特选空间几何体的表面积和体积高考试题汇编

空间几何体的外表积和体积最新高考试题汇编（2023重庆一中高三下学期第一次月考，6）一个四面体的一条棱长为卡,其余棱长均为2,那么这个四面体的体积为（）4(A)4(A)1 (B)3 (C)242（D）3［解析］L取边长为卡的边的中点，并与其对棱的两个端点连接，（2023重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如以下图所示，那么它的外表积为（）（C）拗(D)69%［解析］2,该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其外表积为jrx3x5+2>rx3x5+<x32-54ff.（2023天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5）某几何体的三视图如以下图，根据图中标出的数据.可得这个几何体的外表积为（ ）4+助4+4^D.12iEWB左卤［解析］3.从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为有底面是边长为2的正方形，故其外表积为23x*2x有）=4+无4.（2023山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11）三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PAJ_平面ABC,PA=2AB=6,那么该球的体积为（）A.16小it B.32、/5五 C.48M D.64gll［解析］4.三棱锥P-ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P-ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3,设底面ABC的外接圆圆心为Oi,连接OA,OiA>OOi,那么OiA=/,OOi=3,所以OA2=O1A2+^?=12,所以该求的体积为32岳.5.（2023山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3）以下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，那么图中x的值为（）B.3C.4D.5［解析］5,根据三视图可知，该几何体由两局部组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以其体积为1x(3x2)xx+lx(3x2)=10^解得乂=26.(2023山西太原高三模拟考试(一)，10)在三棱锥S-ABC中，AB±BC,AB=BC=^,SA=SC=2,二面角S-AC-B的余弦值是学,假设S、A、B、C都在同一球面上，那么该球的外表积是（）A.8& C.2471D.6n•［解析］6,取线段AC的中点E,那么由题意可得SE±AC,BE±AC,那么NSEB即为二面角S-AC-B的平面角，在aSEB中,SE=6,BE=1,根据余弦定理府=3+1-域cosZSE3=6,得SB=&,在△SAB和ASCB中，满足勾股定理，可得SA±AB,SC±BC,所以S、A、B、C都在同一球面上，那么该球的直径是SB,所以该球的外表积为2净■叱7.（2023山西太原高三模拟考试（一），8）一个几何体的三视图如以下图（单位：cm）,那么该几何体的体积为（）正视图 例祝图俯视用（32+与）cm3（32+看）cm3（41+三）cm3（41+3）cm3［解析］7,该三视图对应的几何体为由上中下三局部构成的组合体，其中上半部是长宽高分别为3、3、1的长方体；中半部为底面直径为1高为1的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、2的长方体，其体积为3x3x15吴1+4x4x2=41咛.8.（2023安徽合肥高三第二次质量检测，3）某空间几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为（）

