洛仑兹变换课件

§6狭义相对论的四维协变形式前已看出，相对论的时间和空间是相互联系不可分割的。三维空间和一维的时间构成了统一的四维时空空间。本节我们进一步把四维时空理论用简洁的四维形式表示出来，进而将物理量表示成明显的四维协变形式，从而清楚的显示出一些物理量之间的内在联系。1.三维空间的正交变换在讨论四维时空变换之前，先复习二维(三维)的空间旋转变换的性质。1§6狭义相对论的四维协变形式前已看出，相对论的时间和空间对于二维坐标旋转变换，如图坐标系S旋转θ变为S坐标系。设平面上任一点P在S系和S上的坐标分别为它们之间的变换关系为用矩阵形式表示它是一个正交矩阵，正交条件a2对于二维坐标旋转变换，如图坐标系S旋转θ变为S坐标系。设平对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。新旧坐标之间的变换一般可写成若用上方程就可表示成如下的简洁形式3对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。新旧坐标之间的变换一般矩阵形式旋转变换距离保持不变，即具有正交性据此可得上述变换的反变换4矩阵形式旋转变换距离保持不变，即具有正交性据此可得上述变换的证明：对两边同乘以得此即反变换。其矩阵形式为5证明：对2物理量按空间变换性质分类第二章我们已经介绍了物理量按张量分类，可归纳为1）标量：坐标旋转变换下不变的量，如q'=q2）矢量：其分量在坐标旋转变换下按如下坐标的变换关系变换例如：速度，力，电场强度，3）二阶张量：其分量在坐标旋转变换下按如下形式变化62物理量按空间变换性质分类第二章我们已经介绍了物理量按张量两个矢量的并积就是一二阶张量。可定义高阶张量。注意：重复指标代表求和，这种运算称为指标收缩。一般有几个自由指标，就是几阶张量。如AiBi是标量，uiTij有一个自由指标，是一阶张量（即矢量），uiTjk有三个自由指标，代表三阶张量。7两个矢量的并积就是一二阶张量。注意：重复指标代表求和，这种运3洛仑兹变换的四维形式形式上引入第四维虚数坐标返回则洛仑兹变换的形式变为83洛仑兹变换的四维形式形式上引入第四维虚数坐标返回则洛仑相应的间隔不变可表示为它就等价于洛仑兹变换的正交性条件由此还可得洛仑兹反变换可见，洛仑兹变换可形式上看成是四维时空的转动变换，此变换具有正交性。9相应的间隔不变可表示为它就等价于洛仑兹变换的正交性条件由此还注意：三维和四维指标符号表示不同，三维情况下，各量分量的下标用i，j，k等拉丁字母表示，它可以从1到3取值，相应的相同指标代表从1到3求和。为了与三维区分，在四维时空空间，各量分量的下标均用希腊字母等来表示，它可从1到4取值，其相同指标代表从1到4求和。10注意：三维和四维指标符号表示不同，三维情况下，各量分量的下标4四维协变量在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空间内，惯性参考系的变换相当于四维时空空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动及属性的物理量必然会反映时空变换的特点。在此将三维形式推广，我们就可以将物理量在四维空间“转动”（洛仑兹变换）下的性质进行分类。1）洛仑兹不变量（标量）：在洛仑兹变换下不变的量，如：间隔、固有时等114四维协变量在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空间内2）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换形式相同，即3）二阶张量：它有16个分量，且每个分量在洛仑兹变换下满足如下变换形式高阶张量可同样定义。下面我们分别对四维速度矢量和四维波矢量进行讨论122）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在洛仑兹变换下与四维时1）四维速度矢量通常意义下的速度ui=dxi/dt，它不代表四维速度矢量的分量，因为dxi按矢量变化，同时dt也在洛仑兹变换下变化。实际上，这一点我们也可直接从洛仑兹速度变换公式看出，显然它不是洛仑兹变换。它在洛仑兹变换下不是按四维时空坐标的形式变化所以它不代表四维速度矢量的分量。131）四维速度矢量通常意义下的速度ui=dxi/dt，它不代表定义为四维速度矢量。它是一个四维矢量是显然的，因为dτ是一个不变量，而dxμ是一个四维矢量。xμ是一个四维坐标所以14定义为四维速度矢量。注意：四维速度矢量的前三分量并不是普通意义下的速度，其联系为当u<<c时，即四维速度矢量的前三分量在u<<c时就趋于普通意义下的速度。这也就是定义它为四维速度矢量的原因。四维速度矢量既然是四维矢量，那么它在洛仑兹变换下按四维矢量变化，即15注意：四维速度矢量的前三分量并不是普通意义下的速度，其联系为2）四维波矢量设有一角频率为ω，波矢为k的平面电磁波在真空中传播。在另一个参考系观察该平面电磁波的频率和传播方向都将会发生改变（这分别由多普勒效应和光行差效应所证实）。现以ω'和k'表示S'上观察到这同一平面电磁波的频率和波矢。那么它们之间将满足怎样的关系呢？为了回答这个问题，我们先来说明相位是洛仑兹不变量162）四维波矢量设有一角频率为ω，波矢为k的平面电磁波在真空中设参考系S和S'的原点在时刻t=t'=0重合。在该时刻，原点处的电磁波处于波峰（事件1），相位为0.即在S上一周期t0之后原点x=0处于第二个波峰，相位为-2π（这是事件2）,其时空坐标为S(0，t0)。在S'上观察事件2，它的时空坐标为（x'，t'），17设参考系S和S'的原点在时刻t=t'=0重合。