基础逻辑课件

1基础逻辑1导论：逻辑学的研究对象1.1论证、前提和结论1.2论证之认证1.3演绎与归纳1.4有效性与归纳力度1.5论证形式：非有效性之证实1.6扩展的论证21.1论证、前提和结论逻辑是研究推理或论证之评价的科学。推理或论证是命题的序列，其中一个或更多的命题(前提)被要求为另一个命题(结论)提供支持或者相信的理由。所有论证都可以被归为两类：其中前提确实支持结论者为好论证；其中前提尽管被要求却并不如此者为坏论证。逻辑作为评价论证的科学，其目的就是开放供我们区别好论证与坏论证的方法或技术。命题是或真或假的句子，通常为陈述句。如：长沙是湖南省会；毛泽东不是湖南人。语句：今天星期几？今晚去看电影吧。请安静。妙极了！都不是命题。3

分析并评价论证时最重要的任务之一是要能够区分前提与结论。一些典型的结论指示词是：所以；故而；是以；是故；因之；可以推出；可以推断；乃一定有；因此之故；因而；因此；于是有；其结果；蕴涵等。

只要一命题跟随在这些指示词后面，它通常就能被认定为结论。例如：

被拷打的囚犯为减轻痛苦将什么都说。从而，拷问不是

审讯的可靠方法。

若干典型的前提指示词是：由于；在于；鉴于；如…所揭示的；可以从…推出；其理由为；因为；因…之故；给定等。任何跟着这些指示词后面的命题通常被辨认为前提。例如：

孕妇决不应该使用保养药品，因为使用这些药品会危害胎儿的发育。5有些论证不包含指示词。这时，读者或听者必须问他这样的问题：哪个命题被(隐含地)要求为从别的命题中推出？论辩者在努力证明什么？那段话里的要点是什么？这些问题的解答应该都指向结论。例如：

空间计划理应在未来若干年增加费用。不仅国防依靠它，而且该计划将借助技术副产品本身得到更多回报。此外，在当前的资金水平上该计划不能实现它预期的潜力。

此论证的结论是第一个命题，而其它的命题都是前提。当论证根据逻辑原则重新构成时，结论总是列在前提后面：

P1：国防依赖空间计划。

P2：该空间计划将借助技术副产品本身得到更多回报。

P3：在现有资金提供水平上该计划不能实现其预期的潜力。

C：空间计划理应在未来若干年增加费用。6有时包含论证的语言段落包括既非前提又非结论的命题。只有确实意在支持结论的命题才应该包括在前提表内。比方说，如果一命题仅仅用来介绍总的话题，或者仅仅做短暂的评注，它就不应该被认为是论证的一部分。例如：

经常有人声称失当医疗的诉讼提高了保健成本。但是，如果这样的诉讼被认为非法或严加限制，患者将缺乏因粗心大意的医生引起的伤害

而获得胜诉的手段。所以，失当医疗控诉的有效性应该坚持不变。

当前有4,700万美国人没有健康保险。这些人去医院，他们例行地交付常规的治疗费用两三次。这种涉及治疗贫困患者的费用的做法明显地不公平。因为这些理由，应该采用全民健康保险计划。反对这种变化的政治家们应该为他们感到惭愧。

在第一个论证中，开头的命题只是用来介绍话题的，所以它不是该论证的部分。前提是第二个命题，而结论是最后的命题。在第二个论证中，最后的命题只是做短暂的评注，所以它不是该论证的部分。前提是前三个命题，而跟在“因为这些理由”后面的命题是结论。

71.2论证之识别

不是所有的话语段落都包含论证。一个话语段落要想成为论证必须满足两个条件：1.至少有一个命题必须声称要呈现证据或理由即前提。2.必须有一个要求证据支持或蕴涵的命题即结论。第一个条件表达一种事实的要求，其是否满足超出逻辑领域。第二个条件表达推理的要求，即表达特定种类的推理过程——某事支持某事。这是逻辑要关注的。在确定是否有一个要证据支持或蕴涵某事的要求时，留意(1)指示词和(2)命题之间呈现推理关系。同时要警惕：首先，只是出现指示词决不保证就出现论证。其次，一段话语中命题间是否有推出关系有时很难觉察，须反复分析推敲。85.脐橙被如此称呼，是因为它们在与果柄相对的另一端长有一个看似人的肚脐的东西。

6.化学元素，以及化合物，都能用分子式表示。例如，氧表示为“O2”,水表示为“H2O”,而氯化钠表示为“NaCl”。

7.如果所有人都会死，那么我也会死。

上述语段中，5是表达一种解说，虽然常含有指示词“因为”，但它不是论证，解说者的目的是澄清而不是证明，或者说，解说者的目的是表明为什么某事是那样，而在论证中，前提的目的是证明某事就是那样。6是例解，它是解说的一个特例，或叫举例说明，不是论证。7是一个表达充分条件关系的复合命题，不是论证。注意：下面的语段是论证：

8.虽然大部分形式的癌症，如果不予以治疗就会导致死亡，但是并非所有的癌都是威胁生命的。举例说，基底细胞癌，所有皮肤癌中最普通的，能损伤身体，但是它几乎不造成死亡。

9.因为所有人都会死，（我是人），所以我也会死。

8是一个举例论证。9是一个省略形式的三段论。10

例1如果所有的鸟都会飞并且鸵鸟是鸟，则鸵鸟会飞，但是，鸵鸟不会飞并且鸵鸟确实是鸟。所以，并非所有的鸟都会飞。

例2我们摩擦冻僵的双手，手便暖和起来；我们敲击石块，石块会发出火光；我们用锤子不断的锤击铁块，铁块也能热到发红；古人还通过钻木取火。所以，任何两个物体的摩擦都能生热。

例3中亚的乌兹别克地区和我国的塔里木河地区都具有日照长、霜期短、气温高、雨量适度等条件。中亚的乌兹别克地区能种植长绒棉。因此，中国的塔里木河地区也能种植长绒棉。

上述论证或推理实例中，1是演绎推理，其前提真能保证结论真。2和3是归纳推理，当前提真时，其结论不必然真。

演绎和归纳的这个特点还决定了它们一个附属的特点，即演绎推理是可以完全形式化的，即可以用公式来表达演绎推理的结构，而归纳推理是不能完全形式化的，因此在评价一个论证的好或坏时，它们有完全不同的方法。逻辑学主要介绍有关演绎推理有效性的评价。

