人教版数学八年级上册最短路径问题公开课课件

人教版《数学》八年级上册13.4

课题学习:最短路径问题人教版《数学》八年级上册13.4课题学习:最短路径问题学习目标：能利用“两点之间线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”并结合对称、平移等变换解决最短路径问题。学习目标：所用知识：1、两点之间线段最短。

A.

.B2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

.P

Q

.所用知识：.问题1

L是一条河流，点A是一个村庄，现要在河边修一个水站向A村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？LA.P点P即为所求知识应用：.问题1L是一条河流，点A是一个村庄，现要在LA.P点P问题2

L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸的两个村庄，现要在河边修一个水站向A、B两村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？LA..BP点P即为所求知识应用：人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT问题2L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸LA..A

..B问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）知识应用：MN人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTA..B问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河BMNEA.作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸于点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。.F..人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTBMNEA.作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个证明：若桥的位置建在CD处，连接AC，CD，DB，CE,由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,在MN处建桥：A、B两地的距离为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN在CD处建桥：A、B两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN。在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在MN处，A、B两地的路程最短。EBMNCDAF.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTEBMNCDAF.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PP问题4相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl知识应用（将军呢饮马问题）人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT问题4相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久BAl知识应

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al数学建模：现在的问题就是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小．C人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C基本方法：.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直B

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C说明理由:.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC

=AC+B′C=AB′AC′+BC′

=AC′+B′C′B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′即AC+BC＜AC′+BC′因此AC+BC最短.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT证明：如图，在直线l上任取一点C′（与B·lA·B′C

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．

B·lA·B′CC′

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？思考：.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT若直线l上任意一点（与点B·lA·B′CC′证明A拓展提高1：

如图，直线l是草场的边缘，直线m是河流的岸边，点A是牧场，牧羊人要先到草场放牧，再到河边饮水，最后回到牧场。问:他怎么行走才能是所走的路径最短？lm.AA1

.A2.BCB1.C1.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT拓展提高1：如图，直线l是草场的边缘，直线m是河如图，点A、B是直角坐标系中第一象限的两点，从点A出发先到达X轴在到达Y轴，最后到达B点。问：怎么行走才能使所走的路径最短？OXY.

A.

B拓展提高2：A1.B1.MN

M1.N1.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT如图，点A、B是直角坐标系中第一象限的两点，从点A出发如图，L是一条直线，点A、B是直线同侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?.A.BL提高一步1：Cc1点C即为所求人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT如图，L是一条直线，点A、B是直线同侧的两点，变形：如图，L是一条直线，点A、B是直线异侧的两点，在直线L上求一点C，使AC与BC的差最大?.

A.BL.

B1CC1点C即为所求提高一步2：人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT变形：如图，L是一条直线，点A、B是直线异侧的两（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称、平移等数学变换在所研究问题中起什么作用？归纳小结：人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT（1）本节课研究问题的基本过程是什么？归纳小结：人教版数学谢谢再见人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT谢谢再见人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数人教版《数学》八年级上册13.4

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A.

.B2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

.P

Q

.所用知识：.问题1

L是一条河流，点A是一个村庄，现要在河边修一个水站向A村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？LA.P点P即为所求知识应用：.问题1L是一条河流，点A是一个村庄，现要在LA.P点P问题2

L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸的两个村庄，现要在河边修一个水站向A、B两村供水。问：水站建在何处才能使管道最短？LA..BP点P即为所求知识应用：人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT问题2L是一条河流，点A、B是分别位于河两岸LA..A

..B问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）知识应用：MN人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTA..B问题3：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河BMNEA.作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，

2.连接AE交河对岸于点M,

则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。.F..人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTBMNEA.作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个证明：若桥的位置建在CD处，连接AC，CD，DB，CE,由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,在MN处建桥：A、B两地的距离为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN在CD处建桥：A、B两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN。在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在MN处，A、B两地的路程最短。EBMNCDAF.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPTEBMNCDAF.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PP问题4相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl知识应用（将军呢饮马问题）人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT问题4相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久BAl知识应

将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al数学建模：现在的问题就是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，

AC与CB的和最小．C人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C基本方法：.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直B

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C说明理由:.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′∴AC+BC

=AC+B′C=AB′AC′+BC′

=AC′+B′C′B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′即AC+BC＜AC′+BC′因此AC+BC最短.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT证明：如图，在直线l上任取一点C′（与B·lA·B′C

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．

B·lA·B′CC′

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？思考：.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT若直线l上任意一点（与点B·lA·B′CC′证明A拓展提高1：

如图，直线l是草场的边缘，直线m是河流的岸边，点A是牧场，牧羊人要先到草场放牧，再到河边饮水，最后回到牧场。问:他怎么行走才能是所走的路径最短？lm.AA1

.A2.BCB1.C1.人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT人教版数学八年级上册最短路径问题公开课PPT拓展提高1：如图，直线l是草场的边缘，直线