在该时刻，原点同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物理事实），所以相位也应是-2π，从而我们可以看出在参考系变换下，相位应该是不变的，即相位是洛仑兹不变量注意：在此不变性是物理事实（也就是从实验的角度考虑的）。关于相位不变性我们还可以通过洛仑兹变换证明它的不变性；可用场的变换来证明以及通过光子的四动量变换关系证明.对此不作证明，下面依据相位不变讨论问题18同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物理事实），所以相位也据相位不变有它可作如下变形进一步可写为我们知道，(x，ict)构成四维坐标矢量，而(k，iω/c)与此四维矢量点乘的结果是四维标量。故(k，iω/c)也构成四维矢量。19据相位不变有它可作如下变形进一步可写为我们知道，(x，ict标记为四维波矢量它的前三个分量就是通常意义下的波矢。这时相位不变可表示为波矢量在洛仑兹变换下按一般的四维矢量形式变化，即对特殊洛仑兹变换它就可写为20标记为四维波矢量它的前三个分量就是通常意义下的波矢。波矢量在可见，尽管从S'系看这波仍然是平面波，但其频率和传播方向都发生变化。21可见，尽管从S'系看这波仍然是平面波，但其频率和传播方向都发由（1）得光行差公式多普勒效应由（2）和（3）得所以有22由（1）得光行差公式多普勒效应由（2）和（3）得所以有22设S'相对于光源静止，则ω'=ω0，从而得相对论多普勒效应运动时钟延缓横向多普勒效应23设S'相对于光源静止，则ω'=ω0，从而得相对论多普勒效说明：1）光行差公式也可通过速度变换公式推得；2）光行差现象最早由Bradley（布拉特莱）于1728年用天文观测所发现。在地球上观测恒星时，任一恒星的视位置（表观位置）在一年内有周期性的变化，或者说观察用的望远镜跟踪恒星时镜筒指向将会出现周期性的近似于圆的椭圆运动（如图）。这可作如下解释24说明：1）光行差公式也可通过速度变换公式推得；2）光行差现象如图a设地球相对于太阳系S的运动速度为υ，在S系上看到某一恒星发出的光线的倾角为α=π-θ（恒星很运可认为恒星发的是平行光），在地球上（S'系）用望远镜观察该恒星时，倾角为α'=π-θ'，由于υ<<c则图a图b由于地球绕太阳公转，一年内其运动方向变化一个周期，因此同一恒星发出的光线的表观方向亦变化一个周期（如图b）。这已由天文学实验证实.25如图a设地球相对于太阳系S的运动速度为υ，在S系上看到某一恒在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被解释为地球相对于“以太”的运动。但其后的迈克耳孙——莫莱实验却否定了地球相对于“以太”的运动。正是这种矛盾的出现，才导致了“以太”和绝对参考系的被否定。从而建立了狭义相对论。26在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被解释为地球相对于“以5物理规律的协变性在参考系变化时方程形式不变的性质称为协变性。具有协变性的方程中的物理量就称为协变量。只有方程中各项是同类协变量的方程才具有协变性，反过来具有协变性的方程各项必须是同类协变量。如Fμ=Gμ+Tμ的两边都是四维矢量，所以此方程是协变的，它在任何惯性参考系下都可表示成这同一形式。利用反变换形式不变，方程具有协变性。275物理规律的协变性在参考系变化时方程形式不变的性质称为协§7电动力学的相对论不变性据相对性原理，电磁现象的基本规律对任意惯性系都可表示成相同的形式。而麦氏方程组总结了宏观电磁现象的基本规律，由它导出的电磁波在真空中以光速c传播等一系列推论都被实验所证明。因此麦氏方程组就应适用于任何惯性系，它就能表示成相对论的四维协变形式.因为在麦氏方程组中出现有电流密度和电荷密度。它们是激发电磁场的源，现先讨论它们的变换性质。28§7电动力学的相对论不变性据相对性原理，电磁现象的基本1四维电流密度矢量据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始终保持不变，即总电荷Q不随坐标系的变化而改变，它是洛仑兹标量。设电荷系统固结于S'系，它相对于S系以速度u运动，那么291四维电流密度矢量据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始从而我们就可得到可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量.当粒子以速度u运动时，其电流密度为如果引入电流密度的第四个分量则按前面定义的四维速度矢量，（1）和（2）式合起来可表示成四维电流矢量30从而我们就可得到可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量.如在此电流密度J和电荷密度ρ合为四维矢量，这显示了这两个物理量的统一性。在参考系改变时，它们可相互转化。但电荷守恒定律在任何惯性参考系中都是适用的，现可表示成显然它是协变的，是一个洛仑兹标量。从这一事实充分说明，由于相对论时空的统一，使得在相对论中不同的物理量之间显示出了它们的统一性。下面我们还将看出电场和磁场（矢势和标势）等也具有这种统一性。31在此电流密度J和电荷密度ρ合为四维矢量，这显示了这两个物理2四维势矢量在讲电磁波的辐射时将电磁场用势A和来表示，描述电磁场的麦氏方程组化成了势所满足的波动方程。为方便我们先讨论在洛仑兹规范条件下势所满足的达朗伯尔方程所具有的协变形式（性）322四维势矢量在讲电磁波的辐射时将电磁场用势A和来表示，利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为ᑫɎ称为洛仑兹标量算符。