1214命题形式与推理形式命题形式：逻辑常项(如果,则;并且;并非;所有;有些等)+

逻辑变项（p,q,r,s等)如：“如果p则q”；“p并且q”；“非p”等。推理形式：前提的命题形式+结论的命题形式。如：如果所有的鸟都会飞(p)并且鸵鸟是鸟(q)，则鸵鸟会飞(r)，但是，鸵鸟不会飞(非r)并且鸵鸟确实是鸟。所以，并非所有的鸟都会飞(非p)。

其推理形式为：

(因为)如果p且q，则r,非r且q，所以非p。

这个推理形式是有效的吗？逻辑学会告诉我们。1415

例1.法制的健全(p)或者执政者强有力的社会控制能力(q)，是维持一个国家社会稳定(r)的必不可少的条件。Y国社会稳定但法制尚不健全。因此，Y国的执政者具有强有力的社会控制能力(q)。

其推理形式为：

只有p或者q，才r

r并且非p

所以，q16

例2.一个影视作品，要想有高的收视率或票房价值(r)，作品本身的质量(p)和必要的包装(q)缺一不可。电影《青楼月》上映以来票房价值不佳但实际上质量堪称上乘。因此，看来它缺少必要的广告宣传和媒体炒作。

该推理的形式为：

只有p且q，才r；

非r并且p；

所以，非q。17例3.如果既经营无方(p)又铺张浪费(q)，则一个企业将严重亏损(r)。z公司虽经营无方但并没有严重亏损，这说明它至少没有铺张浪费。

该推理的形式是：

如果p且q，则r；

p且非r；

所以，非q。18例4.一个论证不能成立，当且仅当，或者它的论据虚假(q)，或者它的推理错误(r)。J女士在科学年会上关于她的发现之科学价值的论证尽管逻辑严密，推理无误，但还是被认定不能成立。因此，她的论证中至少有部分论据虚假。

该推理的形式是：

非p，当且仅当，q或者r；

非r并且非p；

所以，q。20推理形式有效性的定义

有效的推理形式（推理有效式）：当且当具有此推理形式的任一推理都不出现前提真而结论假。（即如果该推理的前提是真的，则其结论不可能是假的。）

无效的推理形式（推理无效式）：当且仅当具有此推理形式的任一推理，其前提真时，其结论不必然真。（即相同形式下的推理实例，如果前提都是真的，其结论有时真，有时假。）2021命题的真假与推理有效性的关系

推理形式前提结论

有效真真假真假无效真真假假真假2123完善的推理的两个条件1.前提是真实的。即前提所断定的内容与客观事实相符合。当前提为命题形式时，我们假定该命题形式所代表的命题为真。2.推理形式是有效的。即运用此形式进行推理时，不出现前提真而结论假的情况。只有当满足这两个条件时，我们称一个推理是可靠的。或者说，一个可靠的推理或论证就是一个好的论证。一个不可靠的论证也即一个坏的论证或者前提是不真实的，或者推理形式是无效的。2324逻辑的类型(推理形式的类型)演绎逻辑：前提蕴涵结论。命题逻辑：以原子命题为单位的推理形式。如：如果p则q，p，所以q。词项逻辑：对原子命题作简单分析的推理形式。

如：所有M是P，a是M，所以a是P。谓词逻辑：对原子命题作深入分析的推理形式。

如：xy（x与y有R关系），所以yx（x与y有R关系）。归纳逻辑：结论蕴涵前提。

2426逻辑的基本规律即同一律、不矛盾律、排中律和充足理由律。它们是构成逻辑思维最基本的前提与预设，是理性对话、交谈或论辩能够进行下去的最起码前提。它们分别确保逻辑思维具有确定性、一致性、明确性和论证性。27一、同一律含义：在同一思维过程中，一切思想都必须与自身保持同一。即：在同一思考（表述、交谈、论辩）中，在什么意义上使用某个概念，就自始自终在这个唯一确定的意义上使用这个概念；讨论什么论题，就讨论什么论题，不能偏题、离题、跑题。作用：保证思维的确定性。违反同一律的错误：“混淆或偷换概念”；“混淆或偷换论题”。28例:张先生买了块新表。他把新手表与家中的挂钟对照，发现手表比挂钟一天慢了三分钟；后来他又把家中的挂钟与电台的标准时对照，发现挂钟比电台标准时一天快了三分钟。张先生因此推断：他的表是准确的。

以下哪项是对张先生推断的正确评价？

A.张先生推断正确，因为手表比挂钟慢三分钟，挂钟比标准时快三分钟，这说明手表准时。

B.张先生推断正确，因为他的手表是新的。

C.张先生的推断错误。因为他不应该把手表和挂钟比，应该直接和标准时间比。

D.张先生推断错误。因为挂钟比标准时快三分钟，是标准的三分钟；手表比挂钟慢三分钟，是不标准的三分钟。

E.张先生的推断既无法断定为正确，也无法断定为错误。

答案：D。因为两个“三分钟”不是同一概念，前者是不准确的，后者是准确的。张先生犯了“混淆概念”的错误。30例：《韩非子》中写道：“楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：‘吾盾之坚，物莫之能陷也。’又誉其矛曰：‘吾矛之利，于物无不陷也。’或曰：‘以子之矛，陷子之盾，何如？’其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。”

以下哪些议论与那位楚人一样犯有类似的错误，除了：

A.电站外高挂一块告示牌：“严禁触摸电线！500伏高压一触即死。违者法办！”

B.一位小伙子在给他女朋友的信中写到：“爱你爱得如此之深，以致愿为你赴汤蹈火。星期六若不下雨，我一定来。”

C.狗父论证：“这是一条狗，它是一个父亲。而它是你的，所以它是你的父亲。你打它，你就是打自己的父亲。”

D.他的意见基本正确，一点错误也没有。

E.今年研究生考试，我有信心考上，但却没有把握。

答案：C。31三、排中律含义：在同一思维过程中，两个互相矛盾的思想不能同假，必有一真，因而不能同加否定，必须肯定其中一个。作用：保证思维的明确性。违反排中律的错误：“两不可”。矛盾律和排中律一起构成“二值原则”：任一命题或者是真的或者是假的，不能既真又假，并且也不能既不真也不假。二值原则是二值逻辑的根本原则。32例1.一天，小方、小林做完数学题后发现答案不一样。小方说：“如果我的不对，那你的就对了。”小林说：“我看你的不对，我的也不对。”旁边的小刚看了看他们两人的答案后说：“小林的答案错了。”这时数学老师刚好走来，听到了他们的谈话，并查看了他们的运算结果后说：“刚才你们三人所说的话中只有一句是真的。”

