突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题13立体几何中的位置关系及截面问题(解析版)

专题13立体几何中的位置关系及截面问题【高考真题】（2022•全国乙理）在正方体A8CD-A曷G。中，E,尸分别为钻,BC的中点，则（）A.平面用防J•平面比@ B.平面4EFJ■平面ABOC.平面51M〃平面A4C D.平面与EF〃平面AG。.答案A解析在正方体A88-AB|GA中，ACJ_匝）且。A•L平面/lBCr>,又EFu平面A8CD,所以EFJ.DD,,因为E,尸分别为AB,8c的中点，所以印||AC,所以EF_LB。，又BD^DD^D,所以E尸，平面8OQ,又EFu平面4石尸，所以平面片"，平面B£3,故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,则B1（2,2,2）,E（2,l,0）,F（l,2,0）,B（2,2,0）,A1（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,Q（0,2,2）,则EF=（-1,1,0）,EB[=（0,1,2）,=（2,2,0）,£>4=（2,0,2）,鬲'=（（）,0,2）,而=（-2,2,0）,隔=（-2,2,0）,设平面4所的法向量为而=（X]，M，zJ则有"£=一'"+:=:,可取而=（2,2,-1）,同理可得平面A%>的法向量为加= 平面AAC的法向量为石=（i,i,o）,平面AG。的法向量为石=（U，t）,则正诉=2-2+l=lw0,所以平面与EF与平面4班>不垂直，故B错误；因为正与否不平行，所以平面4EF与平面AAC不平行，故C错误；因为而与否不平行，所以平面耳斯与平面AG。不平行，故D错误，故选A..直线、平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：ata,bua,a//b=^a//a.（2）线面平行的性质定理：a//a,auB，aC尸b=a〃b.（3）面面平行的判定定理：au夕，bu。,aDb^P,alla,b//a=>a//p.(4)面面平行的性质定理：a//fJ,aCiy=a,f]ny=b=a〃b.平行问题的转化面面平行的判定L丁 ~~|线线线面平行的判定」线面I面面平行的判定.面面平行■线面平行的性质I平行I”面面平行的性质平行k 十面面平行的性质 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维到"高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行：二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行：四是利用线段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换..直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：znua,〃ua,mC\n=P,lX.m,(2)线面垂直的性质定理：a_La,b^a=>a//b.(3)面面垂直的判定定理：au°,a_La=a_L夕.(4)面面垂直的性质定理：a邛,aC0=l,ac.a,a_L/=”_L£.垂直问题的转化面面垂直的判定1~ ~I线线线面垂直的判定/线面[面面垂直的判定，|面面套直”线面垂直的性质|4■直|“画面垂直的性质”垂直工 十面面垂直的性质 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，/±a.auan/_La..确定截面的主要依据用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.(1)平面的四个公理及推论.(2)直线和平面平行的判定和性质.(3)两个平面平行的性质.(4)球的截面的性质.【题型突破】题型一简单位置关系的判断1.(2020・浙江)已知空间中不过同一点的三条直线m,n,I,则“m，n,I在同一平面”是“加，n,I