进一步将变形得33利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为ᑫɎ称为洛仑兹标所以有此式与的右边构成四维矢量所以它们的左边也应构成四维矢量。而是洛仑兹标量算符，则构成四维矢量。用表示，即四维势矢量这显然是协变的这样势所满足的达朗伯尔方程及洛仑兹规范条件就可分别表为34所以有四维势矢量这显然是协变的这样势所满足的达朗伯尔方在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维势矢量按四维矢量变换即35在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维势矢量按四维矢量变换353电磁场张量电磁场用势表示分别为其分量形式为363电磁场张量电磁场用势表示分别为其分量形式为36如果我们引入一个反对称的四维张量从定义的上述反对称张量可将电场和磁场分别表为由此得37如果我们引入一个反对称的四维张量从定义的上述反对称张量可将电则此反对称张量用矩阵形式可表示为电磁场张量电磁场张量是四维二阶张量，它在洛仑兹变换下按二阶张量的规律变化。即38则此反对称张量用矩阵形式可表示为电磁场张量电磁场张量是四维二4麦克斯韦方程组的四维协变形式电磁场可以表示成电磁场张量，用电磁场张量可将麦克斯韦方程组表示成如下的四维协变形式394麦克斯韦方程组的四维协变形式电磁场可以表示成电磁场张量下面推导上述的麦克斯韦方程组的协变形式40下面推导上述的麦克斯韦方程组的协变形式40用电磁场张量表示为同理可得41用电磁场张量表示为同理可得41将（1）—（4）式合起来即为（A）式42将（1）—（4）式合起来即为（A）式42同理得综合（5）—（8）式便可得式（B）43同理得综合（5）—（8）式便可得式（B）435电磁场变换关系研究的问题是：两个相对运动的惯性系中在确定的时空点PS系系场量场量已知已知445电磁场变换关系研究的问题是：两个相对运动的惯性系中S电磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系可通过电磁场张量的变换关系推出，电磁场张量的变换关系为据此可得同理可得45电磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系可通过电磁场张量的变正变换（υ→-υ）→逆变换46正变换（υ→-υ）→逆变换46变换可表示成如下的矢量形式47变换可表示成如下的矢量形式471）在运动方向上，电场、磁场分量相等2）在垂直运动方向上，电场、磁场之间有关系3）矢势和标势统一为四维势矢量，电场和磁场统一为电磁场张量。这反映了电磁场的统一性和相对性。电场和磁场是同一种物质的两个方面，在给定参考系下，电场和磁场表现出不同的性质；但参考系变化时，它们可以相互转化，这正是它们的统一性。4）如果产生场的电荷在某个惯性系中静止，则在这个系中只有静电场，没有磁场。但在另一与之有相对运动的惯性系就既有电场，也有磁场。讨论481）在运动方向上，电场、磁场分量相等讨论48逆变换特殊情况：在一个参考系中只有静电场则在S系，不仅有电场还有磁场很容易得到49逆变换特殊情况：在一个参考系中只有静电场则在S系，不仅有电场6电磁场的不变量从前面的讨论我们似乎可以看出，通过洛仑兹变换总可以使E和B有任意取值。其实这种电场和磁场的相对性之中还包含着绝对性的一面，这就是电磁场的不变量。因为电磁场用电磁场张量Fμν来表示，故我们要找电磁场的不变量只需求出电磁场张量可能的各种标积，显然我们只能构成两个独立不变量506电磁场的不变量从前面的讨论我们似乎可以看出，通过洛仑兹可证讨论故电磁场构成两个不变量1）若电场和磁场在一惯性系中是相互垂直的，则那么在任意惯性系中都将是垂直的。

51可证讨论故电磁场构成两个不变量1）若电场和磁场在一惯性系中是2）如的绝对值在一惯性系中相等，即，则在任意惯性系中它们还相等(如平面波)4）若在一个惯性系中E和B的夹角是钝角(锐522）如的绝对值在一惯性系中相等

角)，则在任意惯性系中的夹角也是钝角(锐角)。5）若在一惯性系中，E·B=0，则总能找到一个惯性系，使其中只有电场或只有磁场。具体是只有电场还是只有磁场，就要看至此，电磁现象的参考系问题就完全获得解决。53角)，则在任意惯性系中的夹角也是例匀速运动的点电荷的电磁场量已知：实验室参考系中点电荷求：解：取电荷在其静止的参考系为S'系实验室参考系为系运动速度系中分量式54例匀速运动的点电荷的电磁场量已知：实验室参考系中点电荷求：由场量变换得55由场量变换得55利用洛仑兹坐标变换得用S系的量表示的结果，要注意的是所有距离都是对S系同时测量的。56利用洛仑兹坐标变换得用S系的量表示的结果，要注意的是所有距离结果57结果571)电力线2)高斯定理在两个惯性系中同时画的闭合面与运动无关高斯定理也适用于运动电荷的电场场强不同但电力线的总条数不变讨论581)电力线2)高斯定理在两个惯性系中同时画的闭合面与运动无关3)低速时静电场593)低速时静电场59§8狭义相对论动力学基础高速运动时动力学概念如何？基本出发点：1）基本规律在洛仑兹变换下形式不变，牛顿力学理论需要修改；2）低速时回到牛力学本节我们通过力学中的几个基本问题的分析，得到相对论的协变力学方程。60§8狭义相对论动力学基础高速运动时动力学概念如何？601能量—动量四维矢量描述经典力学的基本规律是牛顿定律物体的动量作用于物体上的力这一规律在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而新时空观要求力学规律应在洛仑兹变换下是协变的。