请问下述说法中哪一个是正确的？

A.小方说的是真话，小林的答案对了；

B.小刚说的是真话，小林的答案错了；

C.小林说对了，小方和小林的答案都不对；

D.小林说错了，小方的答案是对的；

E.小刚说对了，小林和小方的答案都不对。

答案：A。题干中小方和小林的话是互相矛盾的，因此根据排中律，其中必有一句是真的。这是解题的关键。例2.某校领导在讨论选派出国进修人选时，有两种主要的不同意见:(1)如果选派甲，那么就不选派乙。(2)既选派甲又选派乙。当问到王校长的意见时，他说：“这两种意见都不对，我主张选派乙，不选派甲。”

请问：王校长的意见是否违法逻辑学的基本规律？为什么？

例3.甲说：“我明年一定能考上大学。”乙说：“这话不对。”甲说：“你竟然认为我明年不可能考上大学？”乙说：“你这话也不对。”甲说：“你的话不合逻辑。”乙说：“你的话才不合逻辑呢！”

在甲乙二人中，究竟谁的话不合逻辑？为什么？3334四、充足理由律含义：在同一思维和论证过程中，一个思想被确定为真，要有充足的理由。具体要求有三：1.对所要论证的观点必须给出理由；2.给出的理由必须真实；3.从给出的理由必须能够推出所要论证的论点（从推理角度看，2即前提真实，3即推理形式有效）。作用：确保思维的论证性。违反充足理由律的错误：“没有理由”，如皇帝的圣旨。“理由虚假”（确定某个论据是否真实可靠，属于实践或相关的具体科学的问题）。“推不出”，包括形式的推不出即无效推理和非形式的推不出，如“理由不相干”、“夸大相关程度”等。非形式的推不出，也称非形式谬误。形式谬误清单1.命题逻辑中的形式谬误：(1)否定前件式：(p→q，p)⊢q

；(p→q)⊢(p→q)

(2)肯定后件式：(p→q，q)⊢p；(p→q)⊢(q→p)；(3)肯定否定式:2.词项逻辑中的形式谬误：(1)中项不周延：如，有些政客是骗子，有些骗子是窃贼，所以有些政客是窃贼。SIM,MIP⊢SIP(2)大项或小项不当周延：如，老虎是食肉动物，狮子不是老虎，所以狮子不是食肉动物。MAP,SEM⊢SEP3.谓词逻辑中的形式谬误：(1)量词交换错误：

xyR(x,y)⊢yxR(x,y)(2)换位错误：3536非形式谬误清单1.歧义性谬误：(1)概念混淆(2)构型歧义“父在母先亡”；(3)错置重音(4)合举“球员-球队”(5)分举“森林-树”(6)诱导性定义“堕胎是谋杀未出生的孩子”2.假设性谬误：(1)非白即黑(2)复杂问语(3)以全赅偏(4)以偏赅全(5)混淆因果(6)虚假类比(7)预期理由：以待证命题为据。(8)理由虚假3.关联性谬误：(1)诉诸人身(2)诉诸情感(3)诉诸权威(4)诉诸强力(5)诉诸无知(6)诉诸起源(7)窃取论题“循环论证”(8)稻草人：歪曲对方论点。37例1.一家汽车销售公司宣称其所推出的某款新型汽车是一个巨大的成功，因为每100个购买该款汽车的人里，只有5个人向代理商投诉这款车的性能不够好。“95%的买主都对这款车感到满意，”推销员说，“证明这是款很好的车。”分析：5%人投诉（证据）⇏95%满意（结论），因为没有投诉不等于满意，当然也不能证明这是款好车。2.据说，差不多有1∕4的精神治疗师对他们的未成年人患者有虐待行为。一名临床心理学家就此问题对国内一些著名的心理学工作者进行了调查。在参加这次调查的90名对象中，有24%的人表示他们知道一些关于临床医学工作者虐待患者的事。分析：1∕4治疗师知道有对患者的虐待行为（证据）⇏

1∕4治疗师对患者有虐待行为（结论）。3738第1章命题逻辑

第一节复合命题第二节真值形式第三节真值函项重言式第四节复合命题的推理形式

第五节复合命题推理形式有效性的判定第六节复合命题推理的形式证明

3839第一节复合命题命题是指或者真或者假的句子。命题的真或假称做命题的真值。一个命题真，我们称这命题有真的真值。一个命题假，我们称这命题有假的真值（命题是外延且二值的）。命题可以分为两类：简单命题和复合命题。简单命题又叫原子命题，它是不再包含其他命题作为其组成部分的命题。

如：“长沙是历史名城”。复合命题是有其他命题作为其组成部分的命题。

如：“长沙不仅是历史名城而且是现代都市”。复合命题的组成部分亦称复合命题的支命题。本节讨论复合命题的主要类型（形式）及其真值。3940复合命题的类型真值函项的复合命题：复合命题的真值完全由其支命题的真值来确定。有以下种类：1.联言命题2.选言命题3.假言命题4.负命题非真值函项的复合命题：复合命题的真值并不由其支命题的真值来确定。如：阿奎那相信上帝存在。41（一）联言命题联言命题是反映几种事物情况都存在的复合命题。

如：孔子是教育家，并且是思想家。我虽然贫困,但很快乐。

我到了北京，还去了天安门。联结词：“并且”；“不但，而且”；“虽然，但是”；“还”；“也”；“然而”；“此外”等。逻辑性质：当联言支都真时，该联言命题为真；当联言支至少一个为假时，该联言命题为假。4142（二）选言命题选言命题是反映几种事物情况至少有一种或只有一种情况存在的复合命题。有以下两种类型：1.相容的选言命题：断定至少有一种情况存在。如：她或者是诗人，或者是小说家。联结词：或者…或者…;逻辑性质：当选言支都假时，该选言命题为假，否则为真。2.不相容的选言命题：断定只有一种情况存在。如：今天要么是周五，要么是周六。联结词：要么…要么…;逻辑性质：当只有一个选言支真时，该命题为真，否则为假。注：“或”在自然语言中的含义比较模糊，应注意区别。43（三）假言命题也称条件命题，它是反映某一事物情况（前件）的存在是另一事物情况（后件）存在的条件的复合命题。有三种类型：1.充分条件假言命题：断定前件是后件的充分条件。

如：A.如果所有人会死，则张三会死。（推导）B.如果张三是单身汉，则张三是未婚的。（定义）C.如果下雨，则马路湿。（因果）D.如果他能当选，则太阳从西边出。（信念）充分条件(多条件联系之一)：有前件就有后件，没有前件，后件可有可无。联结词：如果(假如、假设、万一)…则；只要…就；逻辑性质：当前件假或后件真时，该命题真，否则该命题假。或者说，当前件真而后件假时，该命题假，否则该命题真。432.必要条件假言命题：断定前件是后件的必要条件。

