2020届百校联盟TOP20高三四月联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)

2故选：C2故选：C第页共21页第第i3页共2i页故Sabc1m2sin1203/3.2【点睛】本题考查了降哥公式，考查了三角形面积公式，考查了正弦定理，考查了同角三角函数关系式中的商关系，考查了数学运算能力 .18.如图，在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，B〔A底面ABCD,BBiBC2AB,ABC60(1)求证：ABAD;5【解析】（i）连接AiCi,CiD,AC,通过勾股定理得到ABAC,再由条件推得ABCiD进而得到线面垂直，线线垂直； （2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】⑴连接AQi,CiD,AC,以为原几何体是平行六面体，故得到 AAPCCiACiCA是平行四边形，进而得到ACi//AC,因为BC2AB且ABC60,在三角形ABC中由余弦定理得到边AC2AB2BC22ABBCiBC2AB2,2AB2AC2BC2ABAC,进而得到ABAQi,又因为BA底面ABCD,BiAABQBAPGDABC〔DACiCiDCiAB面AWABAD.

(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系:设BB1BC2AB2,AR/，B1,0,0,A0,0,0，旦0,0,V3,C0,a/3,0根据ABiABA 1,0,J3,设面AAD的法向量为nx,y,zUULTAA1一uuir1,0,.3,ADuur_BC1,.3,0,3,1,1设面ACD的法向量为ir

mx,y,zuuir

ABuuirDC1,0,0,uiurCA11,.3,.30x..3yUULTAA1一uuir1,0,.3,ADuur_BC1,.3,0,3,1,1设面ACD的法向量为ir

mx,y,zuuir

ABuuirDC1,0,0,uiurCA11,.3,.30x..3y3z0,1,1则两个半平面的夹角余弦值为:cosirm-ur_J05|n||m|【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用， 涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小2x19.已知椭圆C：-y

a2\1(ab0)b2的左，右焦点为点B2,B1分别为椭圆C的上、下顶点，满足uuiurB1F1

uuurB1F1uuuurB1F2

uuuLTB1F2F1,F2,且焦距为2«,uuuurB1B2uuuurB1B2.(1)求椭圆C的方程;EN,求证：直线MN(2)已知点E2,0，椭圆C上的两个动点M,N满足EN,求证：直线MN2【答案】(D—y21;(2)见解析4uumrBiFuuuur【解析】(1)设uUuU- B1F1uuuur噩B1F2uuuir

B1F2uuuirB1B2uUUirB1B2uuuirB1B2,结合已知的向量表达式，根据平面向量加法的几何意义可知四边形B1F1B2F2为菱形，结合已知条件进行求解即可;(2)根据直线MN是否存在斜率进行分类讨论.设直线MN的方程，与椭圆方程联立,结合次方程根与系数的关系,结合两平面向量垂直的性质进行求解即可(1)设uuurUUUFrB1F1uuuurB1F1uuuirBUUUrB1F2uuuurB1F2uuuirBB uuuir思军B1B2啊昌旦后8252为菱形且F1B1B260,2x椭圆C的方程为一4y2 1.(2)当直线MN斜率存在时，设MN:ykxN乂2,丫2.y联立2xkxm2消去y得4y244k22 2x8kmx4m40,Xi64kX2EM整理得2 2m168km14k22x21k214k24m2 41614k2m2 0X1X24k2uuuuuuur