83832T16[正视图 融视图俯视图正视图 融视图俯视图［解析］8,由三视图知，原几何体是一个三棱柱,底面是等腰直角三角形，且腰长为2,所以该三棱柱的体积"=32心4=8.（2023重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，6）某几何体的三视图如以下图，假设该几何体的体积为24,那么该几何体的底面积是1）A.6B.12C.A.6B.12C.18D.24zd4zd4正视图侧视图俯视图［解析］9,根据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为4,因为体积24x4为24,所以底面积丁=叱（2023河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），8）点N,B,C,D在同一个球的球面上，AB=BC=2,AC=2&,假设四面体®⑦体积的4最大值为§,那么该球的外表积为（）1671A. B.8兀 C.9n D.12兀［解析］10.如图，当。DJ■平面加c时，四面体加8体积的最大.此时，以亡¥皿“，所以2=2,设球半径为R,那么042.00+0色即发=（2-封+2,从而及耳，故事=聪.D（2023湖北黄冈高三4月模拟考试，6）一个几何体的三视图如以下图，其中正视图是正三角形，那么几何体的外接球的外表积为（）T16月~64开D.T［解析］1L原几何体如图中三棱锥P-3C,由正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面以C垂直于底面，高为动，底面是一个等腰直角三角形，那么这个几何体的外接球的球心。在高线口上，且是等边三角形的中心，所以这个几何体的外接球的半径为3 3 3,所以这个几何体的外接球的外表积为£=4k肥=4承（喳②=等B12.（2023河北唐山高三第一次模拟考试，9）正三棱锥的高和底面边长都等于6,那么其外接球的外表积为（）A.既16北3%64%［解析］12.设球半径为K,如以下图，可得始=丽+（6-6，解得R=4,所以外表积为4派~64%.13.（2023河北唐山高三第一次模拟考试，7）某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为（）A.6B.2C.3D.36正视图 便1视图俯视图［解析］13.由三视图知，原几何体的体积为V=1・2・有・3=342 .14.（2023贵州贵阳高三适应性监测考试,5）以下图是一个几何体的三视图，那么该几何体的体积等于（）2 4A.2B.zCzD.4正模图AAR［解析］14,该几何体是一三棱柱，qi其体积为1X21X2x2x2=4.15.（2023黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，8）如以下图，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，那么这个球的外表积是（）C.28D.C.28D.铲［解析］15.由三视图知，原几何体是一个三棱柱，其底边为边长为2的等边三角形，高为2,所以球心在三棱柱上下两底面的中心的连线的中点，球的半径为在岭冬球的外表积为£=4吐（0'=华YJn.16.（2023山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，7）三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的外表上，SA_l平面ABC,AB-lBC,又SA=AB=BC=1,那么球O的外表积为（）(A)等(B)](C)3% (D)12^［解析］16.三棱锥S-ABC的外接球与高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P-ABC补成高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为设底面ABC的外接圆圆心为Oi,连接OA,OiA、OOi,近 1 3那么OiA=T,OOi=2,所以042=01人2+西=彳，所以该求的体积为加.17.（2023吉林实验中学高三年级第一次模拟，8）假设某棱锥的三视图（单位：cm）如以下图，那么该棱锥的体积等于（）A.10cm3 B.20cm3C.30cm3 D.40cm301K正松图・视图•N俯视图•（SMB>［解析］17.根据三视图可知，该几何体为如以下图所示的四棱锥，其中PA_LPB,底面ABCD为矩形且与侧面PAB垂直，过点P作线段AB的垂线，那么该垂线即为四棱锥的高，其长度为3x4-cm,而矩形ABCD的边长AD=5,AB=5,所13x4以其体积为尸7T（"9=20cm3.

DD18.（2023湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，4）某几何体的三视图（单位：cm）如以下图，那么该几何体的体积是（）C.88cmA.48cm3 B.98cm3C.88cm3 D.78cm3正便■ 正便■ was［解析］18.该三视图对应的几何体为长、宽、高分别为6cm、3cm、6cm的长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，其体积为6x3x6一1x（1x4x5）x3=98cm3.19.（2023河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,11）如以下图,

棱长为6的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，那么这个有孔正方体的外表积（含孔内各面）是（）(A)(A)222(B)258312(D)324312［解析］19.外表积等于正方体的外表积减去12个外表上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的外表积.那8=6x36-12+6x4x6-6x6=312.应选C.20.（2023河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,4）某几何体的三视图如以下图，其中正视图与侧视图均为矩形，俯视图上半局部为半，圆，那么该几何体的体积为（）

(C)(A)席十i (B)x+2(C)n+2 (D)&T+1［解析］20.根据三视图可知，该几何题是由半圆柱和直三棱柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1,高为2；直三棱柱的底面是腰长为近的等腰直角三角形，故该几何体的体积为—^xl1x2+（-x!x2）x2=^+22 2 •21.（2023吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，9）某几何体的三视图如以下图，那么它的外表积为（）lE视图左视图俯视图第9题图p计lE视图左视图俯视图第9题图p计1+24B.2+2D.升社邑

2［解析］21.由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1,高是2,所以母线长为百，所以其外表积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即*+*力+枭2、-+噌。应选a.22.（2023湖北武汉高三2月调研测试，8）如图,在长方体ABCD-AiBiCiDi中，E,H分别是棱AiBi,DiG上的点（点E与Bi不重合），且EH//A1D1,过EH的平面与棱BBi,CG相交,

