内蒙古自治区呼和浩特市四中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．2．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（）A．-2 B．±4 C．2 D．±23．如果点与点关于原点对称，则（）A．8 B．2 C． D．4．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1•x2＞0，则以下不等式一定成立的是（）A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．y1•y2＜0 D．＜06．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，AB切⊙O于点B，C为⊙O上一点，且OC⊥OA，CB与OA交于点D，若∠OCB＝15°，AB＝2，则⊙O的半径为（）A． B．2 C．3 D．48．如图，点是上的点，，则是（）

A． B． C． D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝1．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（）A．3 B．12 C．18 D．2711．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A． B． C． D．12．已知点关于轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数的值为（）A．-3 B． C． D．3二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，将正方形绕点逆时针旋转至正方形，边交于点，若正方形的边长为，则的长为________．14．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变_____．（填“大”或“小”）15．若方程的解为，则的值为_____________．16．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；②ID=BD；③OI的最小值为；④ACBC=CD．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）17．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____.18．如图，平行四边形中，，如果，则___________．三、解答题（共78分）19．（8分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．（1）设x天后每千克苹果的价格为p元，写出p与x的函数关系式；（2）若存放x天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y元，求出y与x的函数关系式；（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？20．（8分）如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为，AC＝6，求DF的长．21．（8分）我市某旅行社为吸引我市市民组团去长白山风景区旅游，推出了如下的收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为800元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于650元，某单位组织员工去长白山风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用21000元，请问该单位这次共有多少员工去长白山风景区旅游？22．（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可售价100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．（1）直接写出与的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于3800元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？23．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．24．（10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.25．（12分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在轴上，其坐标为，抛物线经过点为第三象限内抛物线上一动点.求该抛物线的解析式.连接，过点作轴交于点，当的周长最大时，求点的坐标和周长的最大值.若点为轴上一动点，点为平面直角坐标系内一点.当点构成菱形时，请直接写出点的坐标.26．有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．(1)请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【详解】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=，∴BC=AC•tan30°==2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD==．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．2、C【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k＞0，∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴S△AOD=S△BOE=k，∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∴S矩形OECD=1△AOD=k，∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1k=4，解得k=1．故选C．【点睛】本题考查反比例函数的性质．3、C【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横坐标对应的符号、纵坐标对应的符号分别相反，可直接得到m=3，n=-5进而得到答案．【详解】解：∵点A（3，n）与点B（-m，5）关于原点对称，

∴m=3，n=-5，

∴m+n=-2，

故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．4、C【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【详解】∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质．5、B【分析】根据题意可得x1＜x2，且x1、x2同号，根据反比例函数的图象与性质可得y1＞y2，即可求解．【详解】反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，而x1＜x2，且x1、x2同号，所以y1＞y2，即y1﹣y2＞0，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．6、D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴x，∴＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．7、B【分析】连接OB，由切线的性质可得∠OBA=90°，结合已知条件可求出∠A=30°，因为AB的长已知，所以⊙O的半径可求出．【详解】连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OC⊥OA，∠OCB＝15°，∴∠CDO＝∠ADO＝75°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBD＝15°，∴∠ABD＝75°，∴∠ADB＝∠ABD＝75°，∴∠A＝30°，∴BO＝AO，∵AB＝2，∴BO2+AB2＝4OB2，∴BO＝2，∴⊙O的半径为2，故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，求出∠A=30°，是解题的关键．8、A【分析】本题利用弧的度数等于所对的圆周角度数的2倍求解优弧度数，继而求解劣弧度数，最后根据弧的度数等于圆心角的度数求解本题．【详解】如下图所示：∵∠BDC=120°，∴优弧的度数为240°，∴劣弧度数为120°．∵劣弧所对的圆心角为∠BOC，∴∠BOC=120°．故选：A．【点睛】本题考查圆的相关概念，解题关键在于清楚圆心角、圆周角、弧各个概念之间的关系．9、C【分析】①根据折叠的性质∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，从而证明BE⊥CG可得BE∥PG,推出∠BPF＝∠BFP,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE≌△DCE;③先根据题意证明△ABE∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin值;⑤连接FG,先证明▱BPGF是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE·EF．【详解】①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠BFP，∴BP＝BF；故①正确；②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE(SAS)；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE＝，BE＝，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP＝BF＝PG＝y，∴，∴y＝，∴BP＝，在Rt△PBC中，PC＝，∴sin∠PCB＝；故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，4个，故选：C．【点睛】本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．10、C【分析】设黑球个数为，根据概率公式可知白球个数除以总球数等于摸到白球的概率，建立方程求解即可.【详解】设黑球个数为，由题意得解得：故选C.【点睛】本题考查根据概率求数量，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键.11、C【解析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【详解】黑色区域的面积=3×33×12×23×1=4，所以击中黑色区域的概率．故选C．【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．12、A【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为，然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．【详解】解：点关于x轴的对称点A'的坐标为，

把A′代入，得k=-1×1=-1．

故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】连接AE，由旋转性质知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．【详解】解：如图，连接AE，∵将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB＝90°∴∠B′AD＝60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE＝∠B′AE＝∠B′AD＝30°，∴DE＝ADtan∠DAE＝3×＝，故答案为．【点睛】此题主要考查全等、旋转、三角函数的应用，解题的关键是熟知旋转的性质及全等三角形的判定定理．14、大【解析】因为二次函数的开口向上,所以点M,N向上平移时,距离对称轴的距离越大,即MN的长度随直线向上平移而变大,故答案为:大.15、【分析】根据根与系数的关系可得出、，将其代入式中即可求出结果．【详解】解：∵方程的两根是，

