实变函数与泛函分析基础第二版 程其襄 第11章课后习题答案

第十一章线性算子的谱1．XC[0,1],Ax)(ttx(txX。证明[0,1]，且其中没有特征值。证明当[0,1]时，常值函数1不在IA的值域中，因此IA不是满射，这样。反之若[0,1]，定义算子R :R

1 x(t。则由于[0,1]，且1d(,[0,1])t1d(,[0,1])1tRx1t atb

x(t) xR

是C[0，1]中有界线性算子。R

(IA)(IA)R

I，所以。总之(A)[0,1]，Affttf(tf(tf(t0f(tC[0,1]，f(t0，所以A2．XC[0,Ax)(t)eitx(txX.，证明(A){1}。证明对任意eit0,(eit0I)xt)(eit0

eit)x(t1A的值域中，因此eit0A。这样

。反之，若

1

:(R

x)(t)

1 x(t1

是有界线性算 eit R

(IA)(IA)R

I。即。因此)

。证毕。Xl2,

AxA(x,x1 2

,Lxn

,L)(x2

,x,Lx3

,L)，试求A)。解 对任意 ，若1 ，定义x(1,,L,n,L) ，显然xl2,Ax(,2,L,n,L)(1,,L,n,L)x因此的点都是A的点谱，由于(A)是闭集，则(。对任意x显然Axx因此所以(这样我们就证明了。

A。FFl2中定义算子T：nTx(x,x1 2

,Lxn

,L)1

x,Lx1 n

,L)则都是特征值，FF\{中每个点是Tn n证明对任意n，en

(0,0,L,1,0,L1nn

e，nn因此n

T是闭集，所以

F(T。n，若若F，则d(,F)0。定义算子R，若x(x,x1 2

,Lxn

,L)l2，Rx( 1 1

x, 112

x,L,2

1n

x,L)nRx

x，且R1d1d(,F)

(IT)(IT)R

I。因此(T)F。Fn

x(xx1 2

,Lxn

,Ll2Txxn，xn

x。nn由于，则x 0，n1,2,L。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证n n毕。设An的特征值，则nA证明设Ann

,L,

x0

I)x0，1 2 n则

I)x(AI)(AI)L(A

I)x0。1 2 n若A1

I)x0，则1

就是A的特征值，否则必有某i，(AI)(A I)L(AI)x0，i i1 1而(A I)(AI)L(AI)x0，i1 i 1则 是A的特征值。证毕。i1ABanachX0

A，又设{AXn算子，且lim

A0，证明当n

也以

为正则点。n n n 0证明 0

IAn

IA(A0 A)(0

IA)[I(0

IA)1(An

A)]。n

IA)1(A0

)1，这样I(0

IA)1(An

A)是可逆的。此可逆性由本章1可证，又可逆。证毕。

IA也是可逆的。因此当n充分大后，0

IA也nA是为BanachXA时，R (AI)1

Ann1n0

，R 1 。A证明当

A

时幂级数

1An Ann0

收敛，因此级数

Ann1n0

必按算子数收敛。(I)n0

Ann1

n0

Ann1

(I) nn0

An11n1n0 An这就证明了(AI)1 ，n1R n0

Ann1

n0

n0AnAnAn1

。 证毕。AXA)，则RR

R R 的意义同第7题。

()RR 。 证明在等式R

1R

1(I(IR

右乘R得R()R

R((I(IA))R R

R。因此R

R ()RR

，证毕。AHilbertHA(((证明先证若T是Hilbert空间H上的有界线性算子，若T可逆，则T*也可逆，且*)11)*。xyHxyTT1xyx,(T1)*T*yxy1)*T*y0对任意xH成立，因此y1)*T*y恒成立，进而T*(T1)*I。同理T*(T1)*I。这一证明了T*也可逆，且1)**)1。现在设AIAI)*A*I。同理若(，则(，这就证明了((A)}。证毕。设T是X 到X 的全连续算子是X 到

