初中数学思想方法课件

初中数学常见思想方法初中数学

所谓数学思想是指对数学知识本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，具有普遍的指导意义，是建立和解决数学问题的指导思想。

数学方法是指在数学的提出和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。所谓数学思想是指对数学知识本质的认识，是从某些

对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法.如果说小学阶段是具体的积累过程，那么初中阶段则是一个将之升华的过程.

对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是

数学的基本结构由数学的知识结构和思维系统两部分组成，组成数学知识结构的是概念、定理、公式、法则；组成思维系统的则是数学思想方法和思维策略。数学的基本结构由数学的知识结构和思维系统

中学常见的数学思想方法有:观察、试验、归纳类比、分析综合、抽象概括等形成数学理论的方法，还有一般的逻辑推理证明方法，以及化归递推，等价转化，推广与限定以及用字母代替数的思想方法、集合的思想方法、函数、映射对应的思想方法、数形结合的数学思想方法、最优化思想方法、统计思想和数据处理方法、极限思想和逼近方法、分类的思想方法、参数的思想方法等.中学常见的数学思想方法有:

数学思想方法的教学途径:一般可以通过充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识的渗透.数学思想方法的教学途径:

分类讨论思想

分类讨论思想

(1)分类时每一部分互相独立.(2)一次分类必须是同一个标准.(3)分类讨论应该逐级进行,不能越级讨论.(4)分类必须周全,要做到不重不漏.【特别提醒】(1)分类时每一部分互相独立.【特别提醒】

1.方程:

若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论.常见的六种类型1.方程:常见的六种类型常见的六种类型2.等腰三角形:

如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决.常见的六种类型2.等腰三角形:例

等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是(

)A.27

B.36

C.27或36

D.18例等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关（2）若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的一个解,∴32-12×3+k=0,解得k=27.当k=27时,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9构不成三角形,∴k=27不合题意.故选B.【解析】（1）若3是等腰三角形的底边,则关于x的一元二次方程x2-12x+k=0有两个相等的实数根,∴(-12)2-4k=0,解得k=36;（2）若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-常见的六种类型3.直角三角形:

在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解.常见的六种类型3.直角三角形:

一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(

)A.5 B.C.D.5或【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为(2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为∴直角三角形的第三边为5或例一直角三角形的两边长分别为3和4,则例常见的六种类型4.相似三角形:

(1)如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;(2)若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论.常见的六种类型4.相似三角形:例

如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定点,过点M作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条例如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定【解析】选C.如图,分别过点M作△ABC三边的垂线l1,l2,l3,易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似,所以共3条.【解析】选C.如图,分别过点M作△ABC三边的垂线l1,l2常见的六种类型5.一次函数:

(1)已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;(2)确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论.常见的六种类型5.一次函数:常见的六种类型6.圆:

(1)圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;(2)求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;常见的六种类型6.圆:

如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为(

)A.1

B.1或5

C.3

D.5例如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心

数形结合思想

数形结合思想

我国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。我国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂

1.在实数与数轴中的应用:

实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。常见的四种类型1.在实数与数轴中的应用:常见的四种类型实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(

)A.ac>bc B.|a-b|=a-bC.-a<-b<c D.-a-c>-b-c实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是【解析】选D.

由图得a<b<0<c,由不等式的性质可得ac<bc,故A选项错误;因为a-b<0,所以|a-b|=b-a,所以B选项错误;由a,b,c在数轴上的位置可得-a>-b>c,故C选项错误;因为a<b,所以-a>-b,所以-a-c>-b-c,故D选项正确.【解析】选D.

2.在几何中的应用:

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。常见的四种类型2.在几何中的应用:常见的四种类型

如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为

.例如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响【解析】由题意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=75°－∠B=45°，∴AD=AC×sin45°，在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=2AC×sin45°=答案：【解析】由题意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°

3.解方程(组)或不等式(组)中的应用:

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解.常见的四种类型3.解方程(组)或不等式(组)中的应用:把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是()【解析】选D.解得例把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(如图，双曲线y=与直线y=kx+b相交于点M，N，且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为()A．－3，1B．－3，3C．－1，1D．-1,3例如图，双曲线y=与直线y=kx+b相交于点M，N，且点【解析】选A.把点M的坐标(1，3)代入解析式可得m=3，即反比例函数的解析式为把y=-1代入可得x=-3，∴N(-3，-1),M(1,3)和N(-3，-1)的横坐标即为方程的解，所以选A.【解析】选A.把点M的坐标(1，3)代入解析式