两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件.答案B解析依题意机，n,/是空间中不过同一点的三条直线，当机，〃，/在同一平面时，可能有m//n//l,故不能得出n,/两两相交.当n,/两两相交时，设mD〃=A,mC\l=B,nCI/=C,则m,“确定一个平面a,而BG/nua,CG〃ua,所以直线8c即/ua,所以/n,n,/在同一平面.综上所述，""?，n,/在同一平面"是"m,n,/两两相交”的必要不充分条件.故选B..（2019・全国II）设a,夕为两个平面，则a〃4的充要条件是（）A.a内有无数条直线与尸平行 B.a内有两条相交直线与月平行C.a,夕平行于同一条直线 D.a,夕垂直于同一平面.答案B解析若a〃夕，则a内有无数条直线与夕平行，反之则不成立：若a,夕平行于同一条直线，则a与£可以平行也可以相交；若a,用垂直于同一个平面，则a与£可以平行也可以相交，故A,C,D中条件均不是a〃/的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此，B中条件是a〃6的充要条件.故选B..已知a,夕表示两个不同平面，a,b表示两条不同直线，对于下列两个命题：①若bua,ata,则“a〃b”是“a〃a”的充分不必要条件；②若aua,bua,则“a〃夕是"a〃夕且的充要条件.判断正确的是（）A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题.答案B解析若bua,aCa,a//b,则由线面平行的判定定理可得。〃a,反过来，若bua,ata,a//a,则a,b可能平行或异面，则bua,aCa,"a〃％"是"a〃a”的充分不必要条件，①是真命题；若aca,bua,a//p,则由面面平行的性质可得a〃夕，b//p,反过来，若qua,bua,a〃夕，b//p,则a,夕可能平行或相交，则aua,baa,则“a〃尸是6〃，’的充分不必要条件，②是假命题，选项B正确..己知a,夕是空间两个不同的平面，m,〃是空间两条不同的直线，则给出的下列说法正确的是（）①zn〃a,n//P，且〃小则a〃£；@m//a,n//P，且/n_L〃，则a_L£；J_a,且〃小则a〃£；④zn_La, 且机_L〃，则a_L£.A.①②@ B.①③© C.②© D.③④.答案D解析对于①，当/n〃a,〃〃夕，且"?〃"时，有a〃夕或a,夕相交，所以①错误；对于②，当m//a,"〃夕，且/n_L〃时，有。邛或a〃4或a,"相交且不垂直，所以②错误；对于③，当zn_La,”_L£,且小〃”时，得出所以a〃£,③正确；对于④，当“i_La,nA.fi,且m_L"时，a_L£成立，所以④正确.综上知，正确的命题序号是③©.故选D..已知根，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出四个命题：①若anS=w,nca, 则a_L夕；②若m_La,mX.p,则a〃£；③若m_La,n邛,mA.n,则aJ-尸：④若m〃a,n//fJ,m//n,贝ija〃夕.其中正确的命题是（ ）A.①② B.②③ C.①④

D.③④答案B解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确.（2020•全国II）设有下列四个命题：①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；②过空间中任意三点有且仅有一个平面；③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；④若直线/U平面原直线机_L平面a,则用_1_/.则上述命题中所有真命题的序号是.（填写所有正确命题的序号）6.答案①@解析①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面“，可知①为真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.从而①©为真命题.（2019•北京）己知/,机是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①/_L/n；@m//a；（3）/±a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：..答案若团〃a且/_La,则（或若/_La,则zn〃a）解析已知/,，”是平面a外的两条不同直线，由①LL"i与②?n〃a,不能推出③/J_a,因为/可以与a平行，也可以相交不垂直；由①LLm与③/_La能推出②切〃a；由②"?〃a与③/_La可以推出①/故正确的命题是②③=①或①③=②..设a/,y是三个不同的平面，tn,n是两条不同的直线，在命题"aC0=m,〃Uy,且 ,则m//n"中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.①a〃y, ®m//〃〃夕：③〃〃夕，mC-y.可以填入的条件有..答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当〃〃夕，〃/y时，〃和，”在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确.（多选）已知"?，〃为两条不重合的直线，a,4为两个不重合的平面，则（ ）A.若m〃a,n//a〃B，则 B.若zn_La,"_L£,a_L夕，则C.若机〃”，m±a,nA.fi,则a〃£ D.若m〃小n±a,a邛,则zn〃阳.答案BC解析由m,"为两条不重合的直线，a,£为两个不重合的平面，知：对于A,若m〃0!,n//P，a//P，则与〃相交、平行或异面，故错误；对于B,若,"_La,4，则由线面垂直、