如：只有年满18岁，才有选举权。

只有水分充足，小麦才长得好。

除非你努力学习，否则你考不好。

必要条件(复条件联系之一)：没有前件，就没有后件。有了

前件，后件可有可无。

联结词：只有…才；如果不…则不；除非…否则不；仅当；

逻辑性质：当前件真或后件假时，该命题真，否则该命题假。

或者说，当前件假而后件真时，该命题假，否则该命题真。

3.充要条件假言命题：断定了前后件之间具有既充分又必要

的条件联系。

充要条件：有前件就有后件，无前件就无后件。反之亦然。

如：三角形是等角的，当且仅当它是等边的。

人犯我，是我犯人的充要条件。

联结词：当且仅当；等值于；是…充要条件；

逻辑性质：当前后件的真值相同时，该命题为真，否则该命题为假。

44（四）负命题负命题，也称否定命题是对某一命题所反映的事物情况进行否定的命题。

如：并非所有的天鹅都是白的。

说打雷就下雨这话是错的。

广州不是山城。注意：“所有非金属都不是导电的”；“有的大学生不是无神论者”这类命题不是上面说的负命题，因为他们不是对命题的否定，仅仅是说某对象不具有某性质。联结词：不；并非；…是假的；逻辑性质：当被否定的命题为假时，负命题为真；否则为假。45

以上我们介绍了四类共七种形式的复合命题，它们分别是联言命题、选言命题(相容的、不相容的)、假言命题(充分条件的、必要条件的、充要条件的)、负命题。由于不相容的选言命题、必要条件的假言命题可以分别用相容选言命题、充分条件假言命题来定义，因此，为了简便，命题逻辑仅保留下列五种形式的复合命题：

1.联言命题

2.相容选言命题

3.充分条件假言命题，也称蕴涵命题

4.充要条件假言命题，也称等值命题

5.负命题

所有复合命题都由这五种基本的复合命题构成，或者说由这五种基本的复合命题可构成任意复杂的多重复合命题。

例如：“或者去上学，或者去打工，但不能既上学又打工。”这是个联言命题，其中一个联言支为相容选言命题，另一个联言支为负命题，它又是对一个联言命题的否定。

4647练习一、指出下列命题是简单命题还是复合命题。若为复合命题，指出其类型。1、曹丕和曹植是亲兄弟。2、国家不论大小，都有可取的经验。3、孩子每天吃巧克力，才长得好。4、有些作品是政治上不好的或者艺术是有欠缺的。5、种瓜得瓜，种豆得豆。6、学好外语，把握未来。5、决不是一个人记忆力强并且延长学习时间，他就可以获得好的学习成绩。二、指出下列命题的真值。

1、上海是中国最大的和最古老的城市。

2、华罗庚或者是大数学家，或者是大艺术家。

3、某数只有能被6整除，才能被3整除。

4、并非如果年满18岁就有选举权。47第二节真值形式

由命题变项和（或）真值联结词组成的命题形式，称真值形式。命题变项是简单命题的命题形式，其符号为：p，q，r，s，t…，它们代表任一简单命题。真值联结词，即命题常项，它是对命题联结词（并非；并且；或者；如果，则；当且仅当）的抽象，即舍弃了其他内容上的联系而仅保留了真值关系的联结词，也称算子，其符号为：，∧，∨，，。分别表示为或读作：否定，合取，析取，蕴涵，等值或者与命题联结词有相同的读法。由命题变项和真值联结词便组成复合命题的命题形式。例如：“长沙是中等城市”的命题形式是：p。“岳麓山和橘子洲都在长沙市”的命题形式是：p∧q(读作p并且q）。4849一、五个基本的真值形式

设A,B,C等表示任意的命题形式，当A为p或q或r等时，A为一简单命题的命题形式。当A,B与真值联结词结合时组成以下复合命题的五个基本的真值形式：

1.否定式：A（负命题形式）

2.合取式：A∧B（联言命题的形式）

3.析取式：A∨B（相容选言命题的形式）

4.蕴涵式：AB（充分条件命题的形式）

5.等值式：AB（充要条件命题的形式）上述真值形式都表达真值函项关系，其真值是其组成部分的函项。也就是说，如果已知其部分的真值，则可以根据逻辑算子的定义计算出整个复合命题的真值。4950二、真值表真值表是用列表的形式来表示真值形式的真值含义。它是这样的序列，它显示复合命题的真值如何由其部分的真值所决定的每一种可能情形。几个基本真值形式的真值表如下：

pqpp∧qp∨qpqpq1101111100010001101100010011

（1表示命题为真，0表示命题为假）5051三、不相容选言命题和必要条件假言命题的形式1.“要么p,要么q”等值于“如果非p,则q；并且如果p,则非q”还等值于

“或者p,或者q,但并非（p并且q）”。2.“只有p,才q”等值于“如果非p,则非q”还等值于

“如果q,则p”。用公式表示如下（可用真值表检验）：1.“要么p,要么q”(((p)q)∧(p(q)))((p∨q)∧((p∧q)))((pq))(p∧q)∨(p∧q).2.“只有p,才q”(((p)(q)))(qp).5152四、公式的简洁表示

由五个基本的真值形式可构成任意复杂的真值形式（或者说任意复杂的真值形式都可以表示为五个基本形式之一），为了较简洁的书写公式，省略不必要的括号，我们约定，联结词的结合力依以下顺序递减：

，∧、∨，，。例：“这个星期日我要么去省图书城，要么去国储电脑城，除非班级组织集体活动”的真值形式：

¬r→(p∨q)∧¬(p∧q)注意：1.（不）相同的简单命题用（不）相同的命题变项符号表示。2.当命题联结词被省略时，需根据命题的逻辑关系补充真值联结词。3.根据命题的逻辑结构写出公式。

