全国各地中考数学压轴题专集答案一元二次方程

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精益求精，善益求善。全国各地中考数学压轴题专集答案一元二次方程2011年中考数学压轴题专集（全国各地）2011年中考数学压轴题专集（全国各地）PAGEPAGE52011年中考数学压轴题专集（全国各地）PAGE2012年全国各地中考数学压轴题专集答案一元二次方程二、一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2NEFMxyy2y1∴22＋2p＋q＋1＝0，NEFMxyy2y1（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－EQ\F(p,2)，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－EQ\F(p,2)|＝2，即|－EQ\F(p,2)|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－EQ\F(eq\r(,15),2)≤m≤EQ\F(eq\r(,15),2)∴－EQ\F(eq\r(,15),2)≤m＜－1或1＜m≤EQ\F(eq\r(,15),2)②综合①、②得：－EQ\F(eq\r(,15),2)≤m≤EQ\F(eq\r(,15),2)3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根∴eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a－6≠0,4a2－4a(a－6)≥0))即eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(a≠6,a≥0))假设存在实数a使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，则4＋(x1＋x2)－x1x2＝0∴4＋EQ\F(－2a,a－6)－EQ\F(a,a－6)＝0，得a＝24∵a＝24满足a≥0且a≠6∴存在实数a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立（2）∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝EQ\F(－2a,a－6)＋EQ\F(a,a－6)＋1＝－EQ\F(a,a－6)∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（EQ\F(1,2)，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝EQ\F(5,4)？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0∴1－x1－x2＋x1x2≤0∴(1－x1)(1－x2)≤0又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0即x1≤1，x2≥1∴x1≤1≤x2Oxy112CAB（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝EQ\F(5,4)，∴x1＋x2＝EQ\F(9,4Oxy112CAB①当点P（x1，x2）在BC边上运动时则EQ\F(1,2)≤x1≤1，x2＝1∴x1＝EQ\F(9,4)－x2＝EQ\F(9,4)－1＝EQ\F(5,4)＞1故在BC边上不存在满足条件的点P②当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x1＝1，1≤x2≤2取x2＝EQ\F(5,4)，则x1＋x2＝EQ\F(9,4)，即a＋b＝EQ\F(5,4)故在AC边上存在满足条件的点P（1，EQ\F(5,4)）③当点P（x1，x2）在AB边上运动时则EQ\F(1,2)≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1∵x1＋x2＝EQ\F(9,4)，∴x1＝EQ\F(3,4)，x2＝EQ\F(3,2)又∵EQ\F(1,2)＜EQ\F(3,4)＜1，1＜EQ\F(3,2)＜2故在AB边上存在满足条件的点（EQ\F(3,4)，EQ\F(3,2)）综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC、AB边上存在满足条件的点，它们分别是（1，EQ\F(5,4)）和（EQ\F(3,4)，EQ\F(3,2)）5．（福建模拟）已知方程组eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(y2＝4x,y＝2x＋b))有两个实数解eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝x1,y＝y1))和eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＝x2,y＝y2))，且x1x2≠0，x1≠x2．（1）求b的取值范围；（2）否存在实数b，使得EQ\F(1,x1)＋EQ\F(1,x2)＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x＝(2x＋b)2，整理得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0∵x1≠x2，∴△＞0，即(4b－4)2－16b2＞0，解得b＜EQ\F(1,2)又∵x1x2≠0，∴EQ\F(b2,4)≠0，∴b≠0综上所述，b＜EQ\F(1,2)且b≠0（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝EQ\F(b2,4)，∴EQ\F(1,x1)＋EQ\F(1,x2)＝EQ\F(x1＋x2,x1x2)＝EQ\F(4(1－b),b2)＝1得∴b2＋4b－4＝0，解得b＝－2±2eq\r(,2)∵－2＋2eq\r(,2)＝2(eq\r(,2)－1)＞EQ\F(1,2)，∴b＝－2＋2eq\r(,2)不合题意，舍去∴b＝－2－2eq\r(,2)6．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝EQ\F(8,c)∴a，b是方程x2＋cx＋EQ\F(8,c)＝0的两个实数根∴△＝c2－4×EQ\F(8,c)≥0当c＜0时，c2－4×EQ\F(8,c)≥0恒成立当c＞0时，得c3≥32，∴c≥故c的取值范围是c＜0或c≥7．（四川某校自主招生）已知实数x、y满足eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs4(x＋y＝3a－1,x2＋y2＝4a2－2a＋2))，求xy的取值范围．解：∵(x－y)2≥0，∴x2＋y2≥2xy∴2(x2＋y2)≥(x＋y)2∴2(4a2－2a＋2)≥(3a－1)2即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3∵xy＝EQ\F(1,2)[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝EQ\F(1,2)[(3a－1)2－(4a2－2a＋2)]＝EQ\F(1,2)(5a2－4a－1)＝EQ\F(5,2)(a－EQ\F(2,5))2－EQ\F(9,10)∴当a＝EQ\F(2,5)时，xy有最小值－EQ\F(9,10)；当a＝3时有最大值16∴－EQ\F(9,10)≤xy≤168．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两