高二数学空间向量及运算人教版知识精讲

PAGE高二数学空间向量及运算人教版1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。2.了解空间向量基本定理。3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。重要知识点：1.共线向量定理：2.共面向量定理：3.空间向量基本定理：4.两空间向量的数量积：性质：运算律：1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：（2）空间中的共面条件：共面（不共线）推论：对于空间任一点和不共线三点、、，，则四点、、、共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若，则：注1：数量积不满足结合律；注2：空间中的基底要求不共面。2、空间向量在立体几何证明中的应用：（1）证明，即证明（2）证明，即证明（3）证明（平面）（或在面内），即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；（4）证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。3、空间向量在立体几何求值中的应用：异面直线和的成角直线和平面的成角（为平面的法向量）平面与平面的成角（，分别为两平面的法向量）或（需具体分析取哪一个）点到平面的距离（为平面的法向量）（其中点为平面内任意一点）直线平面（）的距离转化为点到平面的距离平面与平面（）的距离（为平面的法向量）转化为平面内的点到平面的距离异面直线和的距离（为既垂直于也垂直于的向量）（可以用，，，即两直线上分别取一点）空间两点，的距离坐标形式下：两点间距离公式基底形式下：若表示成，则可以得到：【典型例题】例1.判断题解：（1）正确。例2.的值（x、y、z∈R）解：例3.解：例4.解：例5.解：例6.证明：同理可证∠B、∠C均为锐角。∴△ABC为锐角三角形。例7.已知在平行六面体ABCD—A’B’C’D’中，AB=AD=3，AA’=5，∠BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。（1）求证AC’⊥BD；（2）AC’的值。证：【模拟试题】基础巩固题1.给出下列命题：（1）a=“从南昌往正北平移6km”，b=“从北京往正北平移3km”，那么a=2b；（2）；（3）把正方形ABCD平移向量m到的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；（4）有直线，且，在上有点B，若，则。其中正确的命题是（）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（2）（4）D.（1）（2）（3）2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于的表达式中错误的是（）A.B.C.D.3.以下四个命题正确的是（）A.若，则P、A、B三点共线B.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底C.D.△ABC为直角三角形的充要条件是4.给出下列命题（1）已知，则；（2）A、B、M、N为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；（3）已知向量，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；（4）已知向量是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量构成空间另一个基底。其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.45.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（）A. B.C. D.6.已知a，b是异面直线，，且，CD=1，则a与b所成的角是（）A.30° B.45° C.60° D.90°7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且，N是上一点且，P为的中点，则_______。8.长为4的向量a与单位向量e的夹角为，则向量a在向量e方向上的投影向量为___________。9.在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1⊥平面ABC，，则异面直线与BD所成的角是__________。10.设OE是以OA，OB，OC为棱的平行六面体的对角线，OE交平面ABC于M，试用向量法证明M是△ABC的重心。【试题答案】基础巩固题1.C 2.B 3.B 4.C 5.B6.C提示：适合用直角坐标系求解。7.8.9.60°解1：设解2：如图所示，为所求。10.证明：设取BC中点D，连DA，取即M’是△ABC重心，下面证M’与M重合故M是△ABC的重心。空间向量与立体几何单元测试一、选择题（每题5分共25分）1．在下列命题中：①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示为．其中正确命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．32．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（） A． B． C． D．3．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对4．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（） A．2 B．3 C．4 D．55已知i,j,k为单位正交基底，且 （）A．－15 B．－5 C．－3 D．－1二、填空题（每题5分共20分）6．已知向量，，，则向量的坐标为.7．若a=(m＋1，n－1,3)，b=(m＋3,n－3,9)且a与b平行，则m+n=．8．设||＝1，||＝2，2＋与－3垂直，＝4－，＝7＋2，则<,>＝．9.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=,OB=,OC=,用表示MN=.空间向量与立体几何单元测试答题卷三、解答证明题10．（本题满分15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中， E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．11.（本题满分20分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．12.（本题满分20分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦； （III）求二面角A-DC-B的余弦值．参考答案1-5ADCBA6．8．0°9.10．.(15分)解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2) (2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1＝(0,-2,2)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝(0,1,2)∴|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|＝2EQ\R(2)，|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|＝EQ\R(5)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝0－2＋4＝2,∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1，EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1＝EQ\F(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1·EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1,|EQ\s\up7(→)\d\ba24()AB1|·|EQ\s\up7(→)\d\ba24()ED1|)＝EQ\F(2,2\r(2)×\r(5))＝EQ\F(\r(10),10)．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为EQ\F(\r(10),10)．11．(20分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)， D(0,2b,0)，P(0,0,2c) ∵E为AB的中点，F为PC的中点 ∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(0,b,c)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝(0,0,2c)，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD＝(0,2b,0) ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝EQ\F(1,2)(EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＋EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD)∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF与EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP、EQ\s\up7(→)\d\ba24()AD共面 又∵E平面PAD ∴EF∥平面PAD．(2)∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()CD＝(-2a,0,0)∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()CD·EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0 ∴CD⊥EF．(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c， ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF＝(0,b,b)， EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝(0,0,2b) ∴cosEQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝EQ\F(2b2,2b·\r(2)b)＝EQ\F(\r(2),2) ∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝45∵EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP⊥平面AC，∴EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90－EQ\s\up7(→)\d\ba24()EF，EQ\s\up7(→)\d\ba24()AP＝45．12.【解】方法一： （I）证明：连结OC ………1分 在中，由已知可得 而 即……………3分 又 平面……………5分 （II）解：