TTXX1 1 2

2 2 3

21 1 3的全连续算子。证明设{x}是X 中有界点列。因为T全连续，所以

中必有收敛子列。我们n 1 1 1n记之为

}。又因为T

有界，所以T

也收敛，因此T

}有收敛子列。这1n 2k

21nk

21n就证明了TT

是全连续算子。证毕。21Al2上线性算子，记en

(0L0,1,0,L)，n1个Ae kj

a ejk j其中Aek

a iji,j1

，证明Ax(xx1 2

,Lxn

,LAn

:Axn

(

xa ：k jk jjk则A是有界秩算子，且n

(A

)x2 xa2n k jk2jn1k1

(

x 2)( a 2)k jkjn1kk

2a x2jkjn1 k jn1 k jn1 k2ajkn

0(n)。由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕。en

的符号同第11题。作l2上算子U。Ue 1e

,k1,2,L.k k kUl2上全连续算子且{0}。证明若x

xel2，则Ux

1x

。令U

x

1x

，则U

是有限秩算ii i ii1

i ii1 ni1 i1 i1子，且 Un

)x2

x1ii1ii1

in1

1(i

x2iin1所以Un

U

2 x1i 1i21i 1i2in120 (n。UUn

的极限，U必是全连续算子。{0}，只要证U倘若0，x

xel2, Uxx,1x

xe。即ii

ii1 iii1 (0,x(0,x, ,L, ,L

i1(x,x,L

,L)。12 2 n n

1 2 n则x0,x

1x,i1,2,L

0,i1,2,L不是U1证毕。

i1 i i i设()(s)1estt)dt， 求A的特征值和特征函数。0（提示：记c1ett)dt ）0解记c1ett)dt为对应特征值ces。0若0，则

ces

。代入c的表达式：c1e0

cesds ，解得1e2sds

(e21)

(e21)，特征函数为(s)c

esc110 2 2 0 011为任意非零常数。若0，则1e(sds0，特征函数es为中任意非零函数。0积分算子的核为，K(s,t)nk1

p(s)q(t)，k k其中{pk

} 为线性无关的函数组，则其非零特征值相应的特征向量eencp ，ck k kk1

是常数。若记 q

b

(x)

(x)dx，ij a i j则cck

ni1

cqiik

,k1,2,Ln。证明 bK(s,t)(t)dtaabnak1

p(s)q(t)(t)dtk knk1

(bqa

(t)(t)dt)pk

。若A为对应的特征向量，则即(s)nckk1

nkp(s)，其中k

(bqa

(t)dt)pk

(s)(s)。c 1bq

(t)(t)dt。k a k将(s)nckk1

p(s代入表达式得kc 1k

bqa

t)ni1

cp(s)dti i1ni1

cbqia

(t)p(t)dti1ni1

q (t)c。ik i即ck

ni1

q (t)cik

k1,2,Ln。证毕。14qi

(x)pi

(x),p,qi j

0,

(ij。试求特征值和特征函数。解 采用14题的符号，因为q,pi j

(ij)qij

0，(ij)，q ii a

p2(x)dx,i1,2,L。i这样决定ck

的方程组

c nki1

qc, k1,2,Ln.。iki变为 (qkk

)ck

0k1,2,Ln.。因此kk

}k

就是此积分算子的全体非零特征值。对应每一个qkk

，其相应的特征函数为p。k显然由{p,p1 2

,L,pn

成的有限维线性子空间M

中任一非零函数都是相应于0的特征函数。若K(s,t)cos(st), 0s,t.，求积分算子K的特征值和特征函数解 cos(st)cosscostsinssintcosscost(isins)(isint),。令p(t)q1

(t)cost, p2

(t)q2

(t)isint,可验证p,p1 2

cost*isintdt00q p2(t)dt,11 0 1 2q sint*isintdt。22因此积分算子K有两个非零特值1

0,2

2

2。其中1

相应于特征函数为ccost， 相应于特征函数为csint15{cost,sin中非零函数。217．解方程。(s)2cos(xs)(s)ds10解K(x,s)2cos(xs)2(cosxcosssinxsins)。pq1 1

cosx, p222

q sinx,22cos2xdx,1 0

e cosx,222sin2xdx,2 0 22

e sinx,22设 cos

sinx,e,e3 4

L[0,的完全规正交系，则由本章定理1，2222方程解为2(s) 1 2

cosxdx* coss

1

sinxdx*

sins1,e e1 0

1 0

k kk32 4 sins2(1)k3

1,ek

e。k但k3

1,ek

1，因此kk

1,ek

1,ek 1

e1,e1

e 14sins2 所以

sins1

4sins1

4 sins是积分方程的解。(1) 1本题及第16题也可以用待定系数法直接解得。18．解方程(s)3

2xs(s)ds3x2.。0解 K(x,s)3xs, p1

q