离散数学课堂(左孝凌版)课件

第一章命题逻辑1－1命题及其表示法1.什么是命题命题：能判断真假的陈述句。命题的值叫它的真值。真值：“真”：表示判断正确。记作True，用T表示。 “假”：表示判断错误。记作False，用F表示。1第一章命题逻辑1例1判断下列句子中哪些是命题？（1）2是素数。（2）雪是黑色的。（3）2+3=5

（4）明年10月1日是晴天。（5）3能被2整除。（6）这朵花真好看呀！（7）明天下午有会吗？（8）请关上门！（9）X+Y>5

（10）地球外的星球上也有人。（11）我正在说谎。2例1判断下列句子中哪些是命题？22．命题的符号化表示命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。例P:2是偶数。

Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的简单陈述句。不是命题。例：x+y>5

32．命题的符号化表示3命题变项也用P，Q，R,…,

Pi,Qi,Ri,…表示。复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。4命题变项也用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。4例2将下列命题符号化。 （1）3不是偶数。 （2）2是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B。解：（1）设P：3是偶数。ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2是素数；Q：2是偶数。

P∧Q (∧:表示和)

（3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。

P∨Q (∨:表示或)

（4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A等于角B。

P→Q （→个表示如果……则……）5例2将下列命题符号化。5 1－2.联结词定义1－2.1

设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。PᄀPTFFT例p：3是偶数。

ᄀp：3不是偶数。

6 1－2.联结词PᄀPTFFT例定义1－2.2

设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q”（或“P和Q”）称为P与Q的合取式，记作P∧Q，∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”，“不仅……而且……”，“虽然……但是”PQP∧QTTTTFFFTFFFF7定义1－2.2设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q”（或“例3将下列命题符号化。（1）李平既聪明又用功。（2）李平虽然聪明，但不用功。（3）李平不但聪明，而且用功。（3）李平不是不聪明，而是不用功。解：设P：李平聪明；Q：李平用功。（1）P∧Q（2）P∧ᄀQ（3）P∧Q（4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ注意：不是见到“和”、“与”就用∧。例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简单命题。8例3将下列命题符号化。8定义1－2.3

设P、Q为两命题，复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结词。PQP∨QTTTTFTFTTFFF9定义1－2.3设P、Q为两命题，复合命题“P或Q”称为P

析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P和Q同时为真。例：“王燕学过英语或日语”P∨Q

自然语言中的“或”具有二义性，有时表示不相容的或。例：“派小王或小李中的一人去开会”。为排斥性的或。P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q），（P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）10析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P和Q同时为定义1－2.4

设P、Q为两命题，复合命题“如果P，则Q”称作P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联结词。PQP→QTTTTFFFTTFFT11定义1－2.4设P、Q为两命题，复合命题“如果P，则Q”称

在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。表示自然语言“只要P就Q”，“P仅当Q”，“只有Q，才P”注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q往往有某种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q中的P与Q不一定有内在的联系。2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。12在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。表示例4将下列命题符号化。(1)只要不下雨，我就骑自行车上班。(2)只有不下雨，我才骑自行车上班。(3)若2+2＝4，则太阳从东方升起。(3)若2+2≠4，则太阳从东方升起。(4)若2+2＝4，则太阳从西方升起。(5)若2+2≠4，则太阳从西方升起。解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上班。 （1）ᄀP→Q （2）Q→ᄀP在（3）－（6）中，设P：2+2＝4；Q：太阳从东方升起；R:太阳从西方升起。（1）P→Q，真值为T（2）ᄀP→Q，真值为T（3）P→R，真值为F（4）ᄀP→R真值为T13例4将下列命题符号化。13定义1-2.5

设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅当Q”称作P与Q的等价式，记作P⇄

Q，⇄

为等价联结词。P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。

PQP⇄QTTTTFFFTFFFT14定义1-2.5设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅当例5将下列命题符号化。（1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。（2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。（3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。（4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。（5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。（6）两角相等当且仅当它们是对顶角。解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。（1）P⇄Q 真命题（2）P⇄ᄀQ假命题（3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题（5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。

P⇄Q 真命题（6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。

P⇄Q 假命题15例5将下列命题符号化。154.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄

164.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄16

1-3命题公式与翻译

1.命题公式命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号等组成的符号串。

命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。171-3命题公式与翻译17定义1－3.1（1）单个命题常量或命题变元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,…，F，T是合式公式。（2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。（3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。（4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号串才是合式公式。 例：P,ᄀP,(ᄀP)),(0∧P),P→(P→Q),((P∨Q)→R)→(ᄀR)是公式；

PQ→R,,ᄀ(P→),ᄀP→Q)不是公式。18定义1－3.1182.翻译翻译就是把自然语言中的有些句子符号化。复合命题符号化的基本步骤：（1）分析出各简单命题，将它们符号化。（2）使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示。192.翻译19例将下列命题符号化。（1）小王是游泳冠军或是百米冠军。P∨Q（2）小王现在在宿舍或在图书馆。P∨Q（排斥性或，不可能同时为真）(3)选小王或小李中的一人当班长。（P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q）或ᄀ（P⇄Q）（排斥性或，可能同时为真）PQ原命题P⇄Qᄀ（P⇄Q）TTFTFTFTFTFTTFTFFFTF20例将下列命题符号化。PQ原命题P⇄Qᄀ（P⇄Q）TTFTF(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。ᄀR→(P→Q)或（ᄀR∧P）→Q（除非：如果不）(5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生。P∧（Q∨R）∧S（6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。A：我们要做到身体好B：我们要做到学习好C：我们要做到工作好P：我们要为祖国四化建设面奋斗。命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P21(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。21