交点分别为F,G.设AB=2AAi=2a.在长方体ABCD-AiBiCiDi内随机选取一点，记该点取自于几何体AiABFE-DiDCGH内的概率为P,当点E,F分别在棱AiBi,BBi上运动且满足EF=a时，那么P的最小值为34C.B.131634C.B.1316［解析］22.根据几何概型,1_Sf］3瓦E•耳F耳E必尸—1用胃+瓦尸2J_£=7-4?"2-"8,近其中“=〃当且仅当卒.即・了’时成立.应选D.（2023吉林高中毕业班上学期期末复习检测,7）某几何体的三视图（如图），那么该几何体的体积是（）A..r+62D.”皿［解析］23.由三视图知，原几何体是由一个半圆柱与一个半圆锥构成，其体积为Y砂吗如产以嗫（2023河南郑州高中毕业班第一次质量预测，4）如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形，那么该几何体的外表积为（）A.13+^5B.班

C.30+6^5D.iF.nre的RIHiF.nre的RIH［解析］24.由，元几何体为四棱柱，其底面边长为2+后两叫侧视图的高为凡...底面积为S・2x瘀・4，又因为棱柱的图为3,...侧面积为。+3+3+纵3・30,故原几何体的外表积为扣+4.（2023河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,3）一个几何体按比例绘制的三视图如以下图（单位："，那么该几何体的体积为（ ）

［解析］25.由三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体加半个正方体构成，所以体积为1/726.（2023成都高中毕业班第一次诊断性检测，8）一个长方体被一个平面截去一局部后所剩几何体的三视图如以下图所示（单位：cm）,那么该几何体的体积为（）正（支）观囹既©视图正（支）观囹既©视图(A)120房(B)80 (C)100” (D)60［解析］26.画出直观图可知，原几何体的体积y=7»-&»=4x5x6-Zx；x4*5x6=100 .32 C8%•(2023北京东城高三12月教学质量调研)一个空间几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为()(A) (B)r (C)加+冬(D)"+等正视四例视图但视图［解析］27.原几何体是由一个圆柱与一个圆锥构成，其体积为〃・T'吗冬.28.13.(2023天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,13)如果一个几何体的三视图如以下图(单位长度:cm),那么此几何体的外表积是cm2o

俯视图・俯视图・［解析］28.该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为底面边长为2,斜高为近的正四棱锥,下半局部是边长为2的正方体，所以其外表积为5x2x2+4xdx应2 ,29.（2023福州高中毕业班质量检测，14）某几何体的三视图（单位:cm）如以下图，那么该几何体的外表积为 .［解析］29.由三视图知，原几何体是一个棱长为2的正方体削去一个三棱锥后剩下的一个七面体,截面三角形为边长为20的等边三角形，截面的面积为如尾瓜多汽所以几何体的外表积为5=3x2x2+3x|x2x2+2^=18+2^（e»）30.（2023贵州贵阳高三适应性监测考试,15）四棱锥0-5»的顶点在球心0,底面正方形盘CD的四个顶点在球面上，且四棱锥。-丝⑺的体积为3=白，那么球。的体积为.［解析］30.因为底面正方形3CD的四个顶点在球面上，所以3⑦四个顶点在一个小圆面上，且加与m是小圆直径.所以人9弓/再"”"/4近，又即考，从而由/・必+（加）得："而，故/=逐..（2023山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，11）某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为［解析］31.根据三视图可知，该几何体是底面为以2和3为直角边的直角三角形高为4的三棱柱，其体积为我田4吗.（2023广西桂林中学高三2月月考，16）正三角形金c的边长为2,将它沿高&翻折，使点b与点C间的距离为1,此时四面体盘8外接球外表积为▲.［解析］32.根据题意知，三棱锥BTCD的三条侧棱励DCIDAf底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线到顶点的距离，就是球的半径，在正三棱柱盘。-闻汨中，底面边长为2,高为3,由题意得桑棱柱上下底面中点连线的中点到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的中心,所以，正三棱柱盘C-44G的外接球的球心为。,外接球的半径为I外表积为4》，球心到底面的距离为1,底面中心到底面三角形的顶点的距离为，邑1=亘32 3,所以球的半径为T（争娉”假,故外接球的外表积为礁六支33.（2023湖北武汉高三2月调研测试，11）某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的外表积为.俯视图［解析］33.由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为了，母线长为2的圆锥的一半.其外表积是整个圆锥外表积的一半与轴截面的面积之和.所以，吗多现小吟曲吟2巴等吃34.（2023周宁、政和一中第四次联考，15）如图,平面四边形3）中，期・36.1,BD~42.3Di.CD,将其沿对角线助折成四面体,3,使平面平面的，假设四面体上皿顶点在同一个球面上，那么该球的体积为.-［解析］34.由题意，在平行四边形的中，AB・AD・B・1,BDX,BDIO,将其沿对角线曲折成四面体使平面上MJ_平面假设四面体顶点在同一个球面上，可知AUC,所以，起是外接球的直径，所以邓•环球的半径为真故球的体积为〃售令■多.35.（2023湖南株洲高三教学质量检测（一），11）一几何体的三视图如以下图所示，那么它的体积为.［解析］35.原几何体是一个正三棱柱截取一个三棱锥得到的，正三棱柱的底面三角形边长为2,底边上的高为岛正三棱柱的高为2,体积为耳日小岳2・2%截取的三棱锥底面积为我、且书，高为1,体积河，岳・浮，故原几何体的体积为4■地-李■芋.36.（2023江苏苏北四市高三期末统考,8）假设正三棱锥的底面边长为电侧棱长为L那么此三棱锥的体积为▲.［解析］36.正三棱锥的底面边长为处侧棱长为1,如图，过S作ML平面布，