那么这首先要求把力学方程修改为四维形式。这样问题就归结为怎样引入四维动量和四维力的问题。611能量—动量四维矢量描述经典力学的基本规律是牛顿定律物体在经典力学情况下，是经典动量，它在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而在相对论中，不再是协变量，即不是四维协变量的前三分量，它与四维速度矢量相联系，且在低速情况下，四维速度的前三分量就近似为普通意义下的速度。现我们就利用四维速度矢量定义一个四维动量。物体的静止质量（洛仑兹不变量）定义按空间分量和时间分量可分为62在经典力学情况下，是经典动量，它在旧时空的伽利略变当υ<<c时，P就趋于经典动量，因此我们就可以认为P就是相对论中物体的动量。下面我们再来分析P4的物理意义，首先将其在υ<<c时的低速情况下进行展开括号内的第二项就代表物体的动能，可见P4与物体的能量有关。63当υ<<c时，P就趋于经典动量，因此我们就可以认为P就是相进一步可证明物体的总能量为总能动能物体的静止能量（内部能量）所以四维动量可表为即构成能量动量四维矢量当υ=0时，物体的动能为零总能量为即64进一步可证明物体的总能量为总能动能物体的静止能量（内部能量）1）在此，静止能量是一个常数m0c2，在经典情形，我们知道对能量附加一个常数是无意义的。然而在相对论情形，物体的静止能量（m0c2）的出现是狭义相对论协变性直接要求的，不可删掉。2）从物理的角度看，自然界最基本的定律之一是能量转化和守恒定律。对于在此出现的能量附加项只当它可以转化为其它形式的能量时才有物理意义。那么它就能够在一定的条件下转变成其它形式的能量。这一点已被实验所证明(原子能的利用等)讨论651）在此，静止能量是一个常数m0c2，在经典情形，我们知道对2动量质量和能量的关系由四维动量可构成不变量相对论动量质量和能量的关系在物体静止时，即662动量质量和能量的关系由四维动量可构成不变量相对论动3质能关系1）质能关系前述m0c2是相对论协变性所要求的，它代表的是物体静止时所具有的内部能量。这说明，静止物体的内部还存在着运动，一定质量的粒子就对应着一定的内部能量。反之，带有一定内部运动能量的粒子就表现有一定的惯性质量。它的被揭示是相对论的重要推论之一。质能关系673质能关系1）质能关系它的被揭示是相对论的重要推论之一。2）结合能与质量亏损由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于复合物体，上述质能关系仍然成立，即复合物体静止(质心静止)时的总内部能量复合物体的静止质量当一组物体构成复合物体时，由于各粒子之间有相互作用能以及相对运动的动能，因而当物体整体静止时，它的总能量一般就不等于构成组合粒子的静止能量之和，即682）结合能与质量亏损由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于两者之差就称为物体的结合能，即第i个粒子的质量与此对应物体的质量M0=W0/c2亦不等于组成它的各粒子静止质量之和，两者之差称为质量亏损说明：1）质能关系已被大量实验相当好的证明，这反过来更加说明了狭义相对论的正确性69两者之差就称为物体的结合能，即第i个粒子的质量与此对应物体的质能关系是原子能利用的主要依据。我们可以说法使物体的质量亏损（如聚变和裂变过程），从而可使物体的惯性质量向小的方向转化，以释放出能量。2）质能关系反映了作为惯性量度的质量和作为运动量度的能量之间的关系。在物质反应和转化过程中，物质的存在形式发生变化，运动形式也发生变化，但不是说物质转化为能量。物质在转化过程中并未消灭，而只是从一种形70质能关系是原子能利用的主要依据。我们可以说法使物体的质量亏损

式转化为另一种形式。(如)，在转化过程中，能量保持守恒。在相对论中，能量和动量守恒仍然是自然界最基本的定律。例两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合。求复合粒子的速度和质量。解：设复合粒子质量为M，速度为V，碰撞过程，由动量和能量守恒得71式转化为另一种形式。(如4相对论力学方程为使牛顿力学方程在新时空的洛仑兹变换下是协变的，上述我们已经构成了四维动量—即能量动量四维矢量Pμ。如果用固有时来量度能量动量变化率，则此变化率因此若外界对物体的作用可以用一个四维力矢量Kμ来描述的话，则力学基本方程就可写成如下的协变形式也是一四维矢量。724相对论力学方程为使牛顿力学方程在新时空的洛仑兹变换下是在低速近似下，上方程应过渡到经典的牛顿定律。的空间分量也应过渡到经典力，可以看出上述协变性力学方程是满足这一条的。另外它的第四个分量与空间分量有一定的关系73在低速近似下，上方程应过渡到经典的牛顿定律。的空间分因此作用于速度为的物体上的四维力矢量为相对论力学方程就包括下面两个方程上述的动量和能量的时间变化率都是用固有时量度的。为方便，我们可以将上方程改用参考系时间变化率表出。由于dt=γdτ，那么只要形式上令就得74因此作用于速度为的物体上的四维力矢量为相对论力学方程这形式上和非相对论力学方程完全相同。注意：1）式中和W是相对论的动量和能量，即2）F不是四维力矢量的分量，它的变换关系应由四维力K