1－4真值表与等价公式1.真值表定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式，共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤：(1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出所有可能的真值指派。(2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最后计算出命题公式的值。221－4真值表与等价公式22例1构造求ᄀP∨Q的真值表。PQᄀPᄀP∨QTTFTTFFFFTTTFFTT23例1构造求ᄀP∨Q的真值表。PQᄀPᄀP∨QTTFTTFF例2给出（P∧Q）∧ᄀP的真值表。PQP∧QᄀP（P∧Q）∧ᄀPTTTFFTFFFFFTFTFFFFTF24例2给出（P∧Q）∧ᄀP的真值表。PQP∧QᄀP（P∧Q例3给出（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）的真值表。PQᄀPᄀQP∧QᄀP∧ᄀQ（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）TTFFTFTTFFTFFFFTTFFFFFFTTFTT25例3给出（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）的真值表。PQᄀPᄀQ例4给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。PQP∧Qᄀ（P∧Q）ᄀPᄀQᄀP∨ᄀQᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）TTTFFFFTTFFTFTTTFTFTTFTTFFFTTTTT

由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例226例4给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。PQP∧Qᄀ

2．等价公式从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与P→Q的对应真值相同。PQᄀPᄀP∨QP→QTTFTTTFFFFFTTTTFFTTT（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。27 2．等价公式PQᄀPᄀP∨QP→QTTFTTTFFFFF

定义1－4.2

给定两个命题公式A和B，设P1，P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。例5证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（Q→P）证明列出真值表PQP→QQ→P(P→Q）∧(Q→P）P⇄QTTTTTTTFFTFFFTTFFFFFTTTT28定义1－4.2给定两个命题公式A和B，设P1，

24个重要的等价式P⇔ᄀᄀP 双重否定律P⇔P∨P 等幂律P⇔P∧PP∨Q⇔Q∨P 交换律P∧Q⇔Q∧P（P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律（P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R）P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R）ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德·摩根律ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ29 24个重要的等价式29P∨（P∧Q）⇔P 吸收律P∧（P∨Q）⇔PP∨T⇔T 零律P∧F⇔FP∨F⇔P 同一律P∧T⇔PP∨ᄀP⇔T 排中律P∧ᄀP⇔F 矛盾律P→Q⇔ᄀP∨Q 蕴涵等价式P⇄

Q⇔（P→Q）∧（Q→P） 等价等价式P→Q⇔ᄀQ→ᄀP 假言易位P⇄

Q⇔ᄀP⇄ᄀQ 等价否定等价式（P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP 归谬论

其中P、Q和R代表任意的命题公式。30P∨（P∧Q）⇔P 吸收律30例6验证吸收律 P∨（P∧Q）⇔P和

P∧（P∨Q）⇔PPQP∧QP∨（P∧Q）P∨QP∧（P∨Q）TTTTTTTFFTTTFTFFTFFFFFFF31例6验证吸收律 P∨（P∧Q）⇔P和PQP∧QP∨（P∧

定义1-4.3

如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一个合式公式,则称X为公式A的子公式。 定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。证明因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同，故以Y取代X后，公式B与公式A在相应的指派下，其真值必相同，故A⇔B。

满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）32 定义1-4.3如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一例7证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）证明P→Q⇔ᄀP∨Q，（根据蕴涵等价式）

ᄀP∨Q⇔ᄀ（P∧ᄀq），（德·摩根律）即P→q⇔ᄀ（P∧ᄀq）33例7证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）33

例8证明P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R证明P→(Q→R)

⇔ᄀP∨(Q→R) （蕴涵等价式）⇔ᄀP∨(ᄀQ∨R) （蕴涵等价式）⇔(ᄀP∨ᄀQ)∨R （结合律）⇔ᄀ(P∧Q)∨R （德·摩根律）⇔(P∧Q)→R （蕴涵等价式）34例8证明P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R34例9证明P⇔(P∧Q)∨(P∧ᄀQ)证明P⇔P∧1 (同一律)

⇔P∧(Q∨ᄀQ) （排中律）

⇔(P∧Q)∨(P∧ᄀQ) （分配律）35例9证明P⇔(P∧Q)∨(P∧ᄀQ)35练习1.证明Q∨ᄀ((ᄀP∨Q)∧P)⇔T;2.证明(P∨ᄀP)→((Q∧ᄀQ)∧R)⇔F3.证明(P→Q)∧ᄀP⇔ᄀP36练习1.证明Q∨ᄀ((ᄀP∨Q)∧P)⇔T;361,证明Q∨ᄀ((ᄀP∨Q)∧P) ⇔Q∨ᄀ((ᄀP∧P)∨(P∧Q)) （分配律） ⇔Q∨ᄀ(F∨(P∧Q)) （矛盾律） ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) （同一律）⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) （德·摩根律） ⇔(Q∨ᄀQ)∨ᄀP （结合律） ⇔T∨ᄀP （排中律） ⇔T （零律）371,证明Q∨ᄀ((ᄀP∨Q)∧P)372.证明(P∨ᄀP)→((Q∧ᄀQ)∧R)⇔T→((Q∧ᄀQ)∧R) （排中律）⇔T→(F∧R) （矛盾律）⇔T→F （零律）⇔ᄀT∨F （蕴涵等值式）⇔F∨F⇔F （等幂律）382.证明(P∨ᄀP)→((Q∧ᄀQ)∧R)383.证明(P→Q)∧ᄀP⇔(ᄀP∨Q)∧ᄀP （蕴涵等价值式）⇔ᄀP （吸收律）