M为底面正三角形的高，且如哆岳孝邛,...棱锥的高历届4,••・三棱锥的体积为••・三棱锥的体积为T亭岳岳亭*6.（2023河南郑州高中毕业班第一次质量预测,15）三棱柱皿9G的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为［解析］37.8三棱柱的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为赤，&Y/CT4数•利,•亭2XIX.WX——,解得外.2,ZXBC-fiO,,那么此球的外表积等于ZXBC-fiO,,那么此球的外表积等于根据余弦定理得50»・a+2-2^^加好.4+1-2=3,田・同设十c外接圆的半径为丑，那么器皿，dl,外接球的半径为g.凡球的外表积为F份』.（2023江西七校高三上学期第一次联考,13）假设正四棱锥的左视图如右图所示,那么该正四棱锥体积为.11［解析］38.依题意，这个四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形的正四棱锥，其体积答案和解析理数［答案］1.A［解析］L取边长为卡的边的中点，并与其对棱的两个端点连接，［答案］2.B［解析］2,该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其外表积为^x3x5+2>rx3x5+rx32-54ff.［答案］3.B［解析］3,从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为有底面是边长为2的正方形，故其外表积为234号如有）=4+砧.［答案］4.B［解析］4.三棱锥P-ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P-ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3,设底面ABC的外接圆圆心为Oi,连接OA,OiA、OOi,那么OiA=电00尸3,所以OA2=O1A2+^=12,所以该求的体积为32岳.［答案］5.A［解析］5,根据三视图可知，该几何体由两局部组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为X的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以其体积为1x(3x2)xx+lx(3x2)=10^解得乂=2［答案］6.D［解析］6,取线段AC的中点E,那么由题意可得SE±AC,BE±AC,那么NSEB即为二面角S-AC-B的平面角，在aSEB中,SE=5BE=1,根据余弦定理冷=3+1-域casZSE3=6,得SB=&,在△SAB和ASCB中，满足勾股定理，可得SA±AB,SC±BC,所以S、A、B、C都在同一球面上，那么该球的直径是SB,所以该球的外表积为2净■叱［答案］7.C［解析］7.该三视图对应的几何体为由上中下三局部构成的组合体，其中上半部是长宽高分别为3、3、1的长方体；中半部为底面直径为1高为1的圆柱；下半部为长宽高分别为4、4、2的长方体，其体积为"3x5吴1+4x4341咛.［答案］8.B［解析］8.由三视图知，原几何体是一个三棱柱,底面是等腰直角三角形，且腰长为2,所以该三棱柱的体积〃=如小4=8.［答案］9.C［解析］9,根据三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥的高为4,因为体积24x41O为24,所以底面积丁=，［答案］10.C［解析］10.如图，当QDJ■平面&C时，四面体出宓体积的最大.此时，友h= 所以3=2,设球半径为R,那么。/即肥=(2-断+2,从而正耳，故"=萩.D［答案］U.D［解析］11.原几何体如图中三棱锥f-gc,由正视图、侧视图和俯视图均是三角形，可知该几何体有一个侧面P/C垂直于底面，高为2君，底面是一个等腰直角三角形，那么这个几何体的外接球的球心。在高线口上，且是等边三角形的中心，所以这个几何体的外接球的半径为/?=-P!D=--2j3=—3 3 3,所以这个几何体的外接球的外表积为S=4k/=4大（孚产=竽B［答案］12.D［解析］12.