讲等差、等比数列的性质及综合应用课件

新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第五单元第33讲等差、等比数列的性质及综合应用第33讲等差、等比数列的性质及综合应用掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“成对”和或积相等问题；（２）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有bm·bn=bp·bq.1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是2.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（）CA.2B.4C.8D.16因为a3a11=a72=4a7，因为a7≠0，所以a7=4，所以b7=4.因为{bn}为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.2.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn3.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题②:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;命题③：若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有()AA.0个B.1个C.2个D.3个3.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)由命题①得，a1=a+b,当n≥２时，an=Sn-Sn-1(a-1)·an-1.若{an}是等比,数列则

=a,即=a,所以只有当b=-1且a≠0时，此数列才是等比数列.由命题②得,a1=a+b+c,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差数列，则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列.

由命题③得，a1=a-1,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-1≠0，即a≠１时，数列{an}才又是等比数列.由命题①得，a1=a+b,4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为

；

(2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为

.1860

(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18.(2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60.4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，则一定有a2

b2，a5

b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中项性质和等比数列性质知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2=

=>=|b2|，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=

，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=(方法二)通项与函数关系.因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1·qn-1=·qn为关于n的类指数函数.当d>0，如图1；当d<0时，如图2.易知a2>b2，a5<b5.(方法二)通项与函数关系.1.等差数列的性质(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+=n2+(a1-)n是关于n的二次函数，且常数项为0.(2)若公差①

，则为递增等差数列，若公差②

,则为递减等差数列,若公差③

,则为常数列.d>0d<0d=01.等差数列的性质d>0d<0d=0(3)当m+n=p+q时,则有④

,特别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap.(4)若{an}是等差数列，则{kan}(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差数列，而{aan}(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}是等差数列.(5)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=⑤

;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=⑥

，S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中(3)当m+n=p+q时,则有④(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且=f(n),则===f(2n-1).(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有⑦

之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有⑧

之和.(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.非负项非正项(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn2.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有⑨

,特别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.(2)若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩

数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数数列0,它不是等比数列.am·an=ap·aq等比2.等比数列的性质am·an=ap·aq等比(3)若a1>0,q>1,则{an}为

数列；若a1<0,q>1,则{an}为

数列;若a1>0,0<q<1,则{an}为递减数列；若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列；若q<0,则{an}为摆动数列；若q=1,则{an}为

数列.(4)当q≠１时,Sn=qn+=aqn+b,这里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.11递增12递减13常(3)若a1>0,q>1,则{an}为数列；(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶=

；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.14qS奇(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.14qS奇题型一“成对下标和”性质例1(1)已知数列{θn}为等差数列,且θ1+θ8+θ15=2π，则tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.-C.D.-A题型一“成对下标和”性质例1(2)(2009·广东卷)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2(1)因为θ1+θ8+θ15=2π，且{θn}成等差数列，则θ1+θ15=2θ8，故θ8=.于是tan(θ2+θ14)=tan2θ8=tan=.C(2)(2009·广东卷)已知等比数列{an}满足an>0,(2)因为a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等比数列,则a1·a2n-1=a3·a2n-3=a5·a2n-5=…=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+…+log2a2n-1，则S=log2a2n-1+…+log2a3+log2a1,所以2S=log2[(a1·a2n-1)(a3·a2n-3)…(a2n-3·a3)(a2n-1·a1)]=log2(22n)n,所以2S=2n·n，所以S=n2.(2)因为a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.本题是等差、等比的求值题，难点

(2010·湖北省模拟)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=

,则logb5a5=

.由题知，====logb5a5logb5a5=.(2010·湖北省模拟)设题型二部分“和”“积”与整体性质例2(1)等差数列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比数列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,求a41·a42·a43·a44.题型二部分“和”“积”与整体性质例2(1)等(1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,a99+a100分别记为b1,b2,b3,…,b50,可知{bn}成等差数列.此数列的公差d=