393.证明(P→Q)∧ᄀP39

1-5重言式与蕴涵式定义1－5.1

给定一命题公式，若无论对分量作什么样的指派，其对应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真式。定义1－5.2

给定一命题公式，若无论对分量作什么样的指派，其对应的真值永为F，则称该命题公式为矛盾式或永假式。40 1-5重言式与蕴涵式40

定理1－5.1

任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。定理1－5.2

一个重言式，对同一分量，都用任何合式公式置换，其结果仍为一重言式。

证明由于重言式的真值与分量的指派无关，帮对同一分量以任何合式公式置换后，重言式的真值仍永为真。对于矛盾式也有类似于定理1－5.1和定理5－1.2的结果。41定理1－5.1任何两个重言式的合取或析取，仍然是例1证明（（P∨S）∧R）∨ᄀ（（P∨S）∧R）为重言式。证明因为P∨ᄀP⇔T，用（（P∨S）∧R）置换P得（（P∨S）∧R）∨ᄀ（（P∨S）∧R）⇔T42例1证明（（P∨S）∧R）∨ᄀ（（P∨S）∧R）为重言式

定理1－5.3

设A、B为两命题公式A⇔B，当且仅当A⇄B为一个重言式。证明若A⇔B，则A、B有相同的真值，即有A⇄B永为T。若A⇄B为重言式，则A⇄B永为T，故A、B的真值相同，即A⇔B。4343例2证明ᄀ（P∧Q）⇔（ᄀP∨ᄀQ）证明做ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。PQP∧QᄀPᄀQᄀ（P∧Q）ᄀP∨ᄀQᄀ（P∧Q）⇄ᄀP∨ᄀQTTTFFFFTTFFFTTTTFTFTFTTTFFFTTTTT由以上真值表可知，ᄀ（P∧Q）⇄ᄀP∨ᄀQ为重言式，根据定理1－5.3得ᄀ（P∧Q）⇔（ᄀP∨ᄀQ）44例2证明ᄀ（P∧Q）⇔（ᄀP∨ᄀQ）PQP∧QᄀPᄀQᄀ定义1－5.3

当且仅当P→Q是重言式时，我们称“P蕴涵Q”，并记作P⇒Q

。做P→QQ→P，ᄀP→ᄀQ，ᄀQ→ᄀp的真值表PQᄀPᄀQP→Q

ᄀQ→ᄀPQ→PᄀP→ᄀQTTFFTTTTTFFTFFTTFTTFTTFFFFTTTTTT由此得P→Q⇔ᄀQ→ᄀP，Q→P⇔ᄀP→ᄀQ，因此要P⇒Q，只要证明ᄀQ⇒ᄀP，反之亦然。45定义1－5.3当且仅当P→Q是重言式时，我们称“P蕴涵

要证明P⇒Q，即证P→Q是重言式，对于P→Q来说，除P的真值取T，Q的真值取F这样一种指派时，P→Q的真值为F外，其余情况P→Q的真值为T，故要征P⇒Q，只要对条件P→Q的前件P，指定真值为T，若由此指出Q的真值为T，则P→Q为重言式，即P⇒Q成立；同理，如对条件命题P→Q中，假定后件Q的真值为F，若由此推出P的真值为F，即推证了ᄀQ→ᄀP。故P⇒Q成立。即

若P为T时，推出Q为T

或若Q为F时，推出P为F

则P⇒Q。46 要证明P⇒Q，即证P→Q是重言式，对于P→Q来说，除P例1推证ᄀQ∧（P→Q）⇒ᄀP证法1假定ᄀQ∧（P→Q）为T，则ᄀQ为T，且P→Q为T。所以Q为F，P→Q为T，所以P为F，故ᄀP为T。证法2假定ᄀP为F，则P为T，①若Q为F，则P→Q为F，ᄀQ∧（P→Q）为F，②若Q为T，则ᄀQ为F，ᄀQ∧（P→Q）为F，所以ᄀQ∧（P→Q）⇒ᄀP47例1推证ᄀQ∧（P→Q）⇒ᄀP47

常用的蕴涵式如下：P∧Q⇒PP∧Q⇒QP⇒P∨QᄀP⇒P→QQ⇒P→Qᄀ（P→Q）⇒Pᄀ（P→Q）⇒ᄀQP∧（P→Q）⇒QᄀQ∧（P→Q）⇒ᄀpᄀP∧（P∨Q）⇒Q（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→R）⇒R（P→Q）∧（R→S）⇒（P∧R）→（Q∧S）（P⇄Q）∧（Q⇄R）⇒（P⇄R）48常用的蕴涵式如下：48