面面垂直的性质定理得故正确；对于C,若加〃小m±a,〃_L夕，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得a〃夕，故正确；对于D,若w;〃”，n±a,aJ_夕，则"/〃£或mu",故错误.故选BC..将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是.（填序号）.答案①③解析由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题题型二较难位置关系的判断（1）.（2019•全国H1）如图，点N为正方形ABCD的中心，△EC。为正三角形，平面ECO_L平面A8CD,M是线段EO的中点，贝立 ）A.BM=EN,A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线EN是相交直线C.BM=EN,且直线8M,EN是异面直线 D.BMWEN,且直线BM,EN是异面直线11.答案B解析如图，取CO的中点O,连接ON,EO,因为AECO为正三角形，所以EOLCO,又平面ECDJ_平面ABCO,平面ECOD平面4BCO=CQ,所以EOJ_平面ABCD.设正方形A8C。的边长为2,则EO=小，ON=l,所以E¥=EO2+OM=4,得EN=2.过M作CD的垂线，垂足为P,连接BP,则MP=坐,所以/=（坐＞+0+22=7,得BM=yfi，所以BM丰EN.连接BD,BE,因为四边形A8CO为正方形，所以N为8。的中点，即EN,MB均在平面8OE内，所以直线8M,EN是相交直线.12.（多选）在正方体ABCD-A^iCiDt中，下列直线或平面与平面ACDi平行的是()A.直线()A.直线48B.直线85 C.平面AiOGD.平面Ai8G12.答案AD解析如图，由4出〃。（，且AiBC平面AC£）”£hCu平面AC£）i,故直线48与平面AC。平行，故A正确；直线与平面4cd相交，故直线83与平面ACDi相交，故B错误；显然平面A）DCi与平面ACD,相交，故C错误；由A8〃£）iC,AC〃4C,且

ACC\D\C—C,故平面45G与平面ACA平行，故D正确.故选AD.13.（2017・全国I）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面A/N。不平行的是（作如图①所示的辅助线，其中。为8c的中点，则QO〃A8.平面MNQ13.答案A解析A项,作如图①所示的辅助线，其中。为8c的中点，则QO〃A8.平面MNQ13.答案A解析A项,//CD,CD//MQ,J.AB//MQ,又ABC平面MNQ,MQu平面A/NQ, 〃平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB〃C£>,CD//MQ,：.AB//MQ,又A80平面MNQ,MQu平面MNQ,：.ABQ\B②①NQu平面MNQ,〃平面MNQ.故选A.B④° 14.己知点E,Q\B②①NQu平面MNQ,〃平面MNQ.故选A.B④° 14.己知点E,尸分别是正方A.A.0条体ABCO-AiBiG。的棱4B,A4i的中点，点、M,N分别是线段。|E与CiF上的点，则满足与平面ABCO平行的直线仞7有（ ）C.2条D.无数条14.答案D解析如图所示，作平面KS〃G〃平面ABC。，C\F,5E交平面KSaG于点N,M,连接MN,由面面平行的性质得MN〃平面A8CD,由于平面KS//G有无数多个，所以平行于平面ABCC的MN有无数多条，故选D.II. l/£ _D A15.如图所示，在正方体ABC£>—中，点。，M,N分别是线段8。，DD\,OG的中点，则直线OM与AC,MN的位置关系是（）O.Nr,A Ba.与AC,MN均垂直 B.与AC垂直，与MN不垂直C.与AC不垂直，与MN垂直 D.与AC,MN均不垂直.答案A解析因为。£>i_L平面A8C£>,所以AC_LO£>i,又因为AC_L8£）,DDQBD=D,所以AC_L平面BDD\B\,因为OMu平面BDDtBl,所以OM_LAC.设正方体的棱长为2,则0M=7l+2=小,MN=W+1=,，ON=q1+4=/,所以OAf+MM^ON2,所以 故选A..如图，R1J•圆0所在的平面，AB是圆。的直径，C是圆。上的一点，E,尸分别是点A在尸B,PC上的射影，给出下列结论：@AFLPB；②EFUB；®AF±BC；④AEJ_平面PBC.其中正确结论的序号是.导、一,16.答案①®®解析由题意知附_L平面ABC,XAC±BC,且RICAC=A,PA,ACu平面B4C,:.BCL平面以C,：.BCLAF."：AF1PC,且BCCPC=C,BC,PCu平面PBC,：.AFPBC,：.AF±PB,又AEJ_P8,AEC\AF=A,AE,A尸u平面AE尸，AEF,:.PBLEF.故①②®正确..如图，AB是圆锥SO的底面圆。的直径，。是圆O上异于A,8的任意一点，以AO为直径的圆与