μ导出，只有在低速近似下F才代表经典力。75这形式上和非相对论力学方程完全相同。2）F不是四维力矢量的分5洛仑兹力相对论力学的一个重要应用就是研究带电粒子在电磁场中的运动。为此我们有必要对洛仑兹力加以讨论。带电粒子在电磁场中所受作用力然而电磁场中粒子的受力形式在相对论中是否保持不变呢？这正是下面要说明的问题，即要证明在相对论中是协变的。上面我们得到的相对论协变力学方程其中K是四维力的空间分量。765洛仑兹力相对论力学的一个重要应用就是研究带电粒子在电磁那么我们只要能将式（A）的右边写成而K是四维力的空间分量，是协变量。这样就能说明（A）式在相对论下是协变的。首先，要构成四维力矢量Kμ，必须为此我们用电磁场张量Fμν与速度矢量Uν构成一个四维矢量77那么我们只要能将式（A）的右边写成而K是四维力的空间分量，是那么同理得合起来就是即78那么同理得合起来就是即78因此洛仑兹力公式（A）满足相对论协变性的要求。粒子在场中的运动方程为：它适用于一切惯性系，因而能够描述高速粒子的运动。有关相对论力学的正确性已为实验所证实。至此我们已经阐明了电动力学的基本规律（麦克斯韦方程组和洛仑兹力）是适用于一切惯性系的物理规律。79因此洛仑兹力公式（A）满足相对论协变性的要求。粒子在场中的运例：讨论带电粒子在均匀恒定磁场中的运动。解：在均匀恒定磁场B中，带电粒子的运动方程为所以粒子的能量为常量，因而速度υ的数值亦为常量。由(1)式得即80例：讨论带电粒子在均匀恒定磁场中的运动。所以粒子的能量为常量由此得的非相对论运动方程，这方程的解是圆周运动。圆的半径a可由向心力等于作用力求出，即81由此得的非相对论运动方程，这方程的解是圆周运动。圆的半径a可圆周运动的角频率为在非相对论情况下，与粒子运动速度无关。在相对论情形，随粒子的能量增大，因而频率下降。82圆周运动的角频率为在非相对论情况下，与粒子运动速度无关。在相我们现已知道，自然界中存在四种基本相互作用：电磁、引力、强和弱相互作用，电磁和引力相互作用属长程的，强和弱相互作用属短程的（只存在于10-15m范围内）。如前所述，电磁相互作用完全能纳入狭义相对论的范畴，非量子化的相对论性力学方程在一定条件下能够正确描述带电粒子的运动。关于引力相互作用，要使它成为相对论性的理论，必须把狭义相对论进一步推广为广义相对论，这我们将在后面学习。83我们现已知道，自然界中存在四种基本相互作用：电磁、引力、强和强和弱相互作用由于属短程力（只存在10-15m范围内），在该范围内量子效应已很显著，因此对这两种相互作用必须用量子力学理论来研究。大统一理论就是试图将这四种相互作用用规范群统一起来的理论。84强和弱相互作用由于属短程力（只存在10-15m范围内），在该§6狭义相对论的四维协变形式前已看出，相对论的时间和空间是相互联系不可分割的。三维空间和一维的时间构成了统一的四维时空空间。本节我们进一步把四维时空理论用简洁的四维形式表示出来，进而将物理量表示成明显的四维协变形式，从而清楚的显示出一些物理量之间的内在联系。1.三维空间的正交变换在讨论四维时空变换之前，先复习二维(三维)的空间旋转变换的性质。85§6狭义相对论的四维协变形式前已看出，相对论的时间和空间对于二维坐标旋转变换，如图坐标系S旋转θ变为S坐标系。设平面上任一点P在S系和S上的坐标分别为它们之间的变换关系为用矩阵形式表示它是一个正交矩阵，正交条件a86对于二维坐标旋转变换，如图坐标系S旋转θ变为S坐标系。设平对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。新旧坐标之间的变换一般可写成若用上方程就可表示成如下的简洁形式87对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。新旧坐标之间的变换一般矩阵形式旋转变换距离保持不变，即具有正交性据此可得上述变换的反变换88矩阵形式旋转变换距离保持不变，即具有正交性据此可得上述变换的证明：对两边同乘以得此即反变换。其矩阵形式为89证明：对2物理量按空间变换性质分类第二章我们已经介绍了物理量按张量分类，可归纳为1）标量：坐标旋转变换下不变的量，如q'=q2）矢量：其分量在坐标旋转变换下按如下坐标的变换关系变换例如：速度，力，电场强度，3）二阶张量：其分量在坐标旋转变换下按如下形式变化902物理量按空间变换性质分类第二章我们已经介绍了物理量按张量两个矢量的并积就是一二阶张量。可定义高阶张量。注意：重复指标代表求和，这种运算称为指标收缩。一般有几个自由指标，就是几阶张量。如AiBi是标量，uiTij有一个自由指标，是一阶张量（即矢量），uiTjk有三个自由指标，代表三阶张量。91两个矢量的并积就是一二阶张量。注意：重复指标代表求和，这种运3洛仑兹变换的四维形式形式上引入第四维虚数坐标返回则洛仑兹变换的形式变为923洛仑兹变换的四维形式形式上引入第四维虚数坐标返回则洛仑相应的间隔不变可表示为它就等价于洛仑兹变换的正交性条件由此还可得洛仑兹反变换可见，洛仑兹变换可形式上看成是四维时空的转动变换，此变换具有正交性。93相应的间隔不变可表示为它就等价于洛仑兹变换的正交性条件由此还注意：三维和四维指标符号表示不同，三维情况下，各量分量的下标用i，j，k等拉丁字母表示，它可以从1到3取值，相应的相同指标代表从1到3求和。为了与三维区分，在四维时空空间，各量分量的下标均用希腊字母等来表示，它可从1到4取值，其相同指标代表从1到4求和。94注意：三维和四维指标符号表示不同，三维情况下，各量分量的下标4四维协变量在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空间内，惯性参考系的变换相当于四维时空空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动及属性的物理量必然会反映时空变换的特点。在此将三维形式推广，我们就可以将物理量在四维空间“转动”（洛仑兹变换）下的性质进行分类。