52五、命题的翻译或符号化用大写字母写出下列命题的真值形式：1.加利福利亚不允许在餐馆中吸烟。¬C2.碳酸钙和胃药都不能治头痛。¬F∧¬M3.中国队赢得超级杯冠军意味着刘国梁是一个伟大的教练。C→P4.如果加拿大的出口补贴使得墨西哥开设新的制造厂，那么美国将增加关税。(J→M)→UP∧S→J∧D5.松下和三星引进新型的宽屏电视，因此，日立和东芝也不得不引进。6.微软不承认垄断；然而，如果英特尔解雇员工，那么，戴尔或苹果将会有求职者。¬H∧(I→(B⋁C)7.并非麦当劳或汉堡王关门早并且塔克贝尔或肯德基关门晚。8.迈克尔的风流韵事是凯瑟琳跟他离婚的充要条件。I↔P9.除非我们减少虐待儿童的事件，未来的犯罪率将会增加。¬R→F5354练习：一、写出下列复合命题的真值形式：1.并非只要刻苦学习(p)就能取得好成绩(q)。2.如果我们的干部没有坚定的政治立场(p),不具有相当的科学文化知识(q),不注意学习新的生产技能(r),他们就不能领导好现代的工业生产(s)。3.只有在某些方面有特长(p)并且达到一定的考分(q),或者考分达到录取分数线(s),才能被录取上大学(t)。4.敌进(p)我退(q),敌驻(r)我扰(s),敌疲(t)我打(v),敌退(w)我追(y)。5.并非刮风(p)就下雨(q),也并非打雷(r)就下雨。刮风不下雨,打雷不下雨的事情是常有。54二、假设A、B、C为真，X、Y、Z为假。确定下列真值形式的真值。

1.A∧XF

2.¬C⋁ZF

3.¬X→ZF

4.¬(A∧¬Z)F

5.(A∧Y)⋁(¬Z∧C)T

6.(C↔¬A)⋁(Y↔Z)T

7.¬[¬(X→C)↔¬(B→Z)]T

8.¬[(A↔X)⋁(Z↔Y)]⋁[(¬Y→B)∧(Z→C)]T

9.(Z→C)→{[(¬X→B)→(C→Y)]↔[(Z→X)→(¬Y→Z)]}T

5556第三节真值函项重言式

在命题逻辑中，真值联结词也是一种函项关系，如ƒ¬，ƒ＾，ƒˇ,ƒ→，ƒ↔，其中ƒ¬由一个命题变项来定义或说带有一个自变项，称为一元真值函项或一元真值联结词；后四个联结词的自变项数为2，就称为二元真值函项或二元真值联结词。由于其自变项与因变项所取的值是真值，因此叫(n元)真值函项，可记为

ƒ:{1,0}n→{1,0}（n表示自变项数目）

当n=1时，其真值组合为21=2个，它们所对应的真值函项个数为221=4个。当n=2时，其真值组合为22=4个，它们所对应的真值函项个数为222=16个。当n=3时,其真值组合为23=8个，其函项数为223=256个。n元真值函项的函项数是22n。5657一、一元真值函项的真值表一元真值函项：f(1,0)1→(1，0)的数目为221=4即：

pf1pf2pf3pf4p1110001010当自变项p的真值取定后，其函项值为4组，第1组即f1p，具体对应是：当p取1时，函项值取1；当p取0时，函项值也取1，即无论自变项p取1或0，其函项值都取1。该真值函项可用真值形式表现为：p→p；p⋁¬p；¬(p∧¬p)。它们分别可以解释为同一律、排中律和矛盾律在命题逻辑中的表现形式。

f2p的真值与自变项p的取值相同，其真值形式为p。

f3p的真值与自变项p的取值相反，其真值形式为¬p。f4p的真值与f1p的值相反，即无论自变项p取1或0，其函项值都取0。其真值形式为：¬(p→p)；¬(p⋁¬p)；p∧¬p。

57联结词的完备集：某些联结词是完备的，

意思是它们能被用来定义所有的联结词。它包括下列集合1.{¬,∧,∨，→，↔}，2.{¬,∧,∨}，3.{¬,∧}，4.{¬,∨}，5.{¬,→}。已知1为联结词的完备集，试证明集合2,3,4,5为联结词的完备集。

证2：(p→q)=df(¬p∨q)=df(¬(p∧¬q))

(p↔q)=df((¬p∨q)∧(p∨¬q))

=df((p∧q)∨(¬p∧¬q))

证3.(p∨q)=df(¬(¬p∧¬q))

证4.(p∧q)=df(¬(¬p∨¬q))

证5.(p∨q)=df(¬p→q)

(p∧q)=df(¬(p→¬q))

联结词的完备集还可以由一个符号组成，即{｜}，读作析舍，其析舍式为p｜q,表示p和q至少有一假，即(¬p∨¬q)；{↓}，读作合舍，其合舍式为p↓q,表示p和q都假，即(¬p∧¬q)。请给出析(合)舍式的真值表，并用析(或合)舍式表示5个基本的真值形式。

5859二、二元真值函项表pq12345678910111213141516111111111100000000101111000011110000011100110011001100001010101010101010以上所有16个二元真值函项都可表示为不同的真值形式,其中f2为析取式p⋁q，f3表示p是q的必要条件，f4为p,f5为蕴涵式p→q，f6为q,f7为等值式p↔q，f8为合取式pq，f9-f16分别是对f8-f1的否定，其中f9为析舍式p｜q，f15为合舍式p↓q

。f1和f16是表示两个常值或固定值的真值函项。每一个真值函项都可以用若干个不同的但等值的真值形式来表示。例如，f2除了可以用p⋁q表示外，还可以表示为：

¬(¬p¬q),¬p→q等。

5960三、真值函项的类型我们可将所有的真值函项为分三种不同的类型：1.常真的真值函项：不论其中变项取什么值，其函项值总为真。2.常假的真值函项：不论其中变项取什么值，其函项值总为假。3.综合的真值函项：其中变项值取定后，其函项值可真可假。由此决定了下列三种不同的类型的真值形式：

1.重言式（永真式）：表达常真的真值函项的真值形式。

2.矛盾式（永假式）：表达常假的真值函项的真值形式。

3.可真式（偶真式）：表达综合的真值函项的真值形式。6061四、重言式重言式（永真式）：它是逻辑真理在命题逻辑中的表现形式。它或者代表一个永真的逻辑命题，或者代表一个有效的推理形式。它是我们在命题逻辑中要着重研究和掌握的真值形式。矛盾式（永假式）：它表示一逻辑矛盾，即一个永假的命题。其特征是同时肯定一命题及其否定。它与重言式是互相对立的，即否定一个矛盾式，当且仅当得到一个重言式。可真式（偶真式）：既可代表一个真命题，也可代表一个假命题。在一个推理形式中，我们假定它代表真命题。6162五、常用的重言式（1）(p→q)∧p→q分离律(p→q)∧¬q→¬p否后律(p∨q)∧¬p→q否析律p∧q→p合简律p→(q→p∧q)合简律(p→q)∧(q→r)→(p→r)三段论p→p∨q附加律