AO的另一个交点为C,尸为SO的中点.现给出以下结论：①4c为直角三角形；②平面S4OJ_平面SBD；③平面P4B必与圆锥SO的某条母线平行.其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）..答案①③解析如图，连接OC,底面圆O,.,.SOLAC,C在以AO为直径的圆上，.'.AC_LOC,：ocnso=o,；.AC_L平面SOC,ACLSC,即ASAC为直角三角形，故①正确；假设平面SAO_L平面S8D在平面SAC中过点A作Aa_LS£>交S。于点H,则4，_L平面S8£）,.•.Aa_L8£>,又BDLAD,，台。，平面SAD,又CO〃BD,:.COL平面SAD,.".CO1.SC,又在ZiSOC中，SO1OC,在一个三角形内不可能有两个直角，故平面SAC平面S8O不成立，故②错误；连接。。并延长交圆。于点E,连接P。，SE,为SD的中点，0为ED的中点、,二。？是ASOE的中位线，：.PO//SE,即SE〃平面以B,即平面以8必与圆锥SO的母线SE平行.故③正确.故正确是①18.如图所示，直线以垂直于。。所在的平面，△ABC内接于。0,且48为。。的直径，点M为线段PB的中点.现有结论:①BC_LPC；②0M〃平面APC-,③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是（）A.（D@ B.①②③ C.①D.②③.答案B解析对于①，,玄_L平面ABC, 为。。的直径，...BC-LAC,,.•ACTIBA=A,.•.BC_L平面以C,又PCu平面用C,：.BC±PC；对于②，：点M为线段PB的中点，.二。“〃孙，•.•附u平面B4C,OMC平面B4C,；.OA/〃平面A4C；对于③，由①知BCJ_平面附C,.•.线段8c的长即是点8到平面以C的距离，故①@③都正确.19.（多选）已知四棱台ABC。一AiBiCiA的上、下底面均为正方形，其中AB=2巾,A】B尸色,AA）

=33i=CG=2,则下列叙述中正确的是（ ）A.该四棱台的高为小 B.AAilCQC.该四棱台的表面积为26 D.该四棱台外接球的表面积为167t.答案AD解析由棱台的性质，画出切割前的四棱锥，如图所示.由于AB=2*,A.=小,可知ASA山1与ASAB的相似比为1：2,则SA=2A4=4,AO=2,则SO=2#,则001=小，故该四棱台的高为g,A正确；因为SA=SC=AC=4,则A4与CG的夹角为60。，不垂直，B错误；该四棱台的表面积为S-Stc+S.K+S.=2+8+4x（艰抵2中）X半=10+/C错误；由于上、下底面都是正方形，则四棱台外接球的球心在OOi上，在平面8山OOi中，由于0。=小，5,01=1,则081=2=08,即点。到点8与点Bi的距离相等，则四棱台外接球的半径r=OB=2,故该四棱台外接球的表面积为16兀，D正确.故选AD..（多选）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CQE垂直的是（）20.答案BD解析在A中，AB与CE的夹角为45。，所以直线4B与平面CDE不垂直，故不符合题意；在B中，ABA.CE,ABIDE,CEPiDE=E,所以AB_L平面CDE,故符合题意；在C中，A8与EC的夹角为60。，所以直线A8与平面COE不垂直，故不符合题意；在D中，ABA.DE,AB1CE,DECiCE=E,所以48上平面C£>E,故符合题意.故选BD.题型三较难位置关系的判断（2）21.将正方体的纸盒展开如图，直线AB,CO在原正方体的位置关系是（）B.垂直 B.垂直 C.相交成60。角D.异面且成60。角.答案D解析如图，直线A8,CO异面.因为C£〃A8,所以NECO即为异面直线AB,C£）所成A(B,C)EA(B,C)E的角，因为ACOE为等边三角形，故/EC£>=60。..如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中，①与初是异面直线：②CN与BE平行；③CN与BM成60。角:④DM与8N垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.22.答案①②③④解析由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE,BN,显然①@正确；对于③，连接AM易得4V〃8M,N4VC=60。，所以CN与BM成6Q。角,所以③正确；对于④，易知DM工平面BCN,所以OM_L8N正确.4 B23.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G,H,M,N分别为OE,BE,EF,EC的中点，在这个正四面体中：①GH与E尸平行；②8。与MN为异面直线；③G”与MN成60。角；④OE与MV垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.BHENC23.答案②®④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成,60。角,DE工MN.24.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCO为正方形，E,尸分别为以，PO的

