2022-2023学年人教版初中数学专题《圆中定值问题》含答案解析

专题圆优选提升题一：圆中定值问题一．填空题（共1小题）1．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结DE，设＝k（k＞1）．当k＝2时，＝1；当k＜时，＝.（用含k的代数式表示）【分析】连接AD，BE，证△ABD∽△BCE，根据线段比例关系得出AE与CE的关系，即可得出的代数式，代入k＝2求值即可得出结论．【解答】解：连接AD，BE，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠ABD＝∠C，∵∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ABD∽△BCE，∴，∴，∴AB＝kBD，BC＝kCE，∵BC＝2BD，∴BD＝BC＝kCE，∴AB＝kkCE＝k2CE＝AC，∴AE＝AC﹣CE＝k2CE﹣CE＝CE，∴＝＝，当k＝2时，，若k＜，则此时△ABC为钝角三角形，如下图所示：设AE＝x，∴BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，∴22﹣（k+x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴＝＝，故答案为：1，．【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．二．解答题（共5小题）2．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且A（﹣2，0），E（2，0）．（1）的度数为120°；（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为4；（3）如图3，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求线段AQ的长；（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．【分析】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA＝CE，由于CE＝AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB＝120°；（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG＝，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是劣弧上的一动点，故当P，E，D三点共线，即PD为直径时，PD最大，此时OG最大；（3）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到，所以∠ACD＝∠CPA，又CQ平分∠DCP，所以∠PCQ＝∠DCQ，可以证明∠ACQ＝∠AQC，所以AC＝AQ，由（1）可得，AC＝AE＝4，所以AQ＝4；（4）由直径AB⊥CD，可以得到AB垂直平分CD，所以AC＝AD，∠CAD＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，可以证明M，D，P三点共线，所以PC+PD＝PM，可以证明△PAM是顶角为120°的等腰三角形，过A做AG⊥PM于G，由于∠APM＝30°，可以通过勾股定理或者三角函数证明PM＝PA，所以．【解答】解：（1）如图1，连接CE，AC，∵A（﹣2，0），E（2，0），∴OA＝OE＝2，∵AB⊥CD，∴CD垂直平分AE，∴CA＝CE，∵CE＝AE，∴CA＝CE＝AE，∴∠CEA＝60°，∴∠CEB＝180°﹣∠CEA＝120°，故答案为120；（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO＝OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG＝，当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP＝AB＝2AE＝8，∴OG的最大值为4，故答案为4；（3）如图3，连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ACD＝∠CPA，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ＝∠CPA+∠PCQ，∴∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝AC由（1）可得，AC＝AE＝4，∴AQ＝4；证明：（4）由题可得，直径AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，由（1）可得，△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠DAC＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，∴△ACP≌△ADM，∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，∵四边形ACPD为圆内接四边形，∴∠ACP+∠ADP＝180°，∴∠ADM+∠ADP＝180°，∴M，D，P三点共线，∴PD+PC＝PD+DM＝PM，过A作AG⊥PM于G，则PM＝2PG，∵∠APM＝∠ACD＝30°，在Rt△APG中，∠APM＝30°，设AG＝x，则AP＝2x，∴，∴PM＝2PG＝，∴，∴，∴为定值．【点评】本题是一道圆的综合题，重点考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段”联想到旋转，是此题的突破口，同时，要注意顶角为120度的等腰三角形腰和底边比是固定值．3．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是上异于A，B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G，H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C是上运动时，在CD，CG，DG这三条线段中，是否存在长度不变的线段？若存在，请指出这条线段并求该线段的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接OC交DE于M，证四边形OECD是矩形，推出MC＝MO，MG＝MH即可；（2）根据矩形的性质得出DE＝OC＝3，由题知，CD和CG随C点的变化而变化，而CG＝DE，求出CG的长度即可．【解答】（1）证明：连接OC交DE于M，∵CE⊥OB，CD⊥OA，∠BOA＝90°，∴四边形CEOD是矩形，∴OM＝CM，EM＝MD，∵EH＝DG，∴EM﹣EH＝MD﹣DG，即HM＝MG，∴四边形OGCH是平行四边形；（2）解：DG不变，在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，∵DG＝GH＝HE，∴DG＝DE＝＝1，由题知，CD和CG随着点C的移动而发生变化，故在CD，CG，DG这三条线段中，DG长度不变且长度为1．