(p→(q∧¬q)）→¬p归谬律(p→r)∧(q→r)∧(p∨q)→r蕴析律(p→q)∧(p→r)∧(¬q∨¬r)→¬p蕴析律(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)→q∨s蕴析律(p→r)∧(q→s)∧(¬r∨¬s)→(¬p∨¬q)蕴析律6263常用的重言式（2）¬¬p↔p双否律(p→q)↔(¬q→¬p)假言易位律¬(p→q)↔p∧¬q蕴涵否定律¬(p∧q)↔¬p∨¬q德摩根律¬(p∨q)↔¬p∧¬q德摩根律p→q↔¬p∨q蕴涵律(p↔q)↔(¬p∨q)∧(p∨¬q)等值律(p↔q)↔(p∧q)∨(¬p∧¬q)等值律¬(p↔q)↔(p∧¬q)∨(¬p∧q)等值否定律¬(p↔q)↔(p∨q)∧(¬p∨¬q)等值否定律p∧p↔p幂等律p∨p↔p幂等律(p→(q→r))↔(p∧q→r)并前律63重言式代入定理：如果A是一个重言式，其中含有n个不同的命题变项p1,p2,p3,…,pn,B是用任一公式C1，C2，C3，…,Cn(不必各不相同)分别代换A中那n个命题变项的每一次出现所得到的公式，那么B也是重言式。

代入须满足三个条件：1.只有命题变项才能被代入；2.必须处处代入；3.必须同时代入。

例如：给定公式A(重言式)：(p→q)∧p→q

下面公式B是合适的代入：

1.(p→(r∧s))∧p→(r∧s)

2.(p⋁r→q∧s)∧(p⋁r)→(q∧s)

即：在1中q/r∧s；

在2中p/p⋁r；q/q∧s.

经上述代入后所得的公式B也是重言式。64重言式分离定理：如果A和A→B是重言式，则B是重言式。

例：令A为p∧q→p(重言式）;

A→B为(p∧q→p)→(p∧q→p∨q)（重言式）;

则B为p∧q→p∨q（重言式）。

等值置换定理：令CA表示A是C的子公式，CB是用B置换A在C中的一处或多处出现的结果，则：1.如果（A↔B)是重言式，则（CA↔CB）是重言式。2.如果CA和A↔B是重言式，则CB也是重言式。

例1：如果(p∧q↔q∧p)则(p∧q→r)↔(q∧p→r)。

例2：如果(p∧q→p)和(p∧q↔q∧p),则(q∧p→p)。

65六、真值表1.构造复合命题形式（算子）的真值表：首先确定行数。真值表的每一行代表真值的一种可能排列，行的总数等于命题变项的真值可能组合数。用L表示行数，n表示不同的命题变项的个数，则L=2n。其次列出命题变项所有真值可能组合，按照一半真一半假，依次递减方法为每个变项赋值。最后逐步由内向外为公式计算真值，直至主算子下最后一列真值也即该命题公式的真值完成。662.真值形式类型的判定:

主算子下的列命题形式类型

全为真重言式（逻辑真）

全为假矛盾式（逻辑假）

至少有一真，至少有一假可真式（偶真式）

例如：重言式矛盾式可真式

p∨¬pp∧¬pp

1101001

0110010

673.真值形式关系的判定：

主算子下的列关系

每一行的真值相同逻辑等值

每一行的真值相反矛盾

至少有一行的真值同真一致

任何一行的真值都不同真不一致

例如：逻辑等值矛盾一致不一致

p→q¬p∨qp→qp∧¬qp∨qp∧qp↔qp∧¬q

111011111100111111111100

100000100111110100100111

011111011000011001001000

01011001000100000001000168例1体育活动应该禁用一切兴奋剂，因为这些药物使服用者获得了不公平的优势。服用兴奋剂的人，不论是谁，一经发现，应该自动被禁止参加国内和国际比赛。服用兴奋剂的运动员违背了公平竞争的精神。另一方面，如果有人出于医疗的原因需要服用，应该允许其参赛，因为这些人不是有意作弊。

分析：“应该禁用一切兴奋剂”与“出于医疗原因可以服用”是不一致的。文章末尾，“不公平的优势”被医疗需要和主观意图取代了。69

例2乡村正在衰落。城市四周被称为“绿腰带”的草地和树林对于保持乡村美景是很关键的。超过8%的乡村已经被开放了。越来越大的城市更加需要绿腰带来供氧。可惜随着新的住宅在城外大兴土木，乡村正在快速地消失。不久之后，乡村就会荡然无存。到那时，树林和灌木丛的复杂生态系统将很难恢复，即使可能恢复。

分析：“乡村正在消失”与“8%的乡村已被开放”不一致。作者需要给出更多的论据来证明其余的92%也濒临消失。70练习Ⅰ.运用真值表确定下列真值形式是重言式、矛盾式还是可真式：1.N→(N→N)2.[(E→F)→F]→E3.[(Z→X)∧(X⋁Z)]→X4.[G→(N→¬G)]∧[(N↔G)∧(N⋁G)]5.[U∧(T⋁S)]↔[(¬T⋁¬U)∧(¬S⋁¬U)]71Ⅱ.运用真值表确定下列真值形式对是等值的、矛盾的、一致的还是不一致的。首先，确定一对公式是等值的还是矛盾的；其次，如果这两个关系都不适合，确定它们是一致的还是不一致的。(如果两个命题是逻辑等值的，则是一致的；如果两个命题是矛盾的，则是不一致的；反之均不成立。)

1.¬D⋁B¬(D∧¬B)

2.R⋁¬SS∧¬R

3.(E→C)→LE→(C→L)

4.W↔(B∧T)W∧(T→¬B)

5.H∧(K⋁J)(J∧H)⋁(H∧K)

Ⅲ.用真值表验证上述重言表中所有重言式。

7273Ⅳ.真值表解题1.设命题A为：甲、乙二人中至少有一人不是南方人。命题B为：甲是南方人而乙不是南方人。命题C为：要么甲是南方人，要么乙是南方人。请用真值表判断：当A、B、C同时为真时，甲、乙是否为南方人？2.已知A：如果甲不是木工，则乙是泥工。B:只有乙是泥工，甲才是木工。C:是与A相矛盾的联言命题。请用真值表判定：当B、C同时为真时，甲是否为木工？乙是否为泥工。3.列出下列三命题的真值表：A.小金不当选人民代表或者小李当选人民代表。B.小李当选人民代表。C.小金当选人民代表或者小李当选人民代表。据表回答：当A、B、C不同真时，小李和小金是否必然当选人民代表？当A、B、C同真时，小李和小金是否必然当选人民代表？7374第四节复合命题的推理形式