已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的解析式.(2)观察图象，当x>0时，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.例已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+【解】(1)∵函数y1=的图象过点A(1，4)，即∴k=4，即又∵点B(m，－2)在上，∴m=－2，∴B(－2，－2)，又∵一次函数y2=ax+b过A,B两点，即解得∴y2=2x+2．综上可得y2=2x+2．（2）由图象可得：0<x<1【解】(1)∵函数y1=的图象过点A(1，4)，即

4.在函数中的应用:

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。常见的四种类型4.在函数中的应用:常见的四种类型

如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),

是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的是(

)A.①②③ B.①③④C.①②④ D.②③④例如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一【解析】选B.∵对称轴为x=-1，∴b-2a=0；∵当x=0时，y＞0，∴当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0；当x=2时，4a+2b+c=0，即4a+4a+c=0,∴c=-8a.∴当x=-1时，a-b+c=a-2a-8a=-9a；∵(-3，y1)到对称轴的距离为2，到对称轴的距离为∴y1＞y2，故①③④正确.【解析】选B.∵对称轴为x=-1，∴b-【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质(1)开口向上⇔a>0;开口向下⇔a<0.(2)c>0⇔图象与y轴的正半轴有交点;c=0⇔图象过坐标原点;c<0⇔图象与y轴的负半轴有交点.(3)根据对称轴x=-和a符号确定b的符号以及a,b之间的数量关系.【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=-1时y的值来确定a-b+c的符号;x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号;根据x=-2时y的值来确定4a-2b+c的符号.(5)b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点;b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有一个交点;b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点.(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=-1(1)由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化.(2)应用函数图象,求方程(组)或不等式(组)的解、解集问题:解题的关键是理解图象交点的含义,正确把握图象所反映的信息,涉及实际问题时,还要注意分析纵轴与横轴所代表的含义.(3)解决与动点有关的问题时,其关键是弄清在运动过程中某些特殊位置关系及其相对应的数量关系,明确数与形的联系.在解题时还要特别关注题目中的常量、固定的关系式、特殊的关系式及特定的限制条件,构建方程或函数求解.(4)注意形的生动性和直观性与数的精确性和规范严密性之间的统一.【特别提醒】(1)由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化.【特别

化归转化思想

化归转化思想

化归的基本功能是：

1、生疏化成熟悉，

2、复杂化成简单，

3、抽象化成直观，

4、含糊化成明朗。化归的基本功能是：(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.化归与转化应遵循的五个基本原则(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题化归与转化应

1.在解方程组中的应用

通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程;通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程;通过去分母把分式方程转化为整式方程.常见的六种类型1.在解方程组中的应用常见的六种类型分式方程的解为()例分式方程的解为()例

2.多边形化为三角形

解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决.常见的六种类型2.多边形化为三角形常见的六种类型

3.立体图形转化为平面图形:

立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化.常见的六种类型3.立体图形转化为平面图形:常见的六种类型

4.一般三角形转化为直角三角形

通过作已知三角形的高,将问题转化为解直角三角形问题.常见的六种类型4.一般三角形转化为直角常见的六种类型

5.化不规则图形为规则图形

根据图形的特点进行平移、旋转、割与补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解.常见的六种类型5.化不规则图形为规则图形常见的六种类型如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,以A,B,C三点为圆心,半径为1作圆,则图中阴影部分的面积是

.如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分

6.转化化归在圆中的应用

圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是相互转化的.常见的六种类型6.转化化归在圆中的应用常见的六种类型

数学建模思想

数学建模思想

1.建立“方程(组)”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握现实世界.诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方程(组)”模型,通过列方程(组)加以解决.常见的四种模型1.建立“方程(组)”模型常见的四种模型2.建立“不等式(组)”模型

现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系.诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析,将实际问题转化成相应的不等式(组)问题,利用不等式的有关性质加以解决.常见的四种模型2.建立“不等式(组)”模型常见的四种模型3.建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律.现实生活中,诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题,常可建立函数模型求解.常见的四种模型3.建立“函数”模型常见的四种模型4.建立“几何”模型:

