高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件

2．4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第二章平面向量2．4平面向量的数量积第二章平面向量学习导航学习导航新知初探思维启动1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量___________叫做a与b的_________

(或______)，记作a·b，即______________规定零向量与任一向量的数量积均为______.数量积内积0|a||b|·cosθa·b＝|a||b|cosθ.新知初探思维启动1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b想一想1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．做一做1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.想一想2．向量的数量积的几何意义(1)投影：|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的________(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影___________的乘积．想一想2.投影是向量吗？提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由θ的取值决定．投影．|b|cosθ2．向量的数量积的几何意义投影．|b|cosθ≤a·b＝0|a||b|－|a||b|≤a·b＝0|a||b|－|a||b|做一做答案：30°做一做答案：30°4．向量数量积的运算律(1)a·b＝_______

(交换律)．(2)(λa)·b＝_______________(结合律)．(3)(a＋b)·c＝______________

(分配律)．b·aλ(a·b)＝a·(λb)a·c＋b·c4．向量数量积的运算律b·aλ(a·b)＝a·(λb)a·c想一想3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．想一想典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型探究例1典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型探究例1高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件【名师点评】

求两向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角；(2)分别求|a|，|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.应注意书写时a与b之间用“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．【名师点评】求两向量数量积的步骤是：跟踪训练1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18；跟踪训练1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件例2题型二向量的模长问题例2题型二向量的模长问题高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件跟踪训练跟踪训练高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件题型三两个向量的夹角和垂直例3(1)已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，求a与b的夹角．(2)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.求证：(a－b)⊥c.题型三两个向量的夹角和垂直例3(1)已知a2＝1(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c跟踪训练3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．跟踪训练高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．2．数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这里是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．方法感悟1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上3．向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．3．向量数量积的性质及作用精彩推荐典例展示例4规范解答应用向量的模及夹角求解(本题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?精彩推荐典例展示例4规范解答应用向量的模及夹角求解1212(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0.8分∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，10分即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.12分3(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，3抓关键促规范若cos120°值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点．解答时，应先求出

，从而可求|4a－2b|，是本题突破点．

解答过程中，若未能根据(a＋2b)⊥(ka－b)推出

，则无法求出k的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况．12233抓关键促规范12233跟踪训练跟踪训练高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件2．4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第二章平面向量2．4平面向量的数量积第二章平面向量学习导航学习导航新知初探思维启动1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量___________叫做a与b的_________

(或______)，记作a·b，即______________规定零向量与任一向量的数量积均为______.数量积内积0|a||b|·cosθa·b＝|a||b|cosθ.新知初探思维启动1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b想一想1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．做一做1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.想一想2．向量的数量积的几何意义(1)投影：|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的________(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影___________的乘积．想一想2.投影是向量吗？提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由θ的取值决定．投影．|b|cosθ2．向量的数量积的几何意义投影．|b|cosθ≤a·b＝0|a||b|－|a||b|≤a·b＝0|a||b|－|a||b|做一做答案：30°做一做答案：30°4．向量数量积的运算律(1)a·b＝_______

(交换律)．(2)(λa)·b＝_______________(结合律)．(3)(a＋b)·c＝______________

(分配律)．b·aλ(a·b)＝a·(λb)a·c＋b·c4．向量数量积的运算律b·aλ(a·b)＝a·(λb)a·c想一想3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．想一想典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型探究例1典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型探究例1高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件【名师点评】

求两向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角；(2)分别求|a|，|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.应注意书写时a与b之间用“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．【名师点评】求两向量数量积的步骤是：跟踪训练1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a|·|b|cos0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18；跟踪训练1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件例2题型二向量的模长问题例2题型二向量的模长问题高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件跟踪训练跟踪训练高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件题型三两个向量的夹角和垂直例3(1)已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，求a与b的夹角．(2)已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.求证：(a－b)⊥c.题型三两个向量的夹角和垂直例3(1)已知a2＝1(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，所以(a－b)⊥c.(2)证明：由题意可得(a－b)·c＝a·c－b·c跟踪训练3．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．跟踪训练高中数学必修四人教版241平面向量数量积的物理背景及其意义16课件1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．2．数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这里是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．方法感悟1．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上3．向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，