1）洛仑兹不变量（标量）：在洛仑兹变换下不变的量，如：间隔、固有时等954四维协变量在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空间内2）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换形式相同，即3）二阶张量：它有16个分量，且每个分量在洛仑兹变换下满足如下变换形式高阶张量可同样定义。下面我们分别对四维速度矢量和四维波矢量进行讨论962）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在洛仑兹变换下与四维时1）四维速度矢量通常意义下的速度ui=dxi/dt，它不代表四维速度矢量的分量，因为dxi按矢量变化，同时dt也在洛仑兹变换下变化。实际上，这一点我们也可直接从洛仑兹速度变换公式看出，显然它不是洛仑兹变换。它在洛仑兹变换下不是按四维时空坐标的形式变化所以它不代表四维速度矢量的分量。971）四维速度矢量通常意义下的速度ui=dxi/dt，它不代表定义为四维速度矢量。它是一个四维矢量是显然的，因为dτ是一个不变量，而dxμ是一个四维矢量。xμ是一个四维坐标所以98定义为四维速度矢量。注意：四维速度矢量的前三分量并不是普通意义下的速度，其联系为当u<<c时，即四维速度矢量的前三分量在u<<c时就趋于普通意义下的速度。这也就是定义它为四维速度矢量的原因。四维速度矢量既然是四维矢量，那么它在洛仑兹变换下按四维矢量变化，即99注意：四维速度矢量的前三分量并不是普通意义下的速度，其联系为2）四维波矢量设有一角频率为ω，波矢为k的平面电磁波在真空中传播。在另一个参考系观察该平面电磁波的频率和传播方向都将会发生改变（这分别由多普勒效应和光行差效应所证实）。现以ω'和k'表示S'上观察到这同一平面电磁波的频率和波矢。那么它们之间将满足怎样的关系呢？为了回答这个问题，我们先来说明相位是洛仑兹不变量1002）四维波矢量设有一角频率为ω，波矢为k的平面电磁波在真空中设参考系S和S'的原点在时刻t=t'=0重合。在该时刻，原点处的电磁波处于波峰（事件1），相位为0.即在S上一周期t0之后原点x=0处于第二个波峰，相位为-2π（这是事件2）,其时空坐标为S(0，t0)。在S'上观察事件2，它的时空坐标为（x'，t'），101设参考系S和S'的原点在时刻t=t'=0重合。在该时刻，原点同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物理事实），所以相位也应是-2π，从而我们可以看出在参考系变换下，相位应该是不变的，即相位是洛仑兹不变量注意：在此不变性是物理事实（也就是从实验的角度考虑的）。关于相位不变性我们还可以通过洛仑兹变换证明它的不变性；可用场的变换来证明以及通过光子的四动量变换关系证明.对此不作证明，下面依据相位不变讨论问题102同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物理事实），所以相位也据相位不变有它可作如下变形进一步可写为我们知道，(x，ict)构成四维坐标矢量，而(k，iω/c)与此四维矢量点乘的结果是四维标量。故(k，iω/c)也构成四维矢量。103据相位不变有它可作如下变形进一步可写为我们知道，(x，ict标记为四维波矢量它的前三个分量就是通常意义下的波矢。这时相位不变可表示为波矢量在洛仑兹变换下按一般的四维矢量形式变化，即对特殊洛仑兹变换它就可写为104标记为四维波矢量它的前三个分量就是通常意义下的波矢。波矢量在可见，尽管从S'系看这波仍然是平面波，但其频率和传播方向都发生变化。105可见，尽管从S'系看这波仍然是平面波，但其频率和传播方向都发由（1）得光行差公式多普勒效应由（2）和（3）得所以有106由（1）得光行差公式多普勒效应由（2）和（3）得所以有22设S'相对于光源静止，则ω'=ω0，从而得相对论多普勒效应运动时钟延缓横向多普勒效应107设S'相对于光源静止，则ω'=ω0，从而得相对论多普勒效说明：1）光行差公式也可通过速度变换公式推得；2）光行差现象最早由Bradley（布拉特莱）于1728年用天文观测所发现。在地球上观测恒星时，任一恒星的视位置（表观位置）在一年内有周期性的变化，或者说观察用的望远镜跟踪恒星时镜筒指向将会出现周期性的近似于圆的椭圆运动（如图）。这可作如下解释108说明：1）光行差公式也可通过速度变换公式推得；2）光行差现象如图a设地球相对于太阳系S的运动速度为υ，在S系上看到某一恒星发出的光线的倾角为α=π-θ（恒星很运可认为恒星发的是平行光），在地球上（S'系）用望远镜观察该恒星时，倾角为α'=π-θ'，由于υ<<c则图a图b由于地球绕太阳公转，一年内其运动方向变化一个周期，因此同一恒星发出的光线的表观方向亦变化一个周期（如图b）。这已由天文学实验证实.109如图a设地球相对于太阳系S的运动速度为υ，在S系上看到某一恒在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被解释为地球相对于“以太”的运动。但其后的迈克耳孙——莫莱实验却否定了地球相对于“以太”的运动。正是这种矛盾的出现，才导致了“以太”和绝对参考系的被否定。从而建立了狭义相对论。110在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被解释为地球相对于“以5物理规律的协变性在参考系变化时方程形式不变的性质称为协变性。具有协变性的方程中的物理量就称为协变量。只有方程中各项是同类协变量的方程才具有协变性，反过来具有协变性的方程各项必须是同类协变量。如Fμ=Gμ+Tμ的两边都是四维矢量，所以此方程是协变的，它在任何惯性参考系下都可表示成这同一形式。