中点，在此几何体中，给出下面4个结论:PP ①直线8E与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF〃平面PBC；④平面8CEJ_平面PAD.其中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.答案B解析将展开图还原为几何体（如图），因为E,尸分别为以，尸£）的中点，所以E尸〃AC〃BC,即直线8£：与。尸共面，①错；因为8任平面以£）,E6平面办£）,EMF,所以8E与A尸是异面直线，②正确；因为E/〃4Q〃BC,EFC平面PBC,BCt平面PBC,所以EF〃平面PBC,③正确；平面以。与平面BCE不一定垂直，④错.故选B..如图，在正方形ABCC中，E,尸分别是BC,C。的中点，G是Ef的中点，现在沿AE,A尸及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B,C,。三点重合，重合后的点记为，，那么，在这个空间图形中必有（）E A.AGJ_平面EFH B.A〃_L平面EFHC.HFA.平面AEFD.”G_L平面AEF.答案B解析根据折叠前、后不变，得4"，平面EF”，B正确；\•过4只有一条直线与平面EFH垂直，...A不正确；TAGLEF,EFLGH,AGCG4=G,.•.£：/，平面4AG,又EFu平面AE凡二平面"AG_LAEF,过，作直线垂直于平面AEF,一定在平面“AG内，，C不正确；由条件证不出，G_L平面AEF,，D不正确.故选B..（多选）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AO为折痕，翻折△4BO和△AC。，使得平面平面ACD下列结论正确的是（）等边三角形C.三棱锥。一ABC是正三棱锥 D.平面A£>C_L平面ABC26.答案ABC解析由题意易知，平面AOC,又ACu平面AOC,故8OJMC,A中结论正