=.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.(1)将相邻两项和a1+a2,a3(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=1.①a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=8.②②÷①得，=q48=8q16=2.又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14q166=a14·q6·q160=(a14q6)·(q16)10=1·210=1024.(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q(方法二)由性质可知，依次４项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,所以T4=T1·q3=1·q3=8q=2,所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要.如（１）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.(方法二)由性质可知，依次４项的积为等比数列，设公比为q,T题型三等差、等比数列性质的综合应用例3已知等比数列{xn}的各项为不等于１的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1)，设y3=18,y6=12.(1)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数，使当n>M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由；(3)令an=logxnxn+1（n>13,n∈N*），试判断数列{an}的增减性？题型三等差、等比数列性质的综合应用例3

(1)由已知得，yn=2logaxn.设等比数列{xn}的公比为q(q≠１)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq,得{yn}为等差数列，设公差为d.因为y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+1≤0yk≥0所以前11项与前12项和为最大,其和为132.设前k项和为最大,则11≤k≤12,y12=0,(1)由已知得，yn=2log(2)xn=a12-n,n∈N*.若xn>1，则a12-n>1.当a>1时，n<12，显然不成立；当0<a<1时，n>12,所以存在M=12,13,14,…,当n>M时，xn>1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=

.因为an+1-an=-=,又n>13,所以an+1<an.所以n>13时，数列{an}为递减数列.本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.(2)xn=a12-n,n∈N*.在数列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)·an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.在数列{an}中，a1=1,a2=(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.又b1=a2-a1=1,q≠0，所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.(1)证明:由题设an+1=(1+q(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥２).将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).1+(q≠1)

n(q=1).上式对n=1显然成立.所以当n≥2时,an=(2)由(1)知，a2-a1=1,所以当n≥2时,an=(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q≠0，得q3-1=1-q6,①整理得(q3)2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1(舍去).于是q=-.另一方面,an-an+3==(q3-1),an+6-an==(1-q6).由①可得an-an+3=an+6-an(n∈N*).所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.3(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,Sn共五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.1.知三求二：在等差（比）数列中，a1,d(q),n,an,2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质非常重要，同时树立“目标意识”，需要什么，就求什么，既要充分合理地利用条件，又要时刻注意问题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.2.巧用性质、减少运算量：在等差、等比数列的计算中，巧用性质学例1(2009·安徽卷)已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()BA.21B.20C.19D.18学例1(2009·安徽由a1+a3+a5=105,得3a3=105,即a3=35.①由a2+a4+a6=99，得3a4=99，即a4=33.②则由①-②得d=-2，所以an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n.an≥0

an+1<0，解得19.5<n≤20.5,又n∈N*,故n=20.令由a1+a3+a5=105,得3a3=(2009·江西卷)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有=.(1)当a=,b=时，求通项an;(2)证明:对任意a,存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n,都有≤an≤λ.学例2(2009·江西卷)各项均为

(1)由=得=.将a1=,a2=代入上式化简得a=.所以=·,故数列{}为以为公比的等比数列，其首项为==，从而=，即an=.可验证，an=满足题设条件.(1)由(2)由题设的值仅与m+n有关，记为bm+n,则bn+1=

=.考察函数f(x)=(x>0),则在定义域上有,a>1,a=1,0<a<1.f(x)≥g(a)=(2)由题设的值仅故对n∈N*，bn+1≥g(a)恒成立.又b2n=≥g(a),注意到0<g(a)≤，解上式得=≤an≤,取λ=，即有≤an≤λ.故对n∈N*，bn+1≥g(a)恒成立.本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习第五单元数列、推理与证明第五单元第33讲等差、等比数列的性质及综合应用第33讲等差、等比数列的性质及综合应用掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“成对”和或积相等问题；（２）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活运用性质解决有关问题.如分组求和技巧、整体运算.掌握等差、等比数列的基本性质：如（１）“1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是()CA.a1+a9=a10,b1·b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5当m+n=p+q时，等差数列中有am+an=ap+aq,等比数列中有bm·bn=bp·bq.1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是2.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（）CA.2B.4C.8D.16因为a3a11=a72=4a7，因为a7≠0，所以a7=4，所以b7=4.因为{bn}为等差数列，所以b5+b9=2b7=8，故选C.2.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn3.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题②:若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列;命题③：若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列，又是等比数列.上述三个命题中，真命题有()AA.0个B.1个C.2个D.3个3.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)由命题①得，a1=a+b,当n≥２时，an=Sn-Sn-1(a-1)·an-1.若{an}是等比,数列则