复合命题的推理是根据真值联结词的逻辑性质由前提命题推出结论命题的演绎推理。在传统逻辑中通常只介绍以下几种基本类型：1.联言推理

2.选言推理3.假言推理

4.二难推理在每一类型中，都有若干有效的推理形式。在介绍这些推理形式之前，我们引入一条现代命题逻辑定理：

A⊢B有效，当且仅当AB是重言式。即一个重言蕴涵式就是一个有效的推理形式。其中A⊢B表示一个推理形式，A表示前提的命题形式集合，B表示结论的命题形式，⊢表示由前提到结论的推出关系，读作“推出”或“所以”。一、若干复合命题推理形式以下是将常用重言式(1)即重言蕴涵式中主算子→代以⊢所得到的有效推理形式：(p→q)∧p⊢q假言推理的肯定前件式(p→q)∧¬q⊢¬p假言推理的否定后件式(p∨q)∧¬p⊢q选言推理的否定肯定式p∧q⊢p联言推理的分解式p，q⊢p∧q联言推理的合成式(p→q)∧(q→r)⊢(p→r)假言三段论p⊢p∨q析取引入式(p→(q∧¬q)⊢¬p归谬推理(p→r)∧(q→r)∧(p∨q)⊢r二难推理的简单构成式(p→q)∧(p→r)∧(¬q∨¬r)⊢¬p二难推理的简单破斥式(p→q)∧(r→s)∧(p∨r)⊢q∨s二难推理的复杂构成式(p→r)∧(q→s)∧(¬r∨¬s)⊢(¬p∨¬q)二难推理的复杂破斥式75

以下是将常用重言式(2)即重言等值式中主算子↔代以⊢⊣所得到的有效推理形式(⊢⊣表示互推),它们在传统逻辑中很少介绍，但在现代命题逻辑演算中是常用的：

¬¬p⊢⊣p

(p→q)⊢⊣(¬q→¬p)

¬(p→q)⊢⊣p∧¬q

¬(p∧q)⊢⊣¬p∨¬q

¬(p∨q)⊢⊣¬p∧¬q

p→q⊢⊣¬p∨q

(p↔q)⊢⊣(¬p∨q)∧(p∨¬q)

(p↔q)⊢⊣(p∧q)∨(¬p∧¬q)

¬(p↔q)⊢⊣(p∧¬q)∨(¬p∧q)

¬(p↔q)⊢⊣(p∨q)∧(¬p∨¬q)

p∧p⊢⊣p

p∨p⊢⊣p

(p→(q→r))⊢⊣(p∧q→r)

7677二、命题推理实例例1．“只有认识错误，才能改正错误。”能推出以下哪项命题，除了：A、除非认识错误，否则不能改正错误。B、如果不认识错误，那么就不能改正错误。C、如果改正错误，说明已经认识了错误。D、认识错误，是改正错误的必不可少的条件。E、只要认识错误，就一定能改正错误。7778例2．由于信息高速公路的信息垃圾问题越来越严重，科学家们不断发出警告：如果我们不从现在就开始重视预防和消除信息高速公路上的信息垃圾，那么总有一天信息高速公路将无法正常通行。以下哪项的意思最接近这些科学家的警告？A、总有那么一天，信息高速公路不再能正常通行。B、只要从现在起就开始重视信息高速公路上信息垃圾的预防和消除，信息高速公路就可以一直正常通行下去。C、只有从现在起就开始重视信息高速公路上信息垃圾的预防和消除，信息高速公路才可能预防无法正常通行的后果。D、信息高速公路若有一天不再能正常通行，那是因为我们没有从现在起重视信息高速公路上信息垃圾的预防和消除。E、信息高速公路上信息垃圾的严重性，已经引起了我们的高度重视。7879例3、在评价一个企业管理者的素质时，有人说：“只要企业能获得利润，其管理者的素质就是好的。”

以下各项都是对上述看法的质疑，除了：

A、有时管理层会用牺牲企业长远利益的办法获得近期利润。B、有的管理者采取不正当竞争的办法，损害其他企业，获得本企业的利润。C、某地的卷烟厂连年利润可观，但领导层中挖出了一个贪污集团。D、某电视机厂的领导任人唯亲，工厂越办越糟，群众意见很大。E、某计算机销售公司近几年获利在同行中名列前茅，但有逃避关税的问题。7980

练习

一、单项选择题1.“并非本案作案人是张某与刘某中的一个”这个命题等值于（）。（1）本案作案人或者是张某，或者是刘某。（2）本案作案人既不是张某，也不是刘某。（3）本案作案人是张某，而不是刘某。（4）本案作案人或者不是张某，或者不是刘某。（5）本案作案人既不是张某也不是刘某，或者两人都是。8081

2.与“这个被告要么有罪，要么无罪”相矛盾的命题是（）。（1）这个被告或者有罪，或者无罪。（2）这个被告有罪，不是无罪。（3）或者这个被告有罪且无罪，或者这个被告既无罪又有罪。（4）这个被告无罪，不是有罪。81823.某人涉嫌某案件受到指控。法庭辩论中，检察官与辩护律师有如下辩论：

指控：如果被告人作案，则他必有同伙。

辩护：这不可能。

辩护律师的本意是想说明他的当事人不是作案人，但当事人自己则认为辩护律师的辩护是愚蠢的。这是因为（）。(1)辩护律师没有正面反击检察官的指控。(2)辩护律师承认他的当事人既是作案人,又有同伙。(3)辩护律师不承认他的当事人作案,却承认他有同伙.(4)辩护律师承认他的当事人作案,但不承认有同伙。82834.如果“鱼和熊掌不可兼得”是事实，则以下哪一项也一定是事实（）。（1）如果鱼不可得，则熊掌可得。（2）如果熊掌不可得，则鱼可得。（3）如果鱼可得，则熊掌不可得。（4）鱼和熊掌皆不可得。83845.与“如果没有信心或者怕艰苦，就不能攻克科学尖端”等值的命题是（）。(1)不怕艰苦，也有信心，就能攻克科学尖端。(2)或者怕艰苦且没有信心,或者不能攻克科学尖端。(3)如果要攻克科学尖端，就要有信心并且不怕艰苦。(4)或者不怕艰苦,或者有信心,或者能攻克科学尖端。8485

6.若“并非无风就不起浪”为真，则下列命题中为真的是（）。（1）凡起浪皆因有风。（2）有时起浪并非有风。（3）并非有时起浪不因有风。（4）并非有风必有浪。8586二、双项选择题

