+BC＜AC′+BC′．1.如图，直线l是一条河，2.

如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′EA探究新知例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.方法点拨求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.巩固练习3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM利用平移知识解决造桥选址问题探究新知如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造BA●●

?NMNNM

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？MBA●●?NMNNM如图假定任选位置造桥M如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.AM+MN+BN长度有没有改变呢？能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．A．AB B．DE C．BD D．AF即AC+BC最短．根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.4课题学习最短路径问题AM+MN+BN长度改变了.C．4D．不能确定解：连接AB,与直线l相交于一点C.即AC+CD+DB＞AM+MN+BN，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.（1）作点B关于直线l的对称点B′；如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.【思BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AMBAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1

＞AM+MN+BN.BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为

AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=解决最短路径问题的方法

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.方法点拨解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ....巩固练习4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到

如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．D连接中考如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，B1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，

Q是m上到A、B距离相等的点.

B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，

P是m上到A、B距离相等的点.

C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.

D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点.A.课堂检测基础题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=13.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是

米.ACBD河10003.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．xyOBAB'P解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B提升题如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同4课题学习最短路径问题A．P是m上到A、B距离之和最短的点，如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.因此AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？作DD′,EE′即为桥.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.∴AC+BC＜AC′+BC′．Q是m上到A、B距离相等的点.解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即为桥.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD4课题学习最短路径问题解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．ABCDPOABNOABM图①图②图③图①图②图③拓展题（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使ABCDM'C'P图①POABP'P''EF图②NOABMN'EF图③ABCDM'C'P图①POABP解决最短路径问题的方法理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′.在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.作DD′,EE′即为桥.作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．解：连接AB,与直线l相交于一点C.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）5B．5能利用轴对称解决简单的最短路径问题.利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.原理线段公理和垂线段最短最短路径问题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识+线段公理解题方法总结新知解决最短路径问题的方法原理线段公理和垂线段最短最短路径问题解13.4课题学习最短路径问题人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题人教版数学八年级上册351.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化利用对称知识解决最短路径问题“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.AB①②③PlABCD现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.探究新知利用对称知识解决最短路径问题“两点的所有连线中，线段

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C抽象成ABl数学问题作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.实际问题ABl如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮解：连接AB,与直线l相交于一点C.∴AC+CE+MN＞AE+MN,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.（1）作点B关于直线l的对称点B′；根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.（2）连接AB′，与直线l相交于点C．利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）AM+MN+BN长度改变了.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？A．10B．15

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？

根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.解：连接AB,与直线l相交于一点C.问题1：AlBC解：连接AB,与直线l相交于一点C.现在假如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决所走路径最短的问题？【思考】对于问题2，如何将点B“移”到l

的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.问题2：如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，作法：（1）作点B

关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l

相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C作法：ABlB′C你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．问题3：ABlB′CC′你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线C．20D．30现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，Q是m上到A、B距离相等的点.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．A．AB B．DE C．BD D．AF4课题学习最短路径问题（2）连接AB′，与直线l相交于点C．例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，例1如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4

D．不能确定解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.B考点探究1最短路径问题的应用C．20D．30例1如图，已知此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.方法点拨此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求∴AC+BC＜AC′+BC′．根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.即AC+BC最短．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．∴AC′+BC′=AC′+B′C′．“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.则四边形AFD′D为平行四边形，如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.（1）作点B关于直线l的对称点B′；解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？∴AC+BC=AC+B′C=AB′，Q是m上到A、B距离相等的点.在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM巩固练习∴AC+BC＜AC′+BC′．1.如图，直线l是一条河，2.

如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点.2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．B′C′EA探究新知例2如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.方法点拨求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.巩固练习3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM利用平移知识解决造桥选址问题探究新知如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造BA●●

?NMNNM

如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定桥的位置，才能使A到B的路径最短呢？MBA●●?NMNNM如图假定任选位置造桥M如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.AM+MN+BN长度有没有改变呢？能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．A．AB B．DE C．BD D．AF即AC+BC最短．根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.4课题学习最短路径问题AM+MN+BN长度改变了.C．4D．不能确定解：连接AB,与直线l相交于一点C.即AC+CD+DB＞AM+MN+BN，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.（1）作点B关于直线l的对称点B′；如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.【思考】我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.BAＭＮ如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.【思BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.2.把B平移到岸边.AM+MN+BN长度改变了.BAＭＮA'B'1.把A平移到岸边.AM+MN+BN长度改变BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AM+MN+BN长度有没有改变呢？BAＭＮ3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.AMBAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1

＞AM+MN+BN.BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路径长为

AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.A·BMNECD证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=解决最短路径问题的方法

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.方法点拨解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们通常4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ....巩固练习4.牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到

如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF解析：如图，连接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长．D连接中考如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，B1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，

Q是m上到A、B距离相等的点.

B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，

P是m上到A、B距离相等的点.

C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.

D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点.A.课堂检测基础题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30A2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=13.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是

米.ACBD河10003.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．xyOBAB'P解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B提升题如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同