上海市华东师范大学第一附属中学2021-2022学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出50个数1，2，4，7，11， ，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功( )i50；ppiC．i50；pp1

i50；ppiD．i50；pp12．已知集合A{x|log(x1)2},BN,则A B（ ）2．

．

．

．设正项等差数列{an

的前n

，且满足Sn6n

2S3

28a82

的最小值为A．8 B．16 C．24 D．36某校团委对作了一次调查，利用22K27.218,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.001)2.7063.8415.0240.010.050.0250.0100.0050.001)2.7063.8415.0246.6357.87910.8280k0得到正确结论是(有以上的把握认为”有以上的把握认为”在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为”在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为”2已知集合A{x|y 2x2x3}，B|logx则全集UR则下列结论正确的( )2A．A BA B．ABB C．

AB D．B AU U6．集合PN|2x1的子集的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．8已知三棱锥DABC的体积为2，ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是CD中点，则球O的表面积为（ ）52A．3

40B．3

25C．3x2y20

D．已知实数x，y满足约束条件x2y20，则的取值范围是（ ）x22 5 A． ,2 2

B．4,8

C．2,8

D．1,8 5 5

5 已知a,b为非零向量，“a2bb2a”为“aabb的（ ）C

充分必要条件D已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1z2是实数则实数a等于( )3 4A． B．4 3

4C．-3

3D．-4下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）A．正方体 B．球体C．圆锥f(xln

11

|的图象大致为

D．长宽高互不相等的长方体A． B． C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按A，B编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别，则恰好同时包含字母A，B的概率为 .将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ．若复数z满足2zz3i，其中i是虚数单位，z是z的共轭复数，则z .fxex

eax是偶函数，则fx的最小值为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分在四边形ABCPABBC使PBPA，求证：

2,P

PC2如图将PAC 沿AC边折起连结PB，3平面ABC平面PAC ；FABAPPCF所成角的正弦值为

3FPCA的大小.418（12分）已知函数fxaxlnx(aR)有两个零点x,x.a的取值范围；是否存在实数x

x

1x

2(1)x

0 f'x0?1 2 0 1 2若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．19（12分）如图，在等腰梯形ABF

AF

BF

2AB6FF

4DCAB的三等1 2 2 1 1 2EF

的中点分别沿CEDE

折起，使F

重合于点F，得到如图2所示1 2 1 2 1 2的几何体2MN分别为CDEF的中点.MNABCD.求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦.20（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(abc)(abc)ab.求角C的值；若c2为锐角三角形，求ab的取值范围.21（12分）已知如图，在R△ABC中，∠AC=3，∠AB=9，D为ACAEBD于，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。（Ⅰ）求证：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程22（10分）已知函数f(x)x26x4lnxf(x单调区间和极值；若存在实数abc(0abcf(af(bf(cca2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这50个数的和，循环变量i11，故判断语句①应为ii1，第1个数是1，第2个数比第1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3ppiA.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.2．B【解析】解对数不等式可得集合A，由交集运算即可求解.【详解】集合A{x|logx1)A1x2BN,AB1xN，故选：B.【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.3．B【解析】方法一由题意得S 2S (S S)S 2根据等差数列的性质得SS,SS,S成等差数列设Sx(x0)，x16xx16x3a2 (3a

)2

a

)2

S)2 (x4)2 16a则SSa6

x2，SS9 6

x4，则8 = 889a 3a89

7aa

9 6S

x 82x x

816，23a2

2 1 2 3 3x4时等号成立，从而8a

的最小值为16，故选B．方法二：设正项等差数列{a

2d，由等差数列的前nSn 64

2S3

2，化简可得65 32 2

)26a d d)2即d 则2

6d)2 2 3 16

16 8161 2

2 9 a8 2a

a

82 3a仅当3a

16

，即a

4 时等号成立，从而8

2 22 2 2 2 2的最小值为16，故选B．2 2 3 a2 24．B【解析】通过K27.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解K27.2186.635以上的把握认为”B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5．D【解析】AB.【详解】2x2x30,(2x3)(x1)0，A1,3，故A(1)3，2

