高等数学第12章微分方程课件

Ch12微分方程在学习导数时，曾做过如下类型的题目：证明§1微分方程的基本概念问题的提出微分方程的定义及相关概念一、问题的提出例1解解例2二、微分方程的定义及相关概念定义注定义约定

在本章中所讨论的微分方程都是已经解出最高阶导数的方程(11)或者能解出最高阶导数的方程(10)，且假设方程(11)右端的函数f在所讨论的范围内是连续的.定义例3解§2可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程举例一、可分离变量的微分方程定义思考解法二、举例例1解注例2解例3解例4解§3一阶线性微分方程一阶线性微分方程举例一、一阶线性微分方程1.定义定义注2.解法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.解对应的齐次方程的通解非齐次方程的特解例1解一二、举例解二例2解例3解练习解解§4全微分方程全微分方程积分因子复习一、全微分方程1.定义定义2.判定方法3.解法方法

1利用曲线积分与路径无关.凑全微分(分项组合).方法

2方法

3利用不定积分.例1解一B(x,y)A(x,0)xyo(0,0)解二解三二、积分因子定义注例2解例3解§5可降阶的高阶微分方程定义二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.从本节起我们开始讨论高阶微分方程.有些高阶微分方程，可通过变量代换化为较低阶的方程来求解.本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的解法.特点解法例1解特点解法例2解例3解特点解法例4解小结类型解法§6高阶线性微分方程函数组的线性相关与无关概念n

阶线性微分方程的一般形式二阶线性微分方程解的结构一、n

阶线性微分方程的一般形式注从本节起我们开始讨论高阶线性微分方程.因为在很多工程、物理等问题中，所遇到的高阶微分方程往往是线性方程.在研究过程中以二阶线性微分方程为例：二、函数组的线性相关与无关概念定义例1解解解注三、二阶线性微分方程解的结构1.二阶齐次线性方程解的结构定理1定理2注例2解2.二阶非齐次线性方程解的结构定理3证明例3解定理4解的叠加原理§7二阶常系数齐次线性微分方程定义二阶常系数齐次线性方程解法n

阶常系数齐次线性方程解法一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式本节和下一节主要讨论常系数线性方程的解法.方法：代数方法.二、二阶常系数齐次线性方程解法解法观察注由常系数齐次线性方程特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.例1解例2解例3解三、n

阶常系数齐次线性方程解法例4解例5解问题的提出§8二阶常系数非齐次线性微分方程一、问题的提出例1解例2解例3解例4解例5解例6解思考题解§9变量代换法齐次方程可化为齐次的方程伯努利

(Bernoulli)

方程一、齐次方程1.定义定义2.解法例1解例2解二、可化为齐次的方程1.定义定义2.解法例3解例4解注例5解例6解小结1.齐次方程解法2.可化为齐次的方程(两种情况).三、伯努利

(Bernoulli)方程1.定义定义注2.解法例1解例2解第12章微分方程习题课课堂练习举例主要内容主要内容一阶微分方程类型及解法(1)可分离变量的微分方程(2)齐次方程(3)一阶线性微分方程(常数变易法)(4)伯努利方程(5)全微分方程利用曲线积分与路径无关例1例2解例3解例4解一B(x,y)A(x,0)xyo(0,0)解二例5解例6解例7解主要内容高阶微分方程类型及解法1.可降阶的高阶微分方程2.二阶常系数齐次线性微分方程3.二阶常系数非齐次线性微分方程4.二阶线性微分方程解的结构(1)二阶齐次线性方程解的结构定理1