设球半径为及，如以下图，可得^=(2^3^+(6-R)2,解得及=4,所以外表积为4题~64届.［答案］13.D［解析］13.由三视图知，原几何体的体积为V=1.2.有.3=342 .［答案］14.D［解析］14.该几何体是一三棱柱，qi其体积为F=1x2 A2x2x2=4.［答案］15.C［解析］15.由三视图知，原几何体是一个三棱柱，其底边为边长为2的等边三角形，高为2,所以球心在三棱柱上下两底面的中心的连线的中点，球的半径为F岭争K4,球的外表积为［答案］16.C［解析］16.三棱锥S-ABC的外接球与高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱的外接球相同，即可把三棱锥P-ABC补成高为1底面边长为1等腰直角三角形的直三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为；，设底面ABC的外接圆圆心为Oi,连接OA,CHA、OOb近 1 3那么OiA001=5,所以OA2=OiA2+咻=4,所以该求的体积为加.［答案］17.B［解析］17,根据三视图可知，该几何体为如以下图所示的四棱锥，其中PAJLPB,底面ABCD为矩形且与侧面PAB垂直，过点P作线段AB的垂线，那么该垂线即为四棱锥的高，其长度为3x4~cm,而矩形ABCD的边长AD=5,AB=5,所13x4以其体积为六丁、("加20cm3.［答案］18.B［解析］18.该三视图对应的几何体为长、宽、高分别为6cm、3cm、6cm的长方体截去一个三棱锥后所得的几何体，其体积为6x3x6一Ix(ix4x5)x3=980m3.［答案］19.C［解析］19.外表积等于正方体的外表积减去12个外表上的小正方形面积，加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的外表积.那么S=6x36-12+6x4x6-6x6=312・应选C.［答案］20.c［解析］20.根据三视图可知，该几何题是由半圆柱和直三棱柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1,高为2；直三棱柱的底面是腰长为应的等腰直角三角形，故该几何体的体积为［答案］21.A［解析］21.由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1,高是2,所以母线长为有，所以其外表积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即•有+Jx2x2-2+1+立*rt744b2 2 2 ,应选A.［答案］22.D［解析］22.根据几何概型，1Sf,5和S'•吊"区E*31k7 1 +J_£=7-4?"2"-8,其中“=〃当且仅当平■命■了”时成立.应选D.［答案］23.B［解析］23.由三视图知，原几何体是由一个半圆柱与一个半圆锥构成，其体积为入州了吗必产如耍［答案］24.C［解析］24.由，元几何体为四棱柱，其底面边长为2+后两・3,侧视图的高为岛...底面积为S・2xM・4，又因为棱柱的高为3,...侧面积为Q+3+3+3)x3・30,故原几何体的外表积为列［答案］25.C［解析］25,由三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体加半个正方体构成，所以体积为0+6T［答案］26.C［解析］26.画出直观图可知，原几何体的体积=4x5x6-|k|x4x5x6=1M .2 •［答案］27.C［解析］27.原几何体是由一个圆柱与一个圆锥构成，其体积为5,822多8净.［答案］28.20+4V1［解析］28.该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为底面边长为2,斜高为他的正四棱锥,下半局部是边长为2的正方体，所以其外表积为5x2x2+4xdx遮x2=2O+4>/52 .［答案］29.16+2万由［解析］29,由三视图知，原几何体是一个棱长为2的正方体削去一个三棱锥后剩下的一个七面体,截面三角形为边长为动的等边三角形，截面的面积为影域0氏4=汽所以几何体的外表积为S=3x2*2+30x2*2+函=18+