定理1－5.4

设P、Q为任意两个命题公式，P⇔Q的充分必要条件是P⇒Q且Q⇒P证明若P⇔Q，则P⇄Q为重言式。因为P⇄Q⇔（P→Q）∧（Q→P），故P→Q为T，且Q→P为T，因为P⇒Q且Q→P成立。反之，若P⇒Q且Q⇒P，则P→Q为T，且Q→P为T，因此P⇄Q⇔（P→Q）∧（Q→P）为T，即P⇔Q

这个定理也可以作为两个公式等价的定义。4949蕴涵的几个常用的性质：（1）设A、B、C为合式公式，若A⇒B且A为重言式，则B也是重言式。证明因为A→B永为T，所以当A为T时，B必T。（2）若A⇒B，B⇒C，则A⇒C

证明由A⇒B，B⇒C得A→B，B→C为重言式所以（A→B）∧（B→C）为重言式，根据（P→Q）∧（Q→R）⇒P→R

所以（A→B）∧（B→C）⇒A→C，由性质（1）得：A→C为重言式，即A⇒C50蕴涵的几个常用的性质：50（3）A⇒B，且A⇒C，那么A⇒（B∧C）证明由假设知A→B，A→C为重言式。①设A这T，则B、C为T，故B∧C为T，因此A→（B∧C）为T，②若A为F，则A→（B∧C）为T，所以A⇒（B∧C）51（3）A⇒B，且A⇒C，那么A⇒（B∧C）51（4）若A⇒B且C⇒B，则A∨C⇒B

证明因为A→B为T，C→B为T，故（ᄀA∨B）∧（ᄀC∨B）为T，则（ᄀA∧ᄀC）∨B为T，即ᄀ（A∨C）∨B为T，即（A∨C）→B为T，所以（A∨C）⇒B

52（4）若A⇒B且C⇒B，则A∨C⇒B521－6其他联结词

定义1－6.3

设P、Q是两个命题公式，复合命题P↑Q称作P和Q的“与非”。P↑Q⇔ᄀ（P∧Q）PQP↑QTTFTFTFTTFFT531－6其他联结词PQ联结词“↑”的几个性质：（1）P↑P⇔ᄀ（P∧P）⇔ᄀp（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔ᄀ（P↑Q）⇔P∧Q（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔ᄀP↑ᄀQ⇔ᄀ（ᄀP∧ᄀq）⇔P∨Q54联结词“↑”的几个性质：54

定义1－6.3

设P、Q是两个命题公式，复合命题P↓Q称作P和Q的“或非”。P↓

Q⇔ᄀ（P∨Q）PQP↓QTTFTFFFTFFFT55定义1－6.3设P、Q是两个命题公式，复合命题联结词“↓

”的几个性质：（1）P↓

P⇔ᄀ（P∨P）⇔ᄀp（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔ᄀ（P↓Q）⇔P∨Q（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔ᄀP↓ᄀQ⇔P∧Q

当有n个命题变元时，可构成22n种不等价的命题公式，如n＝2时，有16种不等价的命题公式。，见27页表1－6.5。56联结词“↓”的几个性质：56最小联结词组：对于任何一个命题公式，都能由仅含这些联结词的命题公式等价代换。由于（1）（P⇄Q）⇔（P→Q）∧（Q→P）（2）（P→Q）⇔ᄀP∨Q

（3）P∧Q⇔ᄀ（ᄀP∨ᄀQ）（4）P∨Q⇔ᄀ（ᄀP∧ᄀq）故由“ᄀ”、“∧”、“∨”，“→”、“⇄”这五个联结词组成的命题公式，必可以由{ᄀ，∧}或{ᄀ，∨}组成的命题公式所替代。57最小联结词组：对于任何一个命题公式，都能由仅含这些联结词的命

1－7对偶与范式定义1－7.1在给定的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若有特殊变元F和T亦相互取代，所得命题公式A*称为A的对偶式。

A和A*互为对偶式。例1:P∧Q与P∨Q,ᄀ(P∧Q)与ᄀ(P∨Q)(P∨Q)∧R与(P∧Q)∨Rᄀ(P∧T)∨Q与ᄀ(P∨F)∧Q均为对偶式.例2：P↑Q、P↓Q的对偶式。解：P↑Q⇔ᄀ(P∧Q)，P↑Q的对偶式为ᄀ(P∨Q)

P↓Q⇔ᄀ（P∨Q），P↓Q的对偶式为ᄀ(P∧Q)581－7对

定理1－7.1设A和A*互为对偶式,P1,P2,…,Pn，是出现在A和A*中的全部的命题变元,则ᄀA(P1,P2,…,Pn)⇔A*(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)A(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)⇔ᄀA*(P1,P2,…,Pn)例:设A(P,Q,R)⇔P∧(ᄀQ∨R) ①

得:A*(P,Q,R)⇔P∨(ᄀQ∧R) ②(1)由①知: ᄀA(P,Q,R)⇔ᄀP∨(Q∧ᄀR)

由②知:A*(ᄀP,ᄀQ,ᄀR)⇔ᄀP∨(Q∧ᄀR)

所以:ᄀA(P,Q,R)⇔A*(ᄀP,ᄀQ,ᄀR)类似地,有A(ᄀP,ᄀQ,ᄀR)⇔ᄀA*(P,Q,R)59定理1－7.1设A和A*互为对偶式,P1,P2,…

定理1－7.2设P1,P2,…,Pn

是出现有命题公式A和B中的所有命题变元，若A⇔B，则A*⇔B*。证明：因为A⇔B，即A(P1,P2,…,Pn)⇄B(P1,P2,…,Pn)是重言式，

A(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)⇄B(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)是重言式，故A(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)⇔B(ᄀP1,ᄀP2,…,ᄀPn)

