导数与微分练习题答案

--------高等数学练习题 第二章 导数与微分第一节导数概念一．填空题若f(x0

limx0

f(x0x)f(x0)= f(x)x 0若f(x0

h0

f(x0h)f(x0h)= 2f(x).h 0f(x3x)f(x) lim 0x

0 =3

(x).x0f(

)2,则0 x0

f(x0

0x 12x)f(x ) 40)已知物体的运动规律为stt2(米)，则物体在t25（米秒）曲线ycosx上点（

1）处的切线方程为

，法线方程为2x 3y 32 3

3 2 3x2y1 300⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 可导

连续

极限存在。二、选择题1f(00,f(0存在，则lim

f(x)= [ B ]x0 x（A）f(x) (B) f(0) (C) f(0) (D)f(xax)f(xbx)

1f(0)2f(xxblimx0 x

= [ B ]（A）f(x) (B)(ab)f(x) (C) (ab)f(x) (D)

abf(x)2函数在点x处连续是在该点x处可导的条件 [ B ]0 0（A）充分但不是必要 （B）必要但不是充分充分必要 （D）即非充分也非要yx

x2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为 [ B]（A）(0,1) (B) (1,0) (C)(0,0) (D) (1,1)设函数f(x)sinx|，则f(x)在x0处 [B]（A）不连续。 （B）连续，但不可导。(C)可导，但不连续。 （D）可导，且导数也连续。 x2 x1三、设函数f(x) 为了使函数f(x)在x1处连续且可导，a，b应取什axb x1么值。解fxx1处连续,所以f1fabf即ab1fxx1处可导，所以x21f'(1)lim 2 x1axb(ab)f'(1)lim a

x1有 a2，b1故求得 a2，b1f(xf(0f(0=0。解：由于f(x)是偶函数, 所以有 f(x)f(x)f(0)lim

f(x)f(0)x0 x0lim

f(x)f(0)x0 x0xtlimt0

f(t)f(0)f(0)t即 2f(0)0，故 f(0)0五、证明：双曲线xya2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。解y

a2ya2在任意x

)处的切线方程为x x2 0 0yy0

a2x20

(xx)0(0,2a2)和(2xx 0

,0)所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为1 2a2A2故其值为定值.

x 2xa2（a是已知常数）0第二节求导法则一、填空题y(2secx)sinx, y=tan2x2cosx1; yesinx, y=cosxesinx.ycos(2ex)，y= 2exsin(2ex); y

sin2x

，y

2xcos2xsin2xx x2lntan2

，=csc; rxlog2

xln2, r=log2

xloge2wln(secttant) , w = sect . yarccos(x2x) ，2xx2xx1(x2x)2x= 5. (=

x1x211x21x21x2

c )= .6.[lntan

x2

1x1x2

ln(x 1x2)c) 111x2已知y=sinx 则y= [ B ]xcos xsinxcosx xcosxsinx sinxxcos （A） (B) (C) (D)x3 x x2 xx2已 知 y=

x2sinx

x2， 则 y =[ C ]

1cosxcosx1 1cosx 1 2cosx1（A）2cosx1

(B)

2cosx1

(C)

1cosx

(D)

1cosx3.[ A

已 知 ysecex ， 则 y =（A）exsecex

tanex

(B) secex

tanex (C) tanex

(D)excotex4. 已 知 yln(x 1x2) ， 则

y =[ A ]11x1x25.

(B)已 知

1x2x211x2x21

(C) x11x2

(D)则

y| =x4[ D ]（A）1 （B）2 （C）1/2 (D) 21x6. 已 知 y1x

， 则 y =[ B ]2（A）

2(B)

2x(C)

(D)

2x(x1)2

(x1)2

(x1)2

(x1)2三、计算下列函数的导数：3lnx(1) yln(3x)3lnx1

1 21

ytan(lnx)1解： y

(3x) (lnx)3 3x3 x3x

y'sec2(lnx)x3y11(lnx)23

1 1sec2(lnx)sin21

3x 3 x x3ue v (4) ysec(lnx)解：u'

1esin2ev

(2sin1cos1(

1))

y3sec2(lnxsec(lnxtan(lnx11 2 sin21

v v v2 x3sin e v v2 v x

sec3(lnx)tan(lnx)(5) yln(x 1x2) (6) yarctan1x1xx 1x21 x 1x2y

(x 1x2)' y

1x

( )x 1x 1x211x2x1x2(x 1x2)