几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何”模型,把实际问题转化为几何问题加以解决.常见的四种模型4.建立“几何”模型:常见的四种模型【对点训练】1.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50nmile/h，则A，B之间的距离为_______(取≈1.7，结果精确到0.1nmile)．【对点训练】【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则设DE=xnmile，则AB=2xnmile，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则在Rt△BDE中，∠DBE=45°,则DE=BE=x，由题意得，解得∴AB=2x≈2×35．7=71.4(nmile).答案：71.4nmile【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)3.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,【解析】根据题意，得整理，得y=－20x2+1800x．∵y=－20x2+1800x=－20(x2－90x+2025)+40500=－20(x－45)2+40500，∵－20＜0，∴当x=45时，函数有最大值，y最大值=40500，即当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3．【解析】根据题意，得4.为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买A,B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同,每台设备价格及月处理污水量如下表所示:4.为了保护环境,某开发区综合治理指挥部决定购买A,B两种型(1)求m的值.(2)由于受资金限制,指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元,问有多少种购买方案?并求出每月最多处理污水量的吨数.(1)求m的值.【解析】(1)由题设可知解得m=18.经检验m=18符合题意和分式方程.(2)由(1)可知，A型号的污水处理设备每台18万元，B型号的污水处理设备每台15万元，设购买A型号的污水处理设备x台，则购买B型号的污水处理设备为(10-x)台.根据题设可知，18x+15(10-x)≤165,解得x≤5.【解析】(1)由题设可知因为x是指0到10之间的整数，于是购买方案共有6种.设各种方案每月能处理的污水量为w吨，则w=220x+180(10-x)=40x+1800.由一次函数的性质可知，w随x的增大而增大，所以当x=5，即购买A型号，B型号的污水处理设备分别为5台，5台时，月处理的污水量最多为2000吨.因为x是指0到10之间的整数，于是购买方案共有6种.【知识归纳】用函数探究实际问题中的最值问题(1)列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案.(2)建设二次函数模型，列出二次函数关系式，整理成顶点式，当二次项系数小于0，有最大函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标，当二次项系数大于0，有最小函数值，即为顶点的纵坐标，自变量的取值即为顶点的横坐标．【知识归纳】用函数探究实际问题中的最值问题特殊与一般的数学思想

特殊与一般的数学思想1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.

1．什么是特殊化思想2．什么是一般化思想

当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想。2．什么是一般化思想整体的数学思想

整体的数学思想

所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。

所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等常见的情形为：类比数学思想类比数学思想

当某一事物与另一事物的某个方面一致或类似，我们便可使用类比的思想，将一致或类似的两方面来推想、判断出事物在其它不同方面的联系，引导学生解决复杂、繁琐的数学问题。当某一事物与另一事物的某个方面一致或类似，我们便常用数学方法如：

配方法、消元法、换元法、待定系数法、构造法、面积法、类比法、参数法、降次法、图表法、估算法、分析法、综合法、拼凑法、割补法、反证法、倒数法、同一法等.常用数学方法如：谢谢大家！谢谢大家！初中数学常见思想方法初中数学

所谓数学思想是指对数学知识本质的认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，具有普遍的指导意义，是建立和解决数学问题的指导思想。

数学方法是指在数学的提出和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等。所谓数学思想是指对数学知识本质的认识，是从某些

对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用.因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法.如果说小学阶段是具体的积累过程，那么初中阶段则是一个将之升华的过程.

对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是

数学的基本结构由数学的知识结构和思维系统两部分组成，组成数学知识结构的是概念、定理、公式、法则；组成思维系统的则是数学思想方法和思维策略。数学的基本结构由数学的知识结构和思维系统

中学常见的数学思想方法有:观察、试验、归纳类比、分析综合、抽象概括等形成数学理论的方法，还有一般的逻辑推理证明方法，以及化归递推，等价转化，推广与限定以及用字母代替数的思想方法、集合的思想方法、函数、映射对应的思想方法、数形结合的数学思想方法、最优化思想方法、统计思想和数据处理方法、极限思想和逼近方法、分类的思想方法、参数的思想方法等.中学常见的数学思想方法有:

数学思想方法的教学途径:一般可以通过充分挖掘教材中的数学思想方法，有目的、有意识的渗透.数学思想方法的教学途径:

分类讨论思想

分类讨论思想

(1)分类时每一部分互相独立.(2)一次分类必须是同一个标准.(3)分类讨论应该逐级进行,不能越级讨论.(4)分类必须周全,要做到不重不漏.【特别提醒】(1)分类时每一部分互相独立.【特别提醒】

1.方程:

若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论.常见的六种类型1.方程:常见的六种类型常见的六种类型2.等腰三角形:

如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决.常见的六种类型2.等腰三角形:例

等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是(

)A.27

B.36

C.27或36

D.18例等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长是关（2）若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的一个解,∴32-12×3+k=0,解得k=27.当k=27时,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9构不成三角形,∴k=27不合题意.故选B.【解析】（1）若3是等腰三角形的底边,则关于x的一元二次方程x2-12x+k=0有两个相等的实数根,∴(-12)2-4k=0,解得k=36;（2）若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-常见的六种类型3.直角三角形:

在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解.常见的六种类型3.直角三角形:

一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(

)A.5 B.C.D.5或【解析】选D.(1)当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为(2)当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为∴直角三角形的第三边为5或例一直角三角形的两边长分别为3和4,则例常见的六种类型4.相似三角形:

(1)如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;(2)若出现位似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论.常见的六种类型4.相似三角形:例

如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定点,过点M作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条例如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定【解析】选C.如图,分别过点M作△ABC三边的垂线l1,l2,l3,易证此时分别形成的三角形均与原三角形相似,所以共3条.【解析】选C.如图,分别过点M作△ABC三边的垂线l1,l2常见的六种类型5.一次函数:

(1)已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;(2)确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论.常见的六种类型5.一次函数:常见的六种类型6.圆:

(1)圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;(2)求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;常见的六种类型6.圆:

如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为(

)A.1

B.1或5

C.3

D.5例如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的☉P的圆心

数形结合思想

数形结合思想

我国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。我国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂

1.在实数与数轴中的应用:

实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。常见的四种类型1.在实数与数轴中的应用:常见的四种类型实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(

)A.ac>bc B.|a-b|=a-bC.-a<-b<c D.-a-c>-b-c实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是【解析】选D.

由图得a<b<0<c,由不等式的性质可得ac<bc,故A选项错误;因为a-b<0,所以|a-b|=b-a,所以B选项错误;由a,b,c在数轴上的位置可得-a>-b>c,故C选项错误;因为a<b,所以-a>-b,所以-a-c>-b-c,故D选项正确.【解析】选D.

2.在几何中的应用:

对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。常见的四种类型2.在几何中的应用:常见的四种类型

如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为

.例如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响【解析】由题意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=75°－∠B=45°，∴AD=AC×sin45°，在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=2AC×sin45°=答案：【解析】由题意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°

3.解方程(组)或不等式(组)中的应用:

利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解.常见的四种类型3.解方程(组)或不等式(组)中的应用:把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是()【解析】选D.解得例把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(如图，双曲线y=与直线y=kx+b相交于点M，N，且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为()A．－3，1B．－3，3C．－1，1D．-1,3例如图，双曲线y=与直线y=kx+b相交于点M，N，且点【解析】选A.把点M的坐标(1，3)代入解析式可得m=3，即反比例函数的解析式为把y=-1代入可得x=-3，∴N(-3，-1),M(1,3)和N(-3，-1)的横坐标即为方程的解，所以选A.【解析】选A.把点M的坐标(1，3)代入解析式

已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)．(1)求这两个函数的解析式.(2)观察图象，当x>0时，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.例已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+【解】(1)∵函数y1=的图象过点A(1，4)，即∴k=4，即又∵点B(m，－2)在上，∴m=－2，∴B(－2，－2)，又∵一次函数y2=ax+b过A,B两点，即解得∴y2=2x+2．综上可得y2=2x+2．（2）由图象可得：0<x<1【解】(1)∵函数y1=的图象过点A(1，4)，即

4.在函数中的应用:

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。常见的四种类型4.在函数中的应用:常见的四种类型

如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),

是抛物线上两点,则y1>y2,其中正确的是(

)A.①②③ B.①③④C.①②④ D.②③④例如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一【解析】选B.∵对称轴为x=-1，∴b-2a=0；∵当x=0时，y＞0，∴当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0；当x=2时，4a+2b+c=0，即4a+4a+c=0,∴c=-8a.∴当x=-1时，a-b+c=a-2a-8a=-9a；∵(-3，y1)到对称轴的距离为2，到对称轴的距离为∴y1＞y2，故①③④正确.【解析】选B.∵对称轴为x=-1，∴b-【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质(1)开口向上⇔a>0;开口向下⇔a<0.(2)c>0⇔图象与y轴的正半轴有交点;c=0⇔图象过坐标原点;c<0⇔图象与y轴的负半轴有交点.(3)根据对称轴x=-和a符号确定b的符号以及a,b之间的数量关系.【知识归纳】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象性质(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=-1时y的值来确定a-b+c的符号;x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号;根据x=-2时y的值来确定4a-2b+c的符号.(5)b2-4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点;b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有一个交点;b2-4ac<0⇔抛物线与x轴没有交点.(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=-1(1)由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化.(2)应用函数图象,求方程(组)或不等式(组)的解、解集问题:解题的关键是理解图象交点的含义,正确把握图象所反映的信息,涉及实际问题时,还要注意分析纵轴与横轴所代表的含义.(3)解决与动点有关的问题时,其关键是弄清在运动过程中某些特殊位置关系及其相对应的数量关系,明确数与形的联系.在解题时还要特别关注题目中的常量、固定的关系式、特殊的关系式及特定的限制条件,构建方程或函数求解.(4)注意形的生动性和直观性与数的精确性和规范严密性之间的统一.【特别提醒】(1)由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化.【特别

化归转化思想

化归转化思想

化归的基本功能是：

1、生疏化成熟悉，

2、复杂化成简单，

3、抽象化成直观，

4、含糊化成明朗。化归的基本功能是：(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.化归与转化应遵循的五个基本原则(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题化归与转化应

1.在解方程组中的应用

通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程;通过降次把一元二次方程转化为一元一次方程;通过去分母把分式方程转化为整式方程.常见的六种类型1.在解方程组中的应用常见的六种类型分式方程的解为()例分式方程的解为()例

2.多边形化为三角形

解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解决.常见的六种类型2.多边形化为三角形常见的六种类型

3.立体图形转化为平面图形:

立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体图形与平面图形之间的相互转化.常见的六种类型3.立体图形转化为平面图形:常见的六种类型

4.一般三角形转化为直角三角形

通过作已知三角形的高,将问题转化为解直角三角形问题.常见的六种类型4.一般三角形转化为直角常见的六种类型

5.化不规则图形为规则图形

根据图形的特点进行平移、旋转、割与补等方法将不规则图形的面积转化为规则图形(如三角形、矩形、扇形等)面积的和或差进行求解.常见的六种类型5.化不规则图形为规则图形常见的六种类型如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,以A,B,C三点为圆心,半径为1作圆,则图中阴影部分的面积是

.如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分

6.转化化归在圆中的应用

圆中圆心角与圆周角、等弧与等弦、等弧与等弧所对的圆周角都是相互转化的.常见的六种类型6.转化化归在圆中的应用常见的六种类型

数学建模思想

数学建模思想

1.建立“方程(组)”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系,“方程(组)”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型,它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰地认识、描述和把握现实世界.诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题,常可以抽象成“方程(组)”模型,通过列方程(组)加以解决.常见的四种模型1.建立“方程(组)”模型常见的四种模型2.建立“不等式(组)”模型

现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系.诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题,可以通过给出的一些数据进行分析,将实际问题转化成相应的不等式(组)问题,利用不等式的有关性质加以解决.常见的四种模型2.建立“不等式(组)”模型常见的四种模型3.建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系,揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律.现实生活中,诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题,常可建立函数模型求解.常见的四种模型3.建立“函数”模型常见的四种模型4.建立“几何”模型:

几何与人类生活和实际密切相关,诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时,常需建立“几何”模型,把实际问题转化为几何问题加以解决.常见的四种模型4.建立“几何”模型:常见的四种模型【对点训练】1.如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50nmile/h，则A，B之间的距离为_______(取≈1.7，结果精确到0.1nmile)．【对点训练】【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则设DE=xnmile，则AB=2xnmile，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则在Rt△BDE中，∠DBE=45°,则DE=BE=x，由题意得，解得∴AB=2x≈2×35．7=71.4