U 2 由logx1知，B(2,)，因此A B，2AB1,3(2,)，B(2,，2U(2,)(,1)3,， 2 2故选:D【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.6．D【解析】先确定集合P中元素的个数，再得子集个数．【详解】P{xN|1x3}{0,1,2}8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n个元素的集合其子集有2n个，其中真子集有2n1个．7．A【解析】根据O是CD.【详解】DABC的距离为h，因为O是CD中点，所以O到平面ABC的距离为h，21 11三棱锥DABC的体积V 3

ABC

h 22sin60h2，解得h2 3，32作平面ABC，垂足O为ABC的外心，所以CO2 3

，且OO2

3，所以在RtCOO中，OC CO2OO213

13，此为球的半径，3SR2 .3 3故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．8．B【解析】的取值范围.【详解】A(2,0)B(0,1)C(2,2)三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可ABx2y20的距离是可行域内的点到原点距离OAOB2 4的最小值，此时x2y2OD2

AB

，点C5

到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时4 x2y222228.所以22的取值范围是5,84 故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.9．B【解析】由数量积的定义可得a2a

0为实数则由a2bb2aa2bb2a,根据共线的性质可判断ab；再根据aabb判断ab,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】a2bb2a成立a2bb2a,则向量a与b的方向相同a2bb2

a,ab,ab；aabb,则向量a与b的方向相同a2b2,abab.所以a2bb2a”为“aabb的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.10．A【解析】z2aiz1z23a4，是实数得4a30，从而得解.详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,z2ai.z1z2i3a4，是实数，4a30，即a3.4故选A.点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.11．C【解析】根据基本几何体的三视图确定．【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．故选：C．【点睛】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．12．D【解析】由题可得函数f(x)的定义域为{x|x1}，f(xln|1x|ln|1x|f(xf(x为奇函数，排除选项B；1x 1xf(1.1)ln211f(3)ln21ACD．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213．3【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共C2种情况，其中有C1C1种情况是两个球颜色不相同；C1C1

4 2 222 2P2

2 2 C2 6 34故答案为：．3【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.514．36【解析】先求出基本事件总数6×6＝36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率．【详解】6×6＝366包括,2,455．365故答案为36【点睛】本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．15．1i【解析】设zabi，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得a,b的值.【详解】zabi2zz3i，得2aabibi3ia1,b1z1i.故答案为：1i【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.16．2【解析】ff，解得a，再结合基本不等式即可求解【详解】exexffa1fxexexex

2，当且仅当x0时取等号.故答案为：2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题7017（）（）6【解析】ABCPACACO，连接OB、OP，可得3OBAC,OPAC，可求出OP3

.在中，由勾股定理可证得OPOB，结合OPACO，可证明OBPACABCPAC.3以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系OxyzFABAFmAB(0m1)，得出CFPFC的一个法向量n.APPCF所成角的正弦值，由其等于3，解得n.再结合OB为平面PAC的一个法向量，用向量法即可求出n与OB的夹角，结合图形，写出二面角4FPCA的大小.【详解】（）在PAC中，PAPC2,P3△PAC为正三角形，且AC22在ABC中，ABBC2ABCABBCAC的中点O，连接0BOPOBAC,OPACOB1,OP 3,PBPA2，PB2OB2OP2，OPOBOP ACO，AC,OPOP ACOOBPACOBABC..平面ABC平面PAC（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 3)，AB(1,1,0),AP(0,1, 3)，CP(0,1, 3),CA(0,2,0)，AFmAB(0m1).则CFCAAF(mm2,0)PFC的一个法向量为n(xyz.则nCF0nCP0mxy(m2)0y 3z0 ， 2mx 3令y 3，解得 mz1n2m

3, 3,1m m AP与平面PFC所成角的正弦值为3，4 nAP |n||AP|

2 32 3(2m)2m2

3431整理得3m24m40m2m(含去)3n(2 3, 3,1)又OB为平面PAC 的一个法向量cosn,OB

nOB 3nOB 2n,OB，6FPAC.6【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.18．(1)(1,0)；(2)1.e 2【解析】fx.f'x0