EMENy»2 0x1x2km2X10,0 8km将X1X0 8km将X1X2 2,X1x214k2 12 2-代入整理得12k216km5m2014k2即2km6k5m0,6解得m2k或m—k.5当m2k时，直线MN：ykx2k过点E,舍去；6 6 6c当m—k时，直线MN：ykx-k过定点一,0.5 5 5当直线MN斜率不存在时，不妨设MX1,y1，N为，%,uuuuuuur则由EMEN，则EMEN0,2TOC\o"1-5"\h\z_ _2 2_一 _2.X1 一即x2 y；0,即X12 1—0,\o"CurrentDocument"1 八 4即5X216为120,解得X2（舍去）或X1 6,也过定点 -,0.\o"CurrentDocument"5 5综上，直线MN过定点6,0.5【点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义， 考查求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力，考查了分类讨论思想20.新疆小南瓜以沙甜闻名全国，小田计划从新疆运输小南瓜去上海，随机从某瓜农的瓜地里挑选了100个，其质量分别在100,200,200,300,300,400,400,500,500,600,600,700（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示，将频率视为概率（1）请根据频率分布直方图估计该瓜农的小南瓜的平均质量;（2）已知瓜地里还有2万个小南瓜已经成熟，可以采摘，小田想全部购买，可是瓜农要求超过400克的小南瓜以5元一个的价格出售，其他的以3元一个的价格出售.将频率视为概率，若新疆到上海往返的运费约 2000元，请问这2万个小南瓜在上海以每斤（500克）多少元定价才能保证小田的利润不少于 5000元？（结果保留一位小数）（3）某天王阿姨在上海某超市的蔬菜柜台上看到小田从新疆采摘的新疆小南瓜，已知柜台上有若干个，若质量超过 500克的小南瓜为“优质品”，王阿姨随机购买了20个小南瓜，求王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望 ^【答案】（1）415克；（2）至少定价每斤5.6元；（3）5【解析】（1）根据每组取中点为代表，根据平均数的定义进行求解即可；（2）求出每个小南瓜质量超过 400克的概率，再求出2万个小南瓜中质量超过400克的个数，最后结合已知条件进行求解即可；（3）由频率分布直方图可求出小南瓜质量超过 500克的概率，结合二项分布的性质进行求解即可.【详解】（1）小南瓜的平均质量为1500.12500.13500.154500.45500.26500.05415（克）（2）每个小南瓜质量超过400克的概率为0.65,故2万个小南瓜中质量超过400克的个数为13000个，价值元），质量低于400克的价值为7000321000（元），则小田运到上海总的费用为 6500021000200088000（元）.由（1）知，2万个小南瓜的总质量为2000041550016600（斤），880005000因为 166005.6,所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于 5000880005000因为 166005.6,所以小田至少定价每斤5.6元才能保证利润不少于 5000（3）由频率分布直方图知，小南瓜质量超过 500克的概率P0.25,由题意知，王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数X服从二项分布B20,0.25,则EX200.255,故王阿姨购买的小南瓜中“优质品”个数的期望为5.【点睛】本题考查了二项分布的性质，考查了利用频率直方图求平均数，考查了数学运算能力

r exm,x021.已知函数fx2 (e为自然对数的底数).x22x,x0(1)当m1时，设gxxfx,求gx的单调区间；(2)若fx的图象在两点P x，f x〔 ，Q x2，f x2 (x1 0 x2)处的切线重合，求证：-m1.4c4 4【答案】(1)增区间0-，减区间 ,0,-, ;(2)见解析3 3【解析】(1)求出函数gx的解析式，然后分类讨论，结合导数进行求解即可；(2)根据题意，利用导数求出两点处切线的斜率，再求出Q点处的切线方程，这样可2 以得到m 2x2 21n 2x2 2 2x2 2 x2,通过换元法，构造函数，再求导，求出新函数的单调性，利用单调性进行求解即可【详解】(1)由题意知(1)由题意知gxXxex,x0,x32x2,x0,当x0时，当x0时，gxx1ex10,故gx在,0上单调递减;当x0时，当x0时，gxc2 , J 43x4x,故gx在0,-上单调递增，在-,3 3上单调递减.(2)由题意知(2)由题意知fx1 ex1,fx22x22,则ex1 2x22 0,1,2Q点处的切线万程为y2x22xx2 x22x2,则有ex1m 2x22x1x2x|2x2,将ex1 将ex1 2x22代入整理得m22x22In2x,22x22x2,令t 2x22 0,1,则mtint2tt2一14人- t ,人- t ,令Gttint2t—1(t40,1),lnt在0,1上单调递减,34’又因为Glnt2- 04 ，所以Gt1,4”本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了曲线的切线求法，考查了数学运算能力x22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是2 lnt在0,1上单调递减,34’又因为Glnt2- 04 ，所以Gt1,4”本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了曲线的切线求法，考查了数学运算能力x22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是2 ，，一 ，，L(t为参数)，以坐二t2标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程是.2sin一4(1)证明：直线l与曲线C相切;(2)设直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,点P是曲线C上任意一点，求PA2PB的取值范围.(1)见解析；(2)4,8(1)利用加减消元法把直线l化成普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化公式把曲线C化成直角坐标方程形式，最后通过圆心到直线的距离进行证明即可;(2)由1 2 1 .2.(I)知A2,0,B0,2设点P坐标为——cos，——sin2 2 2 2根据两点间距离公式，结合辅助角公式进行求解即可(1)直线1的普通方程为xy20,根据xcos,ysin,x2代入得曲线的直角坐标方程为X2圆心为C到直线1的距离d故直线l与曲线C相切.（2）由（I）知A2,0B0,2、… ，，，、… ，，，1设点P坐标为一2、2cos2

'.2.sin2PA2—cos2、2.—sin

2372sin 372cosPB1 :2———cos2 2:2.——sin2\2cos3、2sin

2则PA2PB2672sincos62sin— 4,8,42 2故PAPB的取值范围为4,8【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程化成普通直角坐标方程，考查了辅助角公式的应用,考查了数学运算能力23.已知函数fX4xx-a（a0）a(1)求证：fx4；(2)当a4时，解不等式fx9.【答案】(1)见解析；(2) ,2U7,