确；设等腰直角三角形ABC的腰为a,则BC=,a,由A知8。，平面A£>C,CDu平面ACC,...BDLCD,又8£>=CO=^“，.•.由勾股定理得8。=啦4§"=",，A8=AC=BC,则ABAC是等边三角形，B中结论正确；易知D4=£）8=OC,又由B可知C中结论正确，D中结论错误..如图，在直角梯形ABCC中，BC±DC,AE±DC,且E为CD的中点，M,N分别是4。，8E的中点，将△△/）后沿AE折起，则下列说法正确的是.（写出所有正确说法的序号）A3①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN〃平面DEC；②不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MNJ_4E；③不论。折至何位置（不在平面ABC内），都有MN〃4B；④在折起过程中，一定存在某个位置，使ECLAO.27.答案①@④解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB//DE,BE//AD,所以四边形ABE£>为平行四边形，所以8E=A£>,折叠后如图所示.①过点M作交AE于点、P,连接NP.因为M,N分别是A。，BE的中点，所以点P为AE的中点，故N尸〃EC.又MPCNP=P,DECCE=E,所以平面MNP〃平面CEC,故MN〃平面DEC,①正确；②由已知，AELED,AELEC,所以AEJ_MP,AE1NP,又MPCNP=P,所以4E_L平面MNP,又MNu平面MNP,所以MNL4E,②正确；③假设MN//AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而8Eu平面MNBA,AOu平面MNBA,与和AO是异面直线矛盾，③错误；④当EC_LEO时，EC1AD.因为EC_LE4,ECLED,EAC\ED=E,所以EC1平面AEQ,AZ）u平面AED,所以ECJ_4£）,④正确.D28.如图所示，在直角梯形BCE尸中，NCBF=NBCE=90。,A,。分别是8尸，CE上的点，AD//BC,且AB=OE=28C=2AA（如图1）.将四边形ADE厅沿4）折起，连接AC,CF,BE,BF,CE（如图2）,在折起的过程中，下列说法错误的是（）E图1 图2 A.AC〃平面BEFB.B,C,E,F四点不可能共面C.若E尸J_C凡则平面A£）EF_L平面ABC。D.平面8CE与平面BE尸可能垂直.答案D解析A选项，连接8。，交AC于点。，取8E的中点连接OM,尸M,则四边形AOM尸是平行四边形，所以AO〃FM,因为FMu平面8EF,ACC平面BEF,所以AC〃平面8EF；B选项，

若B,C,E,F四点共面，因为BC〃A£>,所以8c〃平面ADEF,X BCEF,平面BCEFCl平面4OEF=EF,所以可推出BC〃EF,又8C〃AD,所以A£>〃EF,矛盾；C选项，连接和，在平面ACEF内，由勾股定理可得EF_LFC,XEF1.CF,FDC\CF=F,所以EEL平面CDF,所以EF_LCD,又CO_L4£>,EF与A£>相交，所以CDJ_平面A£）EF,所以平面A£>EF_L平面A8C£）；D选项，延长A尸至G,使A尸=/G,连接8G,EG,可得平面8CE_L平面A8F,且平面8CED平面ABF=8G,过尸作FNLBG于N,则FN_L平面BCE,若平面BCEJ_平面BEF,则过尸作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾..如图，己知棱长为1的正方体4BCD-A由iCQi中，E,F,M分别是线段A8,AD,AAi的中点，又P,。分别在线段4Bi，41n上，且A|P=4Q=x（0<r<l）.AEB设平面MEFCI平面MPQ=/,现有下列结论：①/〃平面ABC。；®/±AC；③直线/与平面8CGS不垂直：④当x变化时，/不是定直线.其中成立的结论是.（写出所有成立结论的序号）.答案GX2X3）解析连接B£>,B\Dx,,：AxP=AxQ=x,：.PQ//B\D\//BD//EF,易证P。〃平面MEF,又平面ME"!平面MPQ=/,/.PQ//1,1//EF,；./〃平面ABC。，故①成立；又EF_LAC,二/_147,故②成立；\,/〃EF〃B。，...易知直线/与平面BCGBi不垂直，故③成立；当x变化时，/是过点例且与直线EF平行的定直线，故④不成立..（多选）如图，点P在正方体48CC—AiBiGOi的面对角线8G上运动，则下列四个结论正确的是（）A.三棱锥A-O|PC的体积不变B.AiP〃平面AC£）iC.DPLBC\D.平面FOB」平面AC。.答案ABD解析对于A,连接Ad,COi,AC,£）/，如图，由题意知A5〃8G,ACiU平面AAC,