利用反变换形式不变，方程具有协变性。1115物理规律的协变性在参考系变化时方程形式不变的性质称为协§7电动力学的相对论不变性据相对性原理，电磁现象的基本规律对任意惯性系都可表示成相同的形式。而麦氏方程组总结了宏观电磁现象的基本规律，由它导出的电磁波在真空中以光速c传播等一系列推论都被实验所证明。因此麦氏方程组就应适用于任何惯性系，它就能表示成相对论的四维协变形式.因为在麦氏方程组中出现有电流密度和电荷密度。它们是激发电磁场的源，现先讨论它们的变换性质。112§7电动力学的相对论不变性据相对性原理，电磁现象的基本1四维电流密度矢量据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始终保持不变，即总电荷Q不随坐标系的变化而改变，它是洛仑兹标量。设电荷系统固结于S'系，它相对于S系以速度u运动，那么1131四维电流密度矢量据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始从而我们就可得到可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量.当粒子以速度u运动时，其电流密度为如果引入电流密度的第四个分量则按前面定义的四维速度矢量，（1）和（2）式合起来可表示成四维电流矢量114从而我们就可得到可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量.如在此电流密度J和电荷密度ρ合为四维矢量，这显示了这两个物理量的统一性。在参考系改变时，它们可相互转化。但电荷守恒定律在任何惯性参考系中都是适用的，现可表示成显然它是协变的，是一个洛仑兹标量。从这一事实充分说明，由于相对论时空的统一，使得在相对论中不同的物理量之间显示出了它们的统一性。下面我们还将看出电场和磁场（矢势和标势）等也具有这种统一性。115在此电流密度J和电荷密度ρ合为四维矢量，这显示了这两个物理2四维势矢量在讲电磁波的辐射时将电磁场用势A和来表示，描述电磁场的麦氏方程组化成了势所满足的波动方程。为方便我们先讨论在洛仑兹规范条件下势所满足的达朗伯尔方程所具有的协变形式（性）1162四维势矢量在讲电磁波的辐射时将电磁场用势A和来表示，利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为ᑫɎ称为洛仑兹标量算符。进一步将变形得117利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为ᑫɎ称为洛仑兹标所以有此式与的右边构成四维矢量所以它们的左边也应构成四维矢量。而是洛仑兹标量算符，则构成四维矢量。用表示，即四维势矢量这显然是协变的这样势所满足的达朗伯尔方程及洛仑兹规范条件就可分别表为118所以有四维势矢量这显然是协变的这样势所满足的达朗伯尔方在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维势矢量按四维矢量变换即119在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维势矢量按四维矢量变换353电磁场张量电磁场用势表示分别为其分量形式为1203电磁场张量电磁场用势表示分别为其分量形式为36如果我们引入一个反对称的四维张量从定义的上述反对称张量可将电场和磁场分别表为由此得121如果我们引入一个反对称的四维张量从定义的上述反对称张量可将电则此反对称张量用矩阵形式可表示为电磁场张量电磁场张量是四维二阶张量，它在洛仑兹变换下按二阶张量的规律变化。即122则此反对称张量用矩阵形式可表示为电磁场张量电磁场张量是四维二4麦克斯韦方程组的四维协变形式电磁场可以表示成电磁场张量，用电磁场张量可将麦克斯韦方程组表示成如下的四维协变形式1234麦克斯韦方程组的四维协变形式电磁场可以表示成电磁场张量下面推导上述的麦克斯韦方程组的协变形式124下面推导上述的麦克斯韦方程组的协变形式40用电磁场张量表示为同理可得125用电磁场张量表示为同理可得41将（1）—（4）式合起来即为（A）式126将（1）—（4）式合起来即为（A）式42同理得综合（5）—（8）式便可得式（B）127同理得综合（5）—（8）式便可得式（B）435电磁场变换关系研究的问题是：两个相对运动的惯性系中在确定的时空点PS系系场量场量已知已知1285电磁场变换关系研究的问题是：两个相对运动的惯性系中S电磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系可通过电磁场张量的变换关系推出，电磁场张量的变换关系为据此可得同理可得129电磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系可通过电磁场张量的变正变换（υ→-υ）→逆变换130正变换（υ→-υ）→逆变换46变换可表示成如下的矢量形式131变换可表示成如下的矢量形式471）在运动方向上，电场、磁场分量相等2）在垂直运动方向上，电场、磁场之间有关系3）矢势和标势统一为四维势矢量，电场和磁场统一为电磁场张量。这反映了电磁场的统一性和相对性。电场和磁场是同一种物质的两个方面，在给定参考系下，电场和磁场表现出不同的性质；但参考系变化时，它们可以相互转化，这正是它们的统一性。4）如果产生场的电荷在某个惯性系中静止，则在这个系中只有静电场，没有磁场。但在另一与之有相对运动的惯性系就既有电场，也有磁场。讨论1321）在运动方向上，电场、磁场分量相等讨论48逆变换特殊情况：在一个参考系中只有静电场则在S系，不仅有电场还有磁场很容易得到133逆变换特殊情况：在一个参考系中只有静电场则在S系，不仅有电场6电磁场的不变量从前面的讨论我们似乎可以看出，通过洛仑兹变换总可以使E和B有任意取值。其实这种电场和磁场的相对性之中还包含着绝对性的一面，这就是电磁场的不变量。因为电磁场用电磁场张量Fμν来表示，故我们要找电磁场的不变量只需求出电磁场张量可能的各种标积，显然我们只能构成两个独立不变量1346电磁场的不变量从前面的讨论我们似乎可以看出，通过洛仑兹可证讨论故电磁场构成两个不变量1）若电场和磁场在一惯性系中是相互垂直的，则那么在任意惯性系中都将是垂直的。