由定理1－7.1得

ᄀA*(P1,P2,…,Pn)⇔ᄀB*(P1,P2,…,Pn)

因此A*⇔B*60定理1－7.2设P1,P2,…,Pn是出现有命题公例4如果A(P,Q,R)是P↑（Q∧ᄀ（R↓P）），求它的对偶式A*(P,Q,R)。并求与A及A*等价，但仅包含联结词“ᄀ”、“∧”、“∨”的公式。解：因A(P,Q,R)是P↑（Q∧ᄀ（R↓P））故A*(P,Q,R)是P↓（Q∨ᄀ（R↑P））但P↑（Q∧ᄀ（R↓P））⇔P↑（Q∧（R∨P））⇔ᄀ（P∧（Q∧（R∨P）））所以P↓（Q∨ᄀ（R↑P））⇔ᄀ(P∨（Q∨（R∧P））)

61例4如果A(P,Q,R)是P↑（Q∧ᄀ（R↓P）），求它

定义1－7.2

一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式A1∧A2∧…∧An（n≥1）。其中A1，A2，…，An都是命题变元或其否定所组成的析取式。例ᄀP∨∧(P∨Q)∧(P∨ᄀP)∧(ᄀP∨ᄀR)

定义1－7.3

一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式A1∨A2∨…∨An（n≥1）。其中A1，A2，…，An都是命题变元或其否定所组成的合取式。例(P∧ᄀQ∧ᄀR)∨(P∧ᄀQ)∨(P∧ᄀQ∧R)62定义1－7.2一个命题公式称为合取范式，当且仅当求合取范式或析取范式的步骤：（1）将公式中的联结词化归成ᄀ、∧、∨。（2）将ᄀ消去或内移。（3）利用分配律、交换律求合取范式或析取范式。（求合取范式：∨对∧；求析取范式：∧对∨）注意任何命题的析取范式和合取范式都不是唯一的。63求合取范式或析取范式的步骤：63例求下面命题公式的合取范式和析取范式。（（P∨Q）→R）→P解（1）求合取范式（（P∨Q）→R）→P⇔（ᄀ（P∨Q）∨R）→P⇔ᄀ(ᄀ(P∨Q)∨R)∨P⇔ᄀ((ᄀP∧ᄀQ)∨R)∨P⇔(ᄀ(ᄀP∧ᄀQ)∧ᄀR)∨P⇔((ᄀᄀP∨ᄀᄀQ)∧ᄀR)∨P⇔((P∨Q)∧ᄀR)∨P⇔(P∨Q∨P)∧(ᄀR∨P)⇔（P∨Q）∧(ᄀR∨P)(2)求析取范式((P∨Q)∧ᄀR)∨P⇔(P∧ᄀR)∨(Q∧ᄀR)∨P⇔P∨（P∧ᄀR）∨

(Q∧ᄀR)⇔P∨(Q∧ᄀR)64例求下面命题公式的合取范式和析取范式。64练习：求下面命题公式的合取范式和析取范式。（1）求合取范式(P→Q)⇄

R⇔(ᄀP∨Q)⇄

R⇔((ᄀP∨Q)→R)∧(R→(ᄀP∨Q))⇔(ᄀ(ᄀP∨Q)∨R)∧(ᄀR∨(ᄀP∨Q))⇔((P∧ᄀQ)∨R)∧(ᄀR∨ᄀP∨Q)⇔(P∨R)∧(ᄀQ∨R)∧(ᄀR∨ᄀP∨Q)（2）求析取范式((P∧ᄀQ)∨R)∧(ᄀR∨ᄀP∨Q)⇔（(P∧ᄀQ)∧(ᄀR∨ᄀP∨Q)）∨(R∧(ᄀR∨ᄀP∨Q))⇔((P∧ᄀQ)∧ᄀR)∨((P∧ᄀQ)∧ᄀP)∨((P∧ᄀQ)∧Q))∨((R∧ᄀR)∨(R∧ᄀP)∨(R∧Q))⇔(P∧ᄀQ∧ᄀR)∨(P∧ᄀP∧ᄀQ)∨(P∧ᄀQ∧Q)∨(R∧ᄀR)∨(ᄀP∧R)∨(Q∧R)⇔(P∧ᄀQ∧ᄀR)∨(ᄀP∧R)∨(Q∧R)65练习：求下面命题公式的合取范式和析取范式。65定义1－7.4n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。

n个命题变元共有2n个小项。例两个命题变元P和Q，其小项为：P∧Q，P∧ᄀQ，ᄀP∧Q，ᄀP∧ᄀQ66定义1－7.4n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其3个命题变项P、Q、R可形成8个小项：m000

⇔ᄀP∧ᄀQ∧ᄀRm001⇔ᄀP∧ᄀQ∧Rm010⇔ᄀP∧Q∧ᄀRm011⇔ᄀP∧Q∧Rm100⇔P∧ᄀQ∧ᄀRM101⇔P∧ᄀQ∧Rm110⇔P∧Q∧ᄀRm111⇔P∧Q∧R673个命题变项P、Q、R可形成8个小项：67小项的性质：（1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，其余均为F。（2）任意两个不同小项的合取永为F。（3）m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7⇔T68小项的性质：68