【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，圆的性质等知识是解题的关键．4．如图①，点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，射线DM与△AMB的外接圆的另一个交点为N，与射线CB相交于点P．（1）当点N与点B重合时，的值为；（2）如图②，当MN是△AMB外接圆的直径时，求的值：（3）若△PNC为等腰三角形，求的值．【分析】（1）当N与B重合时，点D、M、B共线，根据正方形的性质即可得出结论；（2）连接BN、AN，根据SAS证△DCM≌△BCM，得出∠DMC＝∠CMB，推出∠CBM＝∠CMB，即CM＝CB，根据＝＝tan∠CAB即可得出结论；（3）由△PNC为等腰三角形知，只能是NC＝NP，过N作NG⊥CD于G点，则NG＝CD，设AH＝x，则HB＝1﹣x，证△ADH∽△BPH，根据线段比例关系得出BP，CP，推出的值即可．【解答】解：（1）当N与B重合时，点D、M、B共线，∵正方形ABCD中，AC＝BD，∴AC、BD相交于点M，∴AN＝CM＝AC，则＝，故答案为：；（2）连接BN、AN，∵MN是ABM外接圆直径，∴∠MBA+∠ABN＝90°，∵∠ABC＝90°即∠CBM+∠MBA＝90°，∴∠ABN＝∠CBM，∵∠ABN＝∠AMN＝∠DMC，CD＝CB，∠DCM＝∠BCM＝45°，CM＝CM，∴△DCM≌△BCM（SAS），∴∠DMC＝∠CMB，∴∠CBM＝∠CMB，∴CM＝CB，∴＝＝tan∠CAB＝；（3）由△PNC为等腰三角形知，只能是NC＝NP，∴N在CP的垂直平分线上，过N作NG⊥CD于G点，则NG＝CD，连接AN、MB，作AQ⊥DP于点Q，设CD＝CB＝1，DP与AB相交于点H，设AH＝x，则HB＝1﹣x，∵AD∥CP，∴∠ADH＝∠P，且∠AHD＝∠PHB，∴△ADH∽△BPH，∴＝，即＝，解得：BP＝，∴CP＝1+＝，由勾股定理得PD＝，∵M是AC上的点，∴∠ABM＝∠ADM，∵∠ABM＝∠ANQ，∴∠ADM＝∠ANQ，∴AD＝AN，∴DQ＝DN＝DP＝，∵∠ADM＝∠P，∴cos∠ADM＝cos∠P，即，∴＝，整理得x2﹣4x+1＝0，解得x＝2﹣或x＝2+（舍去），∴＝＝2+．【点评】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．5．如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦．CD＝4，AB与CD交于点E，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长BA至P，使AP＝OA，连接PC．（1）求⊙O的半径；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点N为的中点，在PC延长线上有一动点M，连接MN交AB于点G．交于点F（F与B、C不重合）．求NG•NF的值．【分析】（1）连接OC，根据翻折得OE＝OA＝OC，利用勾股定理求出半径即可；（2）利用勾股定理求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO＝90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接NO并延长交⊙O于H，证△OGN∽△FCN，根据线段比例关系求值即可．【解答】（1）解：连接OC，∵将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OE＝OA＝OC，CD⊥AO，∵CD＝4，∴CE＝2，由勾股定理得，OC2＝CE2+OE2，即OC2＝（2）2+（OC）2，解得OC＝4，∴⊙O的半径为4；（2）证明：∵PA＝OA＝4，AE＝OE＝2，CE＝CD＝2，∠CEP＝∠OEC＝90°，∴PE＝PA+AE＝6，∴PC＝＝＝4，∵OC＝4，PO＝4+4＝8，∴PC2+OC2＝（4）2+42＝64＝PO2，∴∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（3）解：连接NO并延长交⊙O于点H，连接HF，∵点N为的中点，∴∠GON＝90°，∵∠HFG＝90°，且∠ONG＝∠FNH，∴△OGN∽△FCN，∴，∴NG•NF＝ON•NH＝4×8＝32．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定和性质等知识，难点在于（3）中利用辅助线构造相似三角形．6．问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点．（不与点B、C重合）求证：为定值．思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．证明：在AD上截取点E．使AE＝BD．连接CE．运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB，O1B．（1）OB的长为1．（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．【分析】证明：在AD上截取AE＝BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD＝90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED＝AD﹣BD最后即可得出结论；（1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH＝5，进而即可得出结果；（2）在图2中先根据平行和O1A＝O1B得出∠ABO1＝∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG＝BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG＝AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG＝2，再根据等量代换即可得到结论．【解答】证明：如图1，在AD上截AE＝BD，∵，∴∠CAD＝∠CBD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ECD＝90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴CD＝ED，∵ED＝AD﹣BD，∴＝，即为定值；（1）如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，∴CH＝BH＝4，O1H＝3，O1A⊥x轴，∴O1B＝＝5，∴O1A＝O1B＝5，∴HO＝5，∴OB＝HO﹣HB＝5﹣4＝1，故答案为：1；（2）BM﹣BN的值不变，如图2，由（1）得，O1A⊥OA，∵OB⊥AO，∴O1A∥OB，∴∠O1BA＝∠OBA，∵O1A＝O1B，∴∠O1BA＝∠O1AB，∴∠ABO1＝∠ABO，如图3，在MB上