∴、，

∴．

故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记如果一元二次方程有两根，那么两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．16、②④【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②连接IB，根据点I是△ABC的内心，得到，可以证得，即有，可以判断②正确；③当OI最小时，经过圆心O，作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出，可判断③错误；④用反证法证明即可．【详解】解：平分，AB是⊙O的直径，，，是的直径，是半圆的中点，即点是定点；故①错误；如图示，连接IB，∵点I是△ABC的内心，∴又∵，∴即有∴，故②正确；如图示，当OI最小时，经过圆心O，过I点，作，交于点∵点I是△ABC的内心，经过圆心O，∴，∵∴是等腰直角三角形，又∵，∴，设，则，，∴，解之得：，即：，故③错误；假设，∵点C是半圆AB上一动点，则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足，如图示，当经过圆心O时，，，∴与假设矛盾，故假设不成立，∴故④正确；综上所述，正确的是②④，故答案是：②④【点睛】此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．17、【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∴m-2≠0,∴m≠2.故答案为：m≠2.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.18、【分析】由平行四边形的性质可知△AEF∽△CDF，再利用条件可求得相似比，利用面积比等于相似比的平方可求得△CDF的面积．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF，∵AE：EB＝1：2∴，∴，∵，∴S△CDF＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．三、解答题（共78分）19、；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【分析】（1）根据按每千克元的市场价收购了这种苹果千克，此后每天每千克苹果价格会上涨元，进而得出天后每千克苹果的价格为元与的函数关系；（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.【详解】根据题意知，；．当时，最大利润12500元，答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系是解题关键.20、（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得，再利用＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．【详解】（1）证明：如图，连接OC∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，∴OC⊥CE，CE⊥AE∴OC∥AE∴∠OCA＝∠EAC∵OA＝OC∴∠OAC＝∠OCA∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；（2）如图，设OC交BD于点G，连接DC∵AD为直径∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°∵CE⊥AE∴DB∥CE∵OC⊥CE∴OC⊥BD∴DG＝BG∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E∴△ACD∽△AEC∴∵⊙O的半径为，AC＝6∴AD＝7，∴∴易得四边形BECG为矩形∴DG＝BG＝∵＝cos∠FDC∴解得：∴DF的长为.【点睛】本题考查相似三角形的性质，借助辅助线，判定△ACD∽△AEC，再根据相似三角形的性质求解.21、共有30名员工去旅游．【分析】利用总价＝单价×数量求出人数时25时的总费用，由该费用小于21000可得出去旅游的人数多于25人，设该单位去旅游人数为x人，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再代入人均费用中去验证，取使人均费用大于650的值即可得出结论．【详解】解：∵800×25＝20000＜21000，∴人数超过25人．设共有x名员工去旅游，则人均费用为800﹣20(x﹣25)元，依题意，得：x[800﹣20(x﹣25)]＝21000，解得：x1＝35，x2＝30，∵当x＝30时，800﹣20×(30﹣25)＝700＞650，当x＝35时，800﹣20×(35﹣25)＝600＜650，∴x＝35不符合题意，舍去．答：共有30名员工去旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22、（1）；（2）当销售单价为70元时，最大利润4500元；（3）销售单价定为元．【分析】（1）根据降价1元，销量增加5条，则降价元，销量增加件，即可得出关系式；（2）根据总利润=每条利润×销量，可建立函数关系式，再根据二次函数最值的求法得到最大利润；（3）先求出利润为(3800+200)元时的售价，取符合题意的价格即可．【详解】解：（1）由题意可得：整理得（2）当时，即当销售单价为70元时，最大利润4500元．（3）由题意，得：解得：，抛物线开口向下，对称轴为直线当时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故当销售单价定为元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握销售问题的等量关系建立二次函数模型是解题的关键．23、直线AD与⊙O相切，理由见解析【分析】先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.【详解】直线AD与⊙O相切．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ABC+∠BAC=90°．又∵∠CAD=∠ABC，∴∠CAD+∠BAC=90°．∴直线AD与⊙O相切【点睛】本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系.半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.24、（1）x1＝1，x2＝3；（2）1＜x＜3；（3）x＞2.【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点坐标写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；（2）写出函数图象在x轴上方时所对应的自变量的范围即可；（3）根据函数图象可得答案．【详解】解：（1）由函数图象可得：方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；（2）由函数图象可得：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为：1＜x＜3；（3）由函数图象可得：当x＞2时，y随x的增大而减小．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、根据函数图象求不等式解集以及二次函数的性质，注意数形结合思想的应用.25、（1）；（2）P(2,)；（3）点的坐标为或或或.【分析】⑴代入A、B点坐标得出抛物线的交点式y=a（x+4）（x-2），然后代入C点坐标即可求出；⑵首先根据勾股定理可以求出AC=5，通过PE∥y轴，得到△PED∽△AOC，PD:AO=DE:OC=PE:AC,得到PD:4=DE:3=PE:5，PD,DE分别用PE表示，可得△PDE的周长=PE，要使△PDE周长最大，PE取最大值即可；设P点的