=a,即=a,所以只有当b=-1且a≠0时，此数列才是等比数列.由命题②得,a1=a+b+c,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差数列，则a2-a1=2a,即2a-c=2a,所以只有当c=0时，数列{an}才是等差数列.

由命题③得，a1=a-1,当n≥２时，an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列，即公差为0的等差数列，因此只有当a-1≠0，即a≠１时，数列{an}才又是等比数列.由命题①得，a1=a+b,4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为

；

(2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为

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(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得S3n=18.(2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60.4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的和为60，则5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=b1>0，a3=b3，b1≠b3，则一定有a2

b2，a5

b5（填“>”“<”“=”).><(方法一)由中项性质和等比数列性质知b1>0，b3>0，又b1≠b3，a2=

=>=|b2|，故a2>b2；同理，a5=2a3-a1，b5=

，所以b5-a5=-(2b3-b1)==>0,即b5>a5.5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且a1=(方法二)通项与函数关系.因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，bn=a1·qn-1=·qn为关于n的类指数函数.当d>0，如图1；当d<0时，如图2.易知a2>b2，a5<b5.(方法二)通项与函数关系.1.等差数列的性质(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+=n2+(a1-)n是关于n的二次函数，且常数项为0.(2)若公差①

，则为递增等差数列，若公差②

,则为递减等差数列,若公差③

,则为常数列.d>0d<0d=01.等差数列的性质d>0d<0d=0(3)当m+n=p+q时,则有④

,特别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap.(4)若{an}是等差数列，则{kan}(k是非零常数)，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成等差数列，而{aan}(a≠0)成等比数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}是等差数列.(5)在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时;S偶-S奇=⑤

;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶=⑥

，S2n-1=(2n-1)·a中(这里a中即an);S奇∶S偶=(k+1)∶k.am+an=ap+aqnda中(3)当m+n=p+q时,则有④(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,且=f(n),则===f(2n-1).(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有⑦

之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有⑧

之和.(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.非负项非正项(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn2.等比数列的性质(1)当m+n=p+q时，则有⑨

,特别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.(2)若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{}成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩

数列.当q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是常数数列0,它不是等比数列.am·an=ap·aq等比2.等比数列的性质am·an=ap·aq等比(3)若a1>0,q>1,则{an}为

数列；若a1<0,q>1,则{an}为

数列;若a1>0,0<q<1,则{an}为递减数列；若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列；若q<0,则{an}为摆动数列；若q=1,则{an}为

数列.(4)当q≠１时,Sn=qn+=aqn+b,这里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.11递增12递减13常(3)若a1>0,q>1,则{an}为数列；(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(6)在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶=

；项数为奇数2n-1时,S奇=a1+qS偶.(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.14qS奇(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm.14qS奇题型一“成对下标和”性质例1(1)已知数列{θn}为等差数列,且θ1+θ8+θ15=2π，则tan(θ2+θ14)的值是（）A.B.-C.D.-A题型一“成对下标和”性质例1(2)(2009·广东卷)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2(1)因为θ1+θ8+θ15=2π，且{θn}成等差数列，则θ1+θ15=2θ8，故θ8=.于是tan(θ2+θ14)=tan2θ8=tan=.C(2)(2009·广东卷)已知等比数列{an}满足an>0,(2)因为a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等比数列,则a1·a2n-1=a3·a2n-3=a5·a2n-5=…=22n=an2.令S=log2a1+log2a3+…+log2a2n-1，则S=log2a2n-1+…+log2a3+log2a1,所以2S=log2[(a1·a2n-1)(a3·a2n-3)…(a2n-3·a3)(a2n-1·a1)]=log2(22n)n,所以2S=2n·n，所以S=n2.(2)因为a5·a2n-5=22n(n≥3),且{an}成等本题是等差、等比的求值题，难点是找条件和目标之间的对应关系.解题时，根据等差、等比数列的“成对下标和”性质，列出方程或多个恒等式是解题的关键.一般的，对于涉及等差、等比数列的通项公式的条件求值题，合理利用通项或相关性质进行化归是基本方法.本题是等差、等比的求值题，难点

