人教版数学九年级上册24垂直于弦的直径课件2

径定理综合课径定理综合课1·OABCDE条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB知识回顾：垂径定理的内容是什么？·OABCDE条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述2应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.CAEBO.D应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分3应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒

AD=BD.

∵

OD过圆心，AEBO.D应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分4(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.∴CD⊥OE，连结OA、OC关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。应用垂径定理的书写步骤1则，，∴四边形ADOE为矩形，应用垂径定理的书写步骤1求四边形OEPF的周长垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且答：⊙O的半径为5cm.3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。2、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，变式1：AC与BD有什么关系？∵CD是直径,答：⊙O的半径为5cm.∴四边形ADOE为矩形，定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.答：⊙O的半径为5cm.x＝5定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

应用垂径定理的书写步骤3定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OE⊥AB,∴AE=BE

∵

OE过圆心，AEBO.(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12c5定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.应用垂径定理的书写步骤3某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？∴CD⊥OE，连结OA、OC(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.垂径定理的内容是什么？变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？AC=BC,在Rt△OAC中，如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。变式1：AC与BD有什么关系？定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.求四边形OEPF的周长(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.求四边形OEPF的周长(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。判断下列图形，能否使用垂径定理？定理辨析××√√√√定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.判断下列61．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求弦AB的长．例题：1．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，71．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．例题：解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中在⊙O中1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为81.如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，弓形ADB的高为2cm，求⊙O半径.DABCO解：连结OA，过O作OD⊥AB于C交于D，则，，设，则，在Rt△OAC中，即

x＝5答：⊙O的半径为5cm.检测：1.如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，弓形ADB的高92、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.求证：AC=BDE2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点103、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点114、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G4、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在125.已知⊙O的半径为5，⊙O的两条平行弦AB＝6，CD＝8，那么AB与CD间的距离等于多少？ABDOC

解:

（1）若AB、CD在圆心的同侧，过O作

OF⊥AB交CD于E∵AB∥CD∴CD⊥OE，连结OA、OC∴AF=BF=3CE=EB=4F

E∴OF=∴OE=∴EF=4-3=15.已知⊙O的半径为5，⊙O的两条平行弦AB＝6，13（2）若AB、CD在圆心O的两侧同上，可求得OF＝4、OE＝3∴AB与CD间的距离EF＝4+3＝7MNCABDOFE∴OF=∴OE=∴EF=4-3=1（2）若AB、CD在圆心O的两侧同上，可求得OF＝4、O14学会作辅助线6.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。学会作辅助线6.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝A15AC=BC,AD=BD.∴CD⊥OE，连结OA、OC垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且垂径定理的内容是什么？定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——答：⊙O的半径为5cm.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。变式1：AC与BD有什么关系？应用垂径定理的书写步骤1AC=BC,∵AB∥CD设，则，应用垂径定理的书写步骤2变式1：AC与BD有什么关系？则，，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且∴OE=圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。变式：图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？变式1：AC与BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗

AC=BC,变式：图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中167．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD178.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长4553438.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=18(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.(3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——(4)在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是——(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——(6)P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．14cm或2cm25cm10cm和40cm103cm8cm10cm随堂训练：1.填空(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成192、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.2、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中203、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，214．如图，AB为⊙O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____4．如图，AB为⊙O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，22挖掘潜力某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO挖掘潜力某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、223应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.CAEBO.D课堂小结应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分24应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒

AD=BD.