BGC平面BGC平面AD\C,从而8G〃平面ADC,故8cl上任意一点到平面AOiC的距离均相等，所以以P为顶点，平面AAC为底面的三棱锥A-O/C的体积不变，故A正确；对于B,连接44,AtCi,AiP,则4G〃AC,易知4G〃平面4GC,由A知，BG〃平面ACC,又4GClBG=G,所以平面84G〃平面ACOi,又AiPu平面4G8,所以4P〃平面ACA,故B正确；对于C,由于。CJ■平面8CG&,所以0c1BG,若QPLBCi,则8GJ_平面QC尸，BC]±PC,则?为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D,连接。8i,PD,由。BiLAC且O8|J_4£h,可得。5,平面ACOi,从而由面面垂直的判定定理知平面「CBiJ_平面ACd,故D正确.题型四截面问题.如图，在正方体ABCO—AiBiCQi中，E,F,G分别在AB,BC,OA上，则作过E,F,G三点的截31.答案C解析四边形面图形为（）B.31.答案C解析四边形面图形为（）B.三角形C.五边形D.六作法：①在底面4C内，过E,尸作直线EF,分别与DA,OC的延长线交于L,M.②D, D, C,在侧面A\D内,连接LG交A4于K.③在侧面D\C内，连接GM交CCi于H.④在侧面A\D内,五边形EFHGK即为所求的截面.心发B 32.如图，在正方体A8CO-4BiCi。中，点、E,尸分别是棱8/，SG的中点，点G是棱CC的中点,

则过线段AG且平行于平面A\EF的截面图形为（则过线段AG且平行于平面A\EF的截面图形为（A.矩形 B.三角形C.正方形D.等腰梯形.答案D解析取8c的中点H,连接AH,GH,AD\,D\G,由题意得GH〃E尸，AH//A\F,又平面AEF,EFu平面4EF,.*.G"〃平面AiEF,同理AH〃平面4£尸，又GHCAH=H,GH,A〃u平面A"G。，平面A〃G£>i〃平面A|E凡故过线段4G且与平面4EF平行的截面图形为四边形AaGOi,显然为等腰梯形..（2018•全国I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为（）A妪 空 r3^2 口近/>•4 kj•3 •4 •2.答案A解析如图所示，在正方体ABCC-4由Cid中，平面ABQi与棱4A,AiBt,4。所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与4A,AiBlAQi平行，故正方体ABC。-481cle>i的每条棱所在直线与平面4凡。所成的角都相等.取棱AS,BBi,BtC,,CtDltDDt,AC的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面ABQi平行且面积最大，此截面面积为S正六曲石EFGHMN=6xgx号x号sin60°=邛^.故选A.D、InMD、InMWD/AEB34.如图，在三棱锥O—ABC中，三条棱。4,OB,OC两两垂直，fiOA>OB>OC,分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为5”S2,S3,则&，S，S3的大小关系为134.答案Si<S2<S\解析由题意知OA,OB,OC两两垂直，可将其放置在以。为顶点的长方体中，设三边OA,OB,OC分别为a,b,c,且a»>c,利用等体积法易得

ESi=，H拄+C2,52=：6)"2+4,S3=^c\/a2+/r,；.S?—5?=心"2抉+"2c与一备接屏+左/）=5/（辟一加），又。>仇二5?—5?>0,即Si>S2,同理，平方后作差可得，Si>Sy.",•Sj<Si<S।.35.（2016.全国I）平面a过正方体ABCQ-AiBiGQi的顶点A,a〃平面CB。”aCI平面ABCO=m,aDTOC\o"1-5"\h\z平面4BBi4=〃，则m,〃所成角的正弦值为（ ）A巫 R啦 「亚 n1♦ 2 d• 2 • 3 •3D C35.答案A解析如图所示，设平面C8QQ平面A8C0=m,；a〃平面C8i。，则"?"m,D C4 s| 又•.,平面A8CO〃平面A181CQ1,平面CBQiC平面A8iCQi=8Qi,//mit：.BtDi//m,同理可得CQ〃".故m,〃所成角的大小与8Q1,Cd所成角的大小相等，即/CDiBi的大小.而8C=8Qi=C。（均为面对角线），因此NCABi=?得sinNCO|8i=g~,故选A.36.如图，在棱长为1的正方体ABCD-4B1G。中，M,N分别