(2010·湖北省模拟)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=

,则logb5a5=

.由题知，====logb5a5logb5a5=.(2010·湖北省模拟)设题型二部分“和”“积”与整体性质例2(1)等差数列{an}中,a9+a10=a,a19+a20=b,求a99+a100.(2)在等比数列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,求a41·a42·a43·a44.题型二部分“和”“积”与整体性质例2(1)等(1)将相邻两项和a1+a2,a3+a4,a5+a6,…,a99+a100分别记为b1,b2,b3,…,b50,可知{bn}成等差数列.此数列的公差d=

=.a99+a100=b50=b5+45·d=a+×45=9b-8a.(1)将相邻两项和a1+a2,a3(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=a14·q6=1.①a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a14·q54=8.②②÷①得，=q48=8q16=2.又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=a14q166=a14·q6·q160=(a14q6)·(q16)10=1·210=1024.(2)(方法一)a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q(方法二)由性质可知，依次４项的积为等比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,T4=a13·a14·a15·a16=8,所以T4=T1·q3=1·q3=8q=2,所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.巧用性质，减少运算，在有关等差、等比数列的计算中非常重要.如（１）（2）小题巧用性质，构造一个新的等差或等比数列求解.(方法二)由性质可知，依次４项的积为等比数列，设公比为q,T题型三等差、等比数列性质的综合应用例3已知等比数列{xn}的各项为不等于１的正数，数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1)，设y3=18,y6=12.(1)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?(2)试判断是否存在自然数，使当n>M时，xn>1恒成立？若存在，求出相应的M值；若不存在，请说明理由；(3)令an=logxnxn+1（n>13,n∈N*），试判断数列{an}的增减性？题型三等差、等比数列性质的综合应用例3

(1)由已知得，yn=2logaxn.设等比数列{xn}的公比为q(q≠１)，由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga=2logaq,得{yn}为等差数列，设公差为d.因为y3=18,y6=12,所以d=-2,所以yn=y3+(n-3)d=24-2n.yk+1≤0yk≥0所以前11项与前12项和为最大,其和为132.设前k项和为最大,则11≤k≤12,y12=0,(1)由已知得，yn=2log(2)xn=a12-n,n∈N*.若xn>1，则a12-n>1.当a>1时，n<12，显然不成立；当0<a<1时，n>12,所以存在M=12,13,14,…,当n>M时，xn>1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)=

.因为an+1-an=-=,又n>13,所以an+1<an.所以n>13时，数列{an}为递减数列.本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及解决问题的能力.(2)xn=a12-n,n∈N*.在数列{an}中，a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)·an-qan-1(n≥2,q≠0).(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.在数列{an}中，a1=1,a2=(1)证明:由题设an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2),得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.又b1=a2-a1=1,q≠0，所以{bn}是首项为1,公比为q的等比数列.(1)证明:由题设an+1=(1+q(2)由(1)知，a2-a1=1,a3-a2=q,…an-an-1=qn-2(n≥２).将以上各式相加,得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2).1+(q≠1)

n(q=1).上式对n=1显然成立.所以当n≥2时,an=(2)由(1)知，a2-a1=1,所以当n≥2时,an=(3)由(2)知，当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3-a6=a9-a3，可得q5-q2=q2-q8,由q≠0，得q3-1=1-q6,