1( )21x1xx1x2) x1x21x2f(x可导，求下列函数ydydxyf(ex)ef(x)

yf(sin

f(cos2x)解：y'f'(ex)exef(x) 解：y'f'(sin2x)2sinxcosxf(ex)ef(x)f'(x) f'(cos2x)(2cosx(sinx))＝ef(x)[exf'(ex)f'(x)f(ex) ＝sin2x(f'(sin2x)f'(cos2x))yarctan[f(x)] (4)yf(sinx)sin[f(x)]解：y' 1 f'(x) 解：y'f'(sinx)cosxcos(f(x))f'(x)1fx)＝ f'(x) cosx'(sinx)f'(x)cos(f(x))1f一、填空题

x)第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数ey1．设y1xey，则y= .2 y2.设rr)，则r=csc2r) .设ln

arctany,y

xy。x2y23x2y23xetsint设

dy costsint dy，则 = ， | =

2。yet二、选择题

cost

dx sintcost

dxt3由方程sinyxe

0所确定的曲线yy(x)点处的切线斜率为 [ A ]（A）1 （B）1 （C）1

（D）1[ A ]

2 2xy22 所确定的隐函数为yy(x) ，则dy =（A）

ydx

ydx （C）

ydx

ydx2x 2x x x设由方程xy

1siny0所确定的隐函数为yy(x)，则dy =2 dx[ A ]2 2 2 2（A）2cosy （B）2siny （C）2cosy （D）2cosxxa(tsint) 设由方程ycost)

所确定的函数为yy(x)，则在t 处的导数为2[B ]（A）1 （B）1 （C）0 （D）121t2x1t2设由方程yarctant

yy(xdydx1 1

[B]1t21t2

（B）tdy

（C）

； t.三、求下列函数的导数2dx221．x

y

2a32

xacos3t， 2. yasin3t解方程两边同时对x求导,得 解:

y

sin2tcost tant3acos2tsintx2 x3

2 1y3

'03 3y3xyy3x3．yx2y3yex

10 4. yxsinx1ex解: 方程两边同时对x 求xsinx1ex1 1 1lny

lnx lnsinx ln(1ex2 2 4

1 1 cosx exy2xy33x2y2yyex

yex

0 y' y 2x 2sinx ex)y

2xy3yex13x2y2exxsinx xsinx 1ex

(12cotx ex 2x ex)xexsin10四、求曲线

在0处的切线方程，法线方程 y30解: dy22)ddxexdxsinexcosd0 dx

excosd,

从而 dy

(322)(1exsin)1exsin dx excos当0, x1, y0,

dydxdydx

2e故 切线方程为 y2e(x法线方程为一、填空题

y1(x1)2e第四节高阶导数１．设rcos，则r=cossin ,r=2sincos.1x22．设yln(x 1x2),则y1x2

，y＝

x(1x2)3/2dy3yf(t2,f(t)存在，则dy

＝2tf'(t2)，d2y=2f'(t2)4t2f''(t2)４．设y1xey，则y= ey

dt dt2, y=e2y(3y)2y (2y)3 xf(t) dy5．设 ，且

t d2y 1t2，则 = 。yt

dx 2 dx2 4t6.yxn

e2x1,则y(n) =n!2ne2x17．设f(x)x(x1)(x2) (x，则f(0)＝．二、选择题若yx2lnx,则y= [D]（A）2lnx （B）2lnx1 （C）2lnx2 （D）2lnx3 d 设y f(u)ex,则 = [ B ]dx2（A）e2xf(u) 2f(u)uf(u) （C）e2f(u) f(u)uf(u)ysin

xyn)

[ A]（A）2n1sin[2x(n]2

（B）2n1cos[2x(n1)]2（C）2n1sin[2x(n1) ]2yxexyn)

（D）2nsin[2x(n]2

[ A]（A）ex(xn) （B）ex(xn)f(xyd2ydx2

（C）2ex(xn) （D）xenxyf(ex)dyf'(exedxd2yd2x

f''(ex)e2

f'(ex)exyln[f(x)]解：dy 1dx f(x)

f'(x)

f'(x)f(x)d2yd2x

f''(x)f(x)[f'(x)]2[f(x)]2yd2ydx2xacost1. y bsint解: ybcos

bcottasint ad2yb(cott) 1 bdx2 a asint a2sin3tx2x2y22. arctanx

ln解:方程两边同时对x求导,得y'xyxyy'yx

, y

(1y)(xy)(xy)(1y)y

xy (xy)22x22y2(xy)31y

2x3

yn)2解: y'

(2x3)2y''(2)

22(2xy'''(2)(3)

23(2xy(4)

(2)(3)(4)

24(2x依此类推,得2nn!y(n)

(2x3)n1yx

第五节函数的微分xx2处（1）当0.1y

0.31，dy=0.3（2）当x0.001时,y=0.003001, dy=0.003。1x1x2二．（1）yarcsin

在x2

处的一次近似式为f(x) 3

(x )3 2yexcos(xx0f(xcos1(cos1sin1)x483483

3154三．填空（求函数的微分）1、d2sinsin2cos)dxx2、d(ln(cos x))=tan dxx3、d(ln2x

2x

ln(1x)dx4、d(lnsecxtanx(tanxsec2x)dx5、df

1))= 1

f'(arctan

1)dxd(sinx)6、d(cosx)