135可证讨论故电磁场构成两个不变量1）若电场和磁场在一惯性系中是2）如的绝对值在一惯性系中相等，即，则在任意惯性系中它们还相等(如平面波)4）若在一个惯性系中E和B的夹角是钝角(锐1362）如的绝对值在一惯性系中相等

角)，则在任意惯性系中的夹角也是钝角(锐角)。5）若在一惯性系中，E·B=0，则总能找到一个惯性系，使其中只有电场或只有磁场。具体是只有电场还是只有磁场，就要看至此，电磁现象的参考系问题就完全获得解决。137角)，则在任意惯性系中的夹角也是例匀速运动的点电荷的电磁场量已知：实验室参考系中点电荷求：解：取电荷在其静止的参考系为S'系实验室参考系为系运动速度系中分量式138例匀速运动的点电荷的电磁场量已知：实验室参考系中点电荷求：由场量变换得139由场量变换得55利用洛仑兹坐标变换得用S系的量表示的结果，要注意的是所有距离都是对S系同时测量的。140利用洛仑兹坐标变换得用S系的量表示的结果，要注意的是所有距离结果141结果571)电力线2)高斯定理在两个惯性系中同时画的闭合面与运动无关高斯定理也适用于运动电荷的电场场强不同但电力线的总条数不变讨论1421)电力线2)高斯定理在两个惯性系中同时画的闭合面与运动无关3)低速时静电场1433)低速时静电场59§8狭义相对论动力学基础高速运动时动力学概念如何？基本出发点：1）基本规律在洛仑兹变换下形式不变，牛顿力学理论需要修改；2）低速时回到牛力学本节我们通过力学中的几个基本问题的分析，得到相对论的协变力学方程。144§8狭义相对论动力学基础高速运动时动力学概念如何？601能量—动量四维矢量描述经典力学的基本规律是牛顿定律物体的动量作用于物体上的力这一规律在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而新时空观要求力学规律应在洛仑兹变换下是协变的。那么这首先要求把力学方程修改为四维形式。这样问题就归结为怎样引入四维动量和四维力的问题。1451能量—动量四维矢量描述经典力学的基本规律是牛顿定律物体在经典力学情况下，是经典动量，它在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而在相对论中，不再是协变量，即不是四维协变量的前三分量，它与四维速度矢量相联系，且在低速情况下，四维速度的前三分量就近似为普通意义下的速度。现我们就利用四维速度矢量定义一个四维动量。物体的静止质量（洛仑兹不变量）定义按空间分量和时间分量可分为146在经典力学情况下，是经典动量，它在旧时空的伽利略变当υ<<c时，P就趋于经典动量，因此我们就可以认为P就是相对论中物体的动量。下面我们再来分析P4的物理意义，首先将其在υ<<c时的低速情况下进行展开括号内的第二项就代表物体的动能，可见P4与物体的能量有关。147当υ<<c时，P就趋于经典动量，因此我们就可以认为P就是相进一步可证明物体的总能量为总能动能物体的静止能量（内部能量）所以四维动量可表为即构成能量动量四维矢量当υ=0时，物体的动能为零总能量为即148进一步可证明物体的总能量为总能动能物体的静止能量（内部能量）1）在此，静止能量是一个常数m0c2，在经典情形，我们知道对能量附加一个常数是无意义的。然而在相对论情形，物体的静止能量（m0c2）的出现是狭义相对论协变性直接要求的，不可删掉。2）从物理的角度看，自然界最基本的定律之一是能量转化和守恒定律。对于在此出现的能量附加项只当它可以转化为其它形式的能量时才有物理意义。那么它就能够在一定的条件下转变成其它形式的能量。这一点已被实验所证明(原子能的利用等)讨论1491）在此，静止能量是一个常数m0c2，在经典情形，我们知道对2动量质量和能量的关系由四维动量可构成不变量相对论动量质量和能量的关系在物体静止时，即1502动量质量和能量的关系由四维动量可构成不变量相对论动3质能关系1）质能关系前述m0c2是相对论协变性所要求的，它代表的是物体静止时所具有的内部能量。这说明，静止物体的内部还存在着运动，一定质量的粒子就对应着一定的内部能量。反之，带有一定内部运动能量的粒子就表现有一定的惯性质量。它的被揭示是相对论的重要推论之一。质能关系1513质能关系1）质能关系它的被揭示是相对论的重要推论之一。2）结合能与质量亏损由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于复合物体，上述质能关系仍然成立，即复合物体静止(质心静止)时的总内部能量复合物体的静止质量当一组物体构成复合物体时，由于各粒子之间有相互作用能以及相对运动的动能，因而当物体整体静止时，它的总能量一般就不等于构成组合粒子的静止能量之和，即1522）结合能与质量亏损由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于两者之差就称为物体的结合能，即第i个粒子的质量与此对应物体的质量M0=W0/c2亦不等于组成它的各粒子静止质量之和，两者之差称为质量亏损说明：1）质能关系已被大量实验相当好的证明，这反过来更加说明了狭义相对论的正确性153两者