0x0

1a

lnxx2

lnx1x11

x1

x 2

x2lnx2

x1lnx，11x令t x

，化简得t

t1，因此t1,( t 1)

，0t1, ( t 1)

，最后根据导x lnt 1t lnt1

min

1t lnt

max数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得取值集合.【详解】（1）f'xa1(x0)，x当a0时，f'x0对x0恒成立，与题意不符，a0f'xa1

ax1，x x0x1f'x0，afx在0,1单调递增，在1单调递减， a a ax0xfx，∴f11ln10，解得：1a0， aa eaa 1 综上可知：a的取值范围 ,0； e （2）由(1)可知fx0

0，则x0

1(1a0)，a ex,

的任意性及f'x

f'x

00，且1，1 2axlnx0

1 2lnxlnx 1 1

∴a 2 1，axlnx0

xx2 2 2 1故xx0

x2xlnxx2

x1lnx，11x2

x 12x21

，令tx2，211x lnx x211x1则t0,t1，且t

t10恒成立，lntglnt

t1 (t0)g0，t1g0,0t1g 2 12t t∴g

1 1 t 1t2

12 ，t1t2

212，1t1g't0，即函数在,1单调递减，gg0，与不符；1，则1tg't0g在单调递减，gg0，与式不符；1，解得1g't0't0t2g在g0，t1g00t1g0符合式，综上，存在唯一实数【点睛】

1符合题意.22利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.219（）证明见解析 2）3【解析】(1)先证CNEF，再证DNEF，由可得BC⊥平面CDN，从而推出MN平面ABCD ；(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量与CN ，坐标代入线面角的正弦值公式即可得.【详解】证明：连接CFDN1BCEF为菱形，且CEF60，是正三角形，从而CNEF.DNEFEF平面CDN.BC平面CDN，BCABCD，所以平面CDN平面ABCD.易知CNDNM为CDMNCDMNABCD.解：由（1）可知CN 3，MN 2，且四边形ABCD 为正方形设AB的中点为G， 以M为原点，以MG，MC ，MN所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M A2,1,0，

B，

C，

N0,0, 2

F1,0, 2 ，AB

AF1,1,2

CN0,1, 2. ABF的法向量为nxy nAB0, 2y0,由 得nAF0, xy 2z0,取n2,0,1.设直线CN 与平面ABF所成的角为，所以sin

CNnCNn

2 2，3 3 32所以直线CN 与平面ABF所成角的正弦值为 .3【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.20．(1)C3

.(2) (2 3,4].【解析】根据题意，由余弦定理求得cosC

1，即可求解C角的值；2由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到ab4sinA，再根据为锐角三角形，求得A6 2

6 6，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知(abc)(abca2b2c2ab，cosC

a2b2c21，C(0,C.3

2ab 2a b 2 4 3 4 4（2）由正弦定理可知，sinA sinB sin 3 ，即a33

3sinb3

3sinB4 334 4 33

∴ab3

3(sinAsinB)

sinAsin

3A2 3sinA2cos

4sinA，

6 6 0A又∵ABC为锐角三角形，∴

2

，即，0B A 3 2 3则 A 3

，所以2

4sinA

64，3 6 3 综上ab的取值范围为(2 3,4].【点睛】边转角“角转边求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21（Ⅰ）【解析】

5（Ⅲ）1:55（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）E、ED、EAx轴，y轴，zE-xyz，利用向量A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．【详解】（Ⅰ）ABDBCD又在△ABD中，AE⊥BDE，AE⊂ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，E、ED、EAx轴，y轴，zE-xyz，设AB=BD=DC=AD=2，3则BE=ED=1，∴AE= 3，BC=2 3，BF= 3，则（，，（，，，（，-，，（，，3，3（ ，，，（3333

，，， 3DC 3,1,0，AD0,1, ，3 3由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为EA0,0, ，3设平面ADC的一个法向量n(x,y,z)，nDC 3xy0则 ，取