定义1－7.3

对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。

定理1－7.3

在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对小项的析取，即为此公式的主析取范式。69定义1－7.3对于给定的命题公式，如果有一个等价公例6给定P→Q，P∨Q和ᄀ（P∧Q），求这些公式的主析取范式。解：真值表如下：PQP→QP∨Qᄀ（[P∧Q）TTTTFTFFTTFTTTTFFTFT故P→Q⇔（ᄀP∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q）∨（P∧Q）

P∨Q⇔（ᄀP∧Q）∨（P∧ᄀQ）∨（P∧Q）ᄀ（P∧Q）⇔（ᄀP∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q）∨（P∧Q）70例6给定P→Q，P∨Q和ᄀ（P∧Q），求这些公式的主析取范例7设一公式A的真值表如下，求公式A的主析取范式。PQRATTTTTTFFTFTFTFFTFTTFFTFFFFTFFFFT解公式A的主析取范式为：A⇔（ᄀP∧ᄀQ∧ᄀR）∨（P∧ᄀR∧ᄀR）∨（P∧Q∧R）71例7设一公式A的真值表如下，求公式A的主析取范式。PQR例8求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）∨（Q∧R）的主析取范式。解：原式⇔（P∧Q∧（R∨ᄀR））∨（ᄀP∧R∧（Q∨ᄀQ））∨（Q∧R∧（P∨ᄀp））

⇔（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ᄀR）∨（ᄀP∧Q∧R）∨（ᄀP∧ᄀQ∧R）∨

（P∧Q∧R）∨（ᄀP∧Q∧R）⇔（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ᄀR）∨（ᄀP∧Q∧R）∨（ᄀP∧ᄀQ∧R）72例8求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）∨（Q∧R）的主析取范式。7例9求P→（（P→Q）∧ᄀ（ᄀQ∨ᄀP））的主析取范式。解：原式⇔ᄀP∨（（ᄀP∨Q）∧（Q∧P））⇔ᄀP∨（（ᄀP∧Q∧P）∨（Q∧Q∧P））⇔ᄀP∨（Q∧P）⇔ᄀP∧（Q∨ᄀQ）∨（P∧Q）⇔（ᄀP∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）∨（P∧Q）73例9求P→（（P→Q）∧ᄀ（ᄀQ∨ᄀP））的主析取范式。73求主析取范式的步骤：（1）求析取范式。（2）去掉永假的析取项。（3）去掉重复的合取项、合并相同变元。（4）对合取项补入没出现的命题变元。（P∨ᄀP）74求主析取范式的步骤：74

定义1－7.6n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。

n个命题变元共有2n个小项。例两个命题变元P和Q，其小项为：P∨Q，P∨ᄀQ，ᄀP∨Q，ᄀP∨ᄀQ

75定义1－7.6n个命题变元的析取式，称作布尔析3个命题变项P、Q、R可形成8个大项：M000

⇔P∨Q∨RM001⇔P∨Q∨ᄀRM010⇔P∨ᄀQ∨RM011⇔P∨ᄀQ∨ᄀRM100⇔ᄀP∨Q∨RM101⇔ᄀP∨Q∨ᄀRM110⇔ᄀP∨ᄀQ∨RM111⇔ᄀP∨ᄀQ∨ᄀR763个命题变项P、Q、R可形成8个大项：76大项的性质：（1）每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，其余均为T。（2）任意两个不同大项的析取永为T。（3）M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7⇔F77大项的性质：77定义1－7.7对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式。

定理1－7.4

在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对大项的合取，即为此公式的主合取范式。78定义1－7.7对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅例10利用真值表求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）的主合取范式与主析取范式。PQRP∧QᄀP∧R（P∧Q）∨（ᄀP∧R）TTTTFTTTFTFTTFTFFFTFFFFFFTTFTTFTFFFFFFTFTTFFFFFF79例10利用真值表求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）的主合取范式与主合取范式：（ᄀP∨Q∨ᄀR）∧（ᄀP∨Q∨R）∧（P∨ᄀQ∨R）∧（P∨Q∨R）主析取范式：（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ᄀR）∨（ᄀP∧Q∧R）∨（ᄀP∧ᄀQ∧R）80主合取范式：（ᄀP∨Q∨ᄀR）∧（ᄀP∨Q∨R）∧（P∨ᄀQ求主合取范式的步骤：（1）求合取范式。（2）去掉所有为T的合取项。（3）合并相同的析取项和变元。（4）补入没出现的命题变元。（即添加P∧ᄀP）81求主合取范式的步骤：81例11求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）的主合取范式。解：原式⇔（P∧Q）∨ᄀP）∧（（P∧Q）∨R）⇔（P∨ᄀp）∧（Q∨ᄀp）∧（P∨R）∧（Q∨R）⇔（Q∨ᄀp）∧（P∨R）∧（Q∨R）⇔（Q∨ᄀP∨（R∧ᄀR））∧（P∨R∨（Q∧ᄀQ））∧（Q∨R∨（P∧ᄀP））⇔（Q∨ᄀP∨R）∧（Q∨ᄀP∨ᄀR）∧（P∨R∨Q）∧（P∨R∨ᄀQ）∧（Q∨R∨P）∧（Q∨R∨ᄀP）⇔（ᄀP∨Q∨R）∧（ᄀP∨Q∨ᄀR）∧（P∨ᄀQ∨R）∧（P∨Q∨R）82例11求（P∧Q）∨（ᄀP∧R）的主合取范式。82用∑表示小项的析取用∏表示大项的合取例如（P∧Q）∨（ᄀP∧R）⇔（ᄀP∨Q∨R）∧（ᄀP∨Q∨ᄀR）∧（P∨ᄀQ∨R）∧（P∨Q∨R）⇔M000∧M010∧M100∧M101