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OD过圆心，AEBO.D课堂小结应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分25

应用垂径定理的书写步骤3定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OE⊥AB,∴AE=BE

∵

OE过圆心，AEBO.课堂小结应用垂径定理的书写步骤3定理：垂直于弦的直径平分26小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂27求四边形OEPF的周长1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.已知⊙O的半径为5，⊙O的两条平行弦AB＝6，CD＝8，那么AB与CD间的距离等于多少？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且OE⊥AB，OF⊥CD。应用垂径定理的书写步骤12、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——求四边形OEPF的周长垂径定理的几何语言叙述:(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.变式1：AC与BD有什么关系？∵CD是直径,解：连结OA，过O作OD⊥AB于C交定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.别忘记还有我哟！！教材41页T4T5

作业：求四边形OEPF的周长别忘记还有我哟！！教材41页T4T28径定理综合课径定理综合课29·OABCDE条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB知识回顾：垂径定理的内容是什么？·OABCDE条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述30应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD⊥AB,∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.CAEBO.D应用垂径定理的书写步骤1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分31应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OD⊥AB,∴AE=BE,⌒⌒

AD=BD.

∵

OD过圆心，AEBO.D应用垂径定理的书写步骤2定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分32(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.∴CD⊥OE，连结OA、OC关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。应用垂径定理的书写步骤1则，，∴四边形ADOE为矩形，应用垂径定理的书写步骤1求四边形OEPF的周长垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且答：⊙O的半径为5cm.3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。2、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，变式1：AC与BD有什么关系？∵CD是直径,答：⊙O的半径为5cm.∴四边形ADOE为矩形，定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.答：⊙O的半径为5cm.x＝5定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

应用垂径定理的书写步骤3定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.OE⊥AB,∴AE=BE

∵

OE过圆心，AEBO.(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12c33定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.应用垂径定理的书写步骤3某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？∴CD⊥OE，连结OA、OC(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.垂径定理的内容是什么？变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？AC=BC,在Rt△OAC中，如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。变式1：AC与BD有什么关系？定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.求四边形OEPF的周长(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.求四边形OEPF的周长(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。判断下列图形，能否使用垂径定理？定理辨析××√√√√定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.判断下列341．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求弦AB的长．例题：1．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，351．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．例题：解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中在⊙O中1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为361.如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，弓形ADB的高为2cm，求⊙O半径.DABCO解：连结OA，过O作OD⊥AB于C交于D，则，，设，则，在Rt△OAC中，即

x＝5答：⊙O的半径为5cm.检测：1.如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，弓形ADB的高372、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.求证：AC=BDE2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点383、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E3、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点394、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G4、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在405.已知⊙O的半径为5，⊙O的两条平行弦AB＝6，CD＝8，那么AB与CD间的距离等于多少？ABDOC

解:

（1）若AB、CD在圆心的同侧，过O作

OF⊥AB交CD于E∵AB∥CD∴CD⊥OE，连结OA、OC∴AF=BF=3CE=EB=4F

E∴OF=∴OE=∴EF=4-3=15.已知⊙O的半径为5，⊙O的两条平行弦AB＝6，41（2）若AB、CD在圆心O的两侧同上，可求得OF＝4、OE＝3∴AB与CD间的距离EF＝4+3＝7MNCABDOFE∴OF=∴OE=∴EF=4-3=1（2）若AB、CD在圆心O的两侧同上，可求得OF＝4、O42学会作辅助线6.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。学会作辅助线6.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝A43AC=BC,AD=BD.∴CD⊥OE，连结OA、OC垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且垂径定理的内容是什么？定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——答：⊙O的半径为5cm.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。变式1：AC与BD有什么关系？应用垂径定理的书写步骤1AC=BC,∵AB∥CD设，则，应用垂径定理的书写步骤2变式1：AC与BD有什么关系？则，，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且∴OE=圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。变式：图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？变式1：AC与BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗

AC=BC,变式：图中两圆为同心圆变式3：隐去（变式1）中447．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD458.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长4553438.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=46(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为——cm.(2)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为——.(3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——(4)在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是——(5)⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=——(6)P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．14cm或2cm25cm10cm和40cm103cm8cm10cm随堂训练：1.填空(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成472、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.2、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中483、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，494．如图，AB为⊙O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____4．如图，AB为⊙O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，50挖掘潜力某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2m，过O作OC⊥AB于D