1、若“张某已满18岁”这个命题为真，则下述命题不可能为假的是（）。（1）张某已满18岁，并且他是现役军人。（2）或者张某已满18岁，或者他不是现役军人。（3）如果张某已满18岁，则张某就是现役军人。（4）只有张某已满18岁，张某才是现役军人。（5）如果张某已满18岁，则张某不是现役军人。86872.若“如果郑某有作案时间，那么他就是作案人”这个命题为假，则下列命题中必然为真的有（）。（1）只有郑某有作案时间，他才是作案人。（2）只有郑某没有作案时间，他才不是作案人。（3）尽管郑某没有作案时间，但他是作案人。（4）或者郑某没有作案时间，或者他是作案人。（5）虽然郑某有作案时间，但他不是作案人。87883.设“黄某会使用注射器”这一命题为假，“黄某是本案的同案犯”这一命题为真，则下述命题为真的有（）。（1）黄某不仅会使用注射器，而且他是本案的同案犯。（2）如果黄某会使用注射器，那么他就是本案的同案犯。（3）如果黄某不会使用注射器，他就不是本案的同案犯。（4）黄某或者不会使用注射器，或者不是同案犯。（5）并非：黄某不会使用注射器却是同案犯。88894.“他不能跳过这道沟，除非他是运动员。”以下哪些项，准确表达了上述断定的含义（）。（1）或者他不是运动员，或者他能跳过这道沟。（2）只要他是运动员，他就能跳过这道沟。（3）如果他不是运动员，那他就不能跳过这道沟。（4）如果他能跳过这道沟，那么他就是运动员。（5）只有他能跳过这道沟，他才是运动员。89905.以下诸项中，没有准确表达“只有坚持反腐败，才能端正党风”原意的有（）。（1）除非坚持反腐败，否则不能端正党风。（2）如果不坚持反腐败，那么就不能端正党风。（3）只要坚持反腐败，就一定能端正党风。（4）如果端正了党风，则一定坚持了反腐败。（5）或者没有坚持反腐败，或者端正了党风。9091

三、下列推理属于何种推理？请列出它们的推理形式，并说明是否有效？

1、坏事可以变成好事，好事也可以变成坏事。因此，好事和坏事可以向自己的反面转化。2、只有认识落后，才能改变落后。所以，如果没有改变落后，就是还没有认识落后。3、只有当时在现场的人，才是纵火犯。有人证明他当时在现场，因此，他是纵火犯。4、如果你喜欢逻辑而不喜欢数学，那么你并不是真喜欢逻辑。你真喜欢逻辑。因此，你一定喜欢数学。9192

四、以下列命题为前提进行推理，能否推出结论？如果能，结论是什么？请指出其有效的推理形式。

1、这份统计表或许材料失实，或许抄写有误。复查发现这份统计抄写有错。2、如果头脑清楚，他就会认识自己的错误；如果态度诚恳，他就会承认自己的错误；他或者没有认识自己的错误，或者没有承认自己的错误。3、如果一个人没有一定的生活基础，或者缺乏文字表达能力，他要写出好作品是不可能的。4、如果小孩每天看电视超过5小时，那么或者他会提高想象力或者他变得习惯于期待持续的刺激。小孩的想象力没有通过看电视得到提高。并且，小孩没有每天看电视超过5小时。92

五、写出与下列负命题等值的命题，并写出等值式：1.并非效率与公平同等重要。2.并非或者可以抽烟或者可以饮酒。3.并非天天锻炼身体就好。4.并非只有贪污受贿才是犯罪”。5.并非国强当且仅当民富。9394第五节复合命题推理有效性的判定判定一个复合命题的推理是否有效，实际上是判定该推理形式是否有效。其判定的方法有：真值表法、归谬赋值法和形式证明的方法等。其中真值表法和归谬赋值法(也称简化真值表方法)是一种能行的可判定方法，即按照给定的规则在有穷步骤内机械地操作)。它既能判定一个复合命题的推理形式是有效的，也能判定其是非有效的。形式证明的方法也称命题演算方法，它不是能行可判定的，而且它只能证明一个推理的有效，而不能证明其无效。

本节只介绍真值表法和归谬赋值法，形式证明方法留在下一节介绍。9495一、真值表法

将一复合命题的推理形式转换为一蕴涵式，用真值表判定该蕴涵式是否为重言式。步骤如下：1.列出被判定公式。2.在被判定公式的命题变项下列出所有真值组合（n个变项的真假组合数为2n）；3.根据真值联结词的性质和结合力度，逐步由内向外给公式赋值，直至到最后一列即主联结词被完全赋值为止。4.检查被判定公式最后一列的赋值情况，若公式为重言式则该推理形式有效。否则推理无效。

95例1.判定(p→q)∧¬q⊢¬p是否有效?

构造(p→q)∧¬q→¬p的真值表如下：

(p→q)∧¬q→¬p

1110010

1000110

0110011

0101111答：该公式为重言式，故推理有效。

例2.判定(p∨q)∧p⊢¬q是否有效？

构造(p∨q)∧p→¬q的真值表如下：

(p∨q)∧p→¬q

1111100

1101111

0110010

0000011答：该公式不是重言式，故推理无效。

9697例3：用真值表判定下述推理的有效性。“或者逻辑难学(p),或者没有多少学生喜欢它(q)。如果数学容易学(r),那么逻辑不难学。因此,如果许多学生喜欢逻辑,那么数学不太容易学”。解:根据给定的符号,得出其推理形式：

((p∨¬q)∧(r→¬p))⊢(q→¬r)

并构造真值表如下：pqr¬p¬q¬r((p∨¬q)∧(r→¬p))→(q→¬r)1110001001011000110011101010111111000111111101110000110010101001100011101111100011111111答：该公式为重言式，故推理有效。9798二、归谬赋值法

此方法的基本思想是反证法，即为了证明一个蕴涵式是重言式,必须证明它不可能前件真而后件假。具体步骤是：先假设该蕴涵式假,然后按照前件真后件假的要求,给部分公式赋值,直到命题变项,当必然出现矛盾时,则说明原假定不成立,从而证明该蕴涵式为重言式。若未出现矛盾,说明原假定成立,从而证明该蕴涵是非重言式。例：判定推理“如果地球绕太阳公转(p),但并不围绕自己的轴线自转(q),则地球上就没有白天和黑夜(r)。事实上地球有白天和黑夜。所以,或者地球并不公转,或者地球既公转又自转。”