⇔∏0,2,4,5⇔m001∨m011∨m110∨m111

⇔∑1,3,6,783用∑表示小项的析取83

1-8推理理论 推理是从前提推出结论的思维过程,前提是指已知的命题公式,结论是从前提出发应用推理规则推出来的命题公式。前提可以是多个。定义1－8.1设H1，H2，…，Hn

，C是命题公式，若（H1∧H2∧…∧Hn）→C为重言式,则称C是一组前提H1,H2,…,Hn的有效结论。记作：

H1∧H2∧…∧Hn⇒

C

真值表法推理方法直接证法间接证法841-8推理理论84（1）真值表法若H1，H2，…，Hn都为T的行，C也为真；或若C为假的行，H1，H2，…，Hn

中至少有一个为假则H1∧H2∧…∧Hn⇒C成立。85（1）真值表法85例1一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠，或者是由于计算有错误；这份统计表格的错误不是由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有错误。解：设P：统计表格的错误是由于材料不可靠。

Q：统计表格的错误是由于计算不可靠。前提是：P∨Q，ᄀP，结论是：Q，即证明（P∨Q）∧ᄀP⇒QPQP∨QᄀPTTTFTFTFFTTTFFFT故（P∨Q）∧ᄀP⇒Q86例1一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠，或者是由于计算

例2如果张老师来了，这个问题可以得到解答，如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之张老师或李老师来了，这个问题就可以得到解答。解：设P：张老师来了。

Q：李老师来了。

R：这个问题可以得到解答。本题可译为：（P→R）∧（Q→R）∧（P∨Q）⇒R87例2如果张老师来了，这个问题可以得到解答，如果李老师来了PQRP→RQ→RP∨QTTTTTTTTFFFTTFTTTTTFFFTTFTTTTTFTFTFTFFTTTFFFFTTF88PQRP→RQ→RP∨QTTTTTTTTFFFTTFTTTT（2）直接证法

就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价公式或蕴涵公式，推出有效结论。

P规则：前提在推导过程中随时可以引用。

T规则：已经推出的公式在以后的推导过程中可随时引用。常用蕴涵式见43页表1－8.389（2）直接证法89例1证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）⇒S∨R

证法1（1）P∨QP

（2）ᄀP→QT（1）E

（3）Q→SP

（4）ᄀP→ST（2），（3）I

（5）ᄀS→PT（4）E

（6）P→RP

（7）ᄀS→RT（5），（6）I

（8）S∨RT（7）E

90例1证明（P∨Q）∧（P→R）∧（Q→S）⇒S∨R90证法2（1）P→RP

（2）P∨Q→R∨QT（1）I

（3）Q→SP

（4）Q∨R→S∨RT（3）I

（5）P∨Q→S∨RT（2），（4）I

（6）P∨QP

（7）S∨RT（5），（6）I91证法2（1）P→R例2证明（W∨R）→V，V→C∨S，S→U，ᄀC∧ᄀU⇒ᄀW证明（1）ᄀC∧ᄀUP

（2）ᄀUT（1）I

（3）S→UP

（4）ᄀST（2）,（3）I(5)ᄀCT（1）I(6)ᄀC∧ᄀST(4),(5)I(7)ᄀ(C∨S)T(6)E(8)（W∨R）→VP(9)V→(C∨S)P(10)（W∨R）→(C∨S)T(8),(9)I(11)ᄀ(（W∨R）T(7),(10)I(12)ᄀW∧ᄀRT(11)E(13)ᄀWT(12)E92例2证明（W∨R）→V，V→C∨S，S→U，ᄀC∧ᄀU(3)间接证法1(归谬法)

要证H1∧H2∧…∧Hn⇒C

即要证H1∧H2∧…∧Hn→C为重言式

H1∧H2∧…∧Hn→C

⇔ᄀ(H1∧H2∧…∧Hn)∨C⇔ᄀ(H1∧H2∧…∧Hn∧ᄀC)因此只要证H1∧H2∧…∧Hn∧ᄀC为矛盾式.

93(3)间接证法1(归谬法)93例3证明A→B,ᄀ(B∨C)可逻辑推出ᄀA证明(1)A→BP(2)AP(附加前提)(3)ᄀ(B∨C)P(4)ᄀB∧ᄀCT(3)E(5)BT(1),(2)I(6)ᄀBT(4)I(7)B∧ᄀB(矛盾)T(5),(6)I94例3证明A→B,ᄀ(B∨C)可逻辑推出ᄀA94例4证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒S∨R证明(1)ᄀ(S∨R)P(2)ᄀS∧ᄀRT(1)E(3)P∨QP(4)ᄀP→QT(3)E(5)Q→SP(6)ᄀP→ST(4),(5)I(7)ᄀS→PT(6)(8)(ᄀS∧ᄀR)→(P∧ᄀR)T(7)I(9)P∧ᄀRT(2),(8)I(10)P→RP(11)ᄀP∨RT(10)E(12)ᄀ(P∧ᄀR)T(11)E(13)(P∧ᄀR)∧ᄀ(P∧ᄀR)(矛盾)T(9),(12)I95例4证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒S∨R(4)间接证法2(附加前提法)要证H1∧H2∧…∧Hn⇒R→C只要证(H1∧H2∧…∧Hn)→(R→C)为重言式

(H1∧H2∧…∧Hn)→(R→C)⇔ᄀ(H1∧H2∧…∧Hn)∨(ᄀR∨C)⇔ᄀ(H1∧H2∧…∧Hn∧R)∨C⇔(H1∧H2∧…∧Hn∧R)→C只要证(H1∧H2∧…∧Hn∧R)⇒C由(S∧R)⇒C证得S⇒(R→C)称为CP规则。96(4)间接证法2(附加前提法)96例5证明A→(B→C),ᄀD∨A,B重言蕴涵D→C证明(1)DP(附加前提) (2)ᄀD∨AP(3)AT(1),(2)I(4)A→(B→C)P(5)B→CT(3),(4)I(6)BP(7)CT(5),(6)I(8)D→CCP97例5证明A→(B→C),ᄀD∨A,B重言蕴涵D例6设有下列情况,结论是否有效?(a)或者是天晴,或者是下雨。(b)如果是天晴，我去看电影。(c)如果我去看电影，我就不看书。结论：如果我在看书则天在下雨。解若设M：天晴。Q：下雨。

S：我看电影。R：我看书。即证：M∀Q，M→S，S→ᄀR，推出R→Q其中M∀Q⇔ᄀ(M⇄Q）98例6设有下列情况,结论是否有效?98

(1)RP（附加前提）

(2)S→ᄀRP(3)R→ᄀST(2)E(4)ᄀST(1),(3)I(5)M→SP(6)ᄀMT(4),(5)I(7)ᄀ(M⇄Q）P(8)M⇄ᄀQT(7)E(9)(M→ᄀQ)∧(ᄀQ→M)T(8)E(10)ᄀQ→MT(9)I(11)ᄀM→QT(10)E(12)QT(6),(11)I(13)R→QCP

99(1)R

第二章谓词逻辑

原子命题是命题逻辑研究的基本单位,没有对原子的内部结构及其相互之间的逻辑关系进行分析,这样就无法处理一些简单而又常见的推理问题。例如:所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以,苏格拉底是要死的。P:所有的人是要死的.Q:苏格拉底是人.R:所以,苏格拉底是要死的P∧Q→R

不是重言式。

100 第二章谓词逻辑100

2－1谓词的概念与表示原子命题由主语和谓语两部分组成。主语一般是客体。客体：可以是一个具体的事物，也可以是一种抽象事物。是命题所研究的对象。谓词：用以刻划客体的性质或客体之间的性质。例李明是一个学生。李明比王杰高。哥白尼指出地球绕着太阳转。1012－1谓词的概念与表示101谓词用大写字母表示。客体名称用小写字母表示。客体常元：表示具体或特定的客体的词。一般用小写字母a,b,c,……表示。客体变元：表示抽象的或泛指的客体的词。一般用小写字母x,y,z,……表示。例如：A表示“是个大学生”，

c表示张三，

e表示李四，则A（c）表示“张三是个大学生”，

A（e）表示“李四是个大学生”，102谓词用大写字母表示。102“b是A”类型的命题可用A（b）表示。两个客体之间关系的命题可表示为B（a,b）。

A（b）为一元谓词。

B（a,b）为二元谓词。依此类推。单独一个谓词不是命题，只有将变元x,y,z等取特定客体时，才确定了一个命题。103“b是A”类型的命题可用A（b）表示。103

2－2命题函数与量词

定义2－2.1

由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。例B（x,y）。

n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。当n＝0时，它本身就是一个命题。

1042－2命题函数与量词104由一个或几个简单命题函数以及联结词组合而成的表达式称为复合命题函数。例1（1）2是素数且是偶数。解：设A（x）：x是素数；

B（x）：x是偶数；

a：2

则命题表示为：A（a）∧B（a）

（2）如果2大于3，则2大于4。解：设L（x,y）：x大于y；

a：2；b：3；c：4

则命题表示为：L（a,b）→L（a,c）。105由一个或几个简单命题函数以及联结词组合而成的表达式称为复合命（3）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高。解：设H（x,y）：x比y高；

a：张明；b：李民；c：赵亮。则命题符号化为：

H（a,b）∧H（b，c）→H（a,c）。命题函数不是命题，只有客体变元取特定客体名称时，才能成为命题。106（3）如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高。106

个体域：客体变元的取值范围。个体域可以是有限的，也可以是无限的。例学生、工人，实数，{a,b，c}。

全总个体域：宇宙间的一切事物。107个体域：客体变元的取值范围。107量词：表示数量的词。全称量词“∀”用来表达“对所有的”、“每一个”，“对任何一个”。例2（1）所有的人都是要呼吸的。解：设M（x）：X是人；H（x）：x要呼吸。则符号化为：（∀x）（M（x）→

H（x））域为全总域。108量词：表示数量的词。108（2）每个学生都要参加考试。解：设P（x）：x是学生；Q（x）：x要参加考试。符号化为:

（∀x）（P（x）→