2017-2018学年高中物理创新设计物理教科版必修2：第二章 学案3 圆周运动的实例分析 圆周运动与人类文明（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案3圆周运动的实例分析圆周运动与人类文明(选学)[学习目标定位]1.进一步理解圆周运动的规律，在具体问题中会分析向心力的来源。2.会求非匀速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度.3。知道离心现象，会根据离心运动的条件判断物体的运动，了解离心运动的应用和防止。4.了解圆周运动在人类文明进程中的广泛应用,认识圆周运动对人类文明发展的重大影响．一、汽车过拱形桥1．汽车在拱形桥最高点时，向心力：F合＝mg－N＝meq\f(v2,R)。支持力：N＝mg－eq\f（mv2,R)＜mg，汽车处于失重状态．2．汽车对桥的压力N′与桥对汽车的支持N是一对相互作用力，大小相等，所以汽车通过最高点时的速度越大，汽车对桥面的压力就越小．二、“旋转秋千”1．运动特点：人及其座椅在水平面内做匀速圆周运动,悬线旋转形成一个圆锥面．图12．运动分析：将“旋转秋千”简化为圆锥摆模型(如图1所示)（1)向心力：F合＝mgtan_α(2)运动分析：F合＝mω2r＝mω2lsinα(3)缆绳与中心轴的夹角α满足cosα＝eq\f（g,ω2l)。三、火车转弯1．运动特点：火车转弯时做圆周运动，具有向心加速度，需要向心力．2．铁路弯道的特点：转弯处外轨略高于内轨，铁轨对火车的支持力斜向弯道的内侧，此支持力与火车所受重力的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力．四、离心运动1．离心运动：在做圆周运动时,由于合外力提供的向心力消失或不足，以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动叫做离心运动．2．离心运动的应用与防止(1）应用：离心机械比如洗衣机的脱水筒、离心机．（2）防止：汽车行驶在转弯的地方，不允许超过限定值，以免因为离心运动造成交通事故．一、汽车过拱形桥[问题设计］1．质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出汽车受力分析图，并求出汽车通过桥的最高点时对桥的压力．汽车的重力与汽车对桥的压力谁大？答案在最高点，对汽车进行受力分析，如图所示;由牛顿第二定律列方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力N′＝N＝mg－meq\f（v2，R)可见，汽车对桥的压力N′小于汽车的重力mg，并且，压力随汽车速度的增大而减小．2．当汽车通过凹形桥最低点时,汽车对桥的压力比汽车的重力大还是小呢？请同学们自己分析．答案汽车在凹形桥的最低点时对桥的压力大小为（受力分析如图)N′＝N＝mg＋eq\f（mv2,R）>mg。比汽车的重力大．[要点提炼］图21．汽车过拱形桥（如图2）汽车在最高点满足关系:mg－N＝meq\f（v2,R），即N＝mg－meq\f（v2,R).（1）当v＝eq\r(gR）时,N＝0。（2）当0≤v<eq\r(gR)时，0〈N≤mg.(3)当v〉eq\r(gR）时,汽车将脱离桥面做平抛运动,发生危险．图32．汽车过凹形桥(如图3）汽车在最低点满足关系：N－mg＝eq\f（mv2,R)，即N＝mg＋eq\f(mv2，R）。由此可知,汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．二、“旋转秋千"［问题设计］图4“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型（如图4所示)，当小球在水平面内做圆周运动时,回答下列问题：(1）小球受到几个力的作用?什么力提供小球做圆周运动的向心力?（2)小球在水平方向上有无加速度?在竖直方向有无加速度?（3）“旋转秋千”缆绳与中心轴的夹角与所乘坐人的质量有关吗？答案(1)受重力和绳子的拉力两个力的作用；绳子的拉力和重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．(2)在水平方向做圆周运动有向心加速度．在竖直方向无加速度．（3)如图所示,设绳长为l，小球的质量为m,缆绳与中心轴的夹角为α,匀速圆周运动的角速度为ωF合＝mgtanαr＝lsinα由牛顿第二定律得F合＝mω2r以上三式联立得cosα＝eq\f（g,ω2l）由此可以看出，缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千"的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关．［要点提炼］1．向心力：做圆锥摆运动的小球在水平面内做匀速圆周运动的向心力是由其受到的重力和悬线拉力T的合力F合提供，即F合＝mgtan_α。2．动力学方程:mgtanα＝mω2lsin_α.3．圆锥摆的周期T＝eq\f（2π,ω)＝2πeq\r（\f（lcosα，g）)。三、火车转弯[问题设计］图5火车转弯时的运动是圆周运动,分析火车的运动回答下列问题:(1)如图5所示，如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用?需要的向心力由谁来提供？(2)（1)中获得向心力的方法好不好？为什么？若不好，如何改进？(3)当轨道平面与水平面之间的夹角为α，转弯半径为R时,火车行驶速度多大轨道才不受挤压？答案（1)轨道水平时，火车受重力、支持力、轨道对轮缘的弹力、向后的摩擦力，向心力由轨道对轮缘的弹力来提供．(2)这种方法不好，因为火车的质量很大，行驶的速度也不小,轮缘与外轨的相互作用力很大，铁轨和车轮极易受损．改进方法：在转弯处使外轨略高于内轨，使重力和支持力的合力提供向心力，这样外轨就不受轮缘的挤压了．(3）火车受力如图所示，则F合＝mgtanα＝eq\f(mv2，R）所以v＝eq\r（gRtanα)［要点提炼］1．向心力来源：在铁路转弯处,内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供,即F＝mgtan_α.2．规定速度:若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtanα＝eq\f(mv\o\al（2,0）,R)，故v0＝eq\r（gRtanα）,其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．(1）当v＝v0时，F＝F合，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力,这就是设计的限速状态．（2)当v>v0时,F〉F合,即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．(3)当v<v0时，F〈F合，即所需向心力小于支持力和重力的合力，这时内轨对车轮有侧压力，以抵消向心力过大的部分．一、汽车过拱形桥问题例1一辆质量m＝2t的轿车，驶过半径R＝90m的一段凸形桥面，g＝10m/s2，求:(1)轿车以10m/s的速度通过桥面最高点时,对桥面的压力是多大?(2）在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？解析(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：合力F＝mg－N,由向心力公式得mg－N＝meq\f（v2,R），故桥面的支持力大小N＝mg－meq\f(v2,R)＝(2000×10－2000×eq\f（102,90)）N≈1。78×104N根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104N.（2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F′＝mg－N′＝0。5mg，而F′＝meq\f（v′2，R）,所以此时轿车的速度大小v′＝eq\r（0.5gR）＝eq\r（0.5×10×90）m/s≈21。2m/s答案(1)1。78×104N（2)21。2m/s二、圆锥摆模型图6例2如图6所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动,以下物理量大小关系正确的是（）A．速度vA＞vBB．角速度ωA＞ωBC．向心力FA＞FBD．向心加速度aA＞aB解析设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F合＝eq\f(mg,tanθ),由F＝F合＝eq\f（mg,tanθ）＝mω2r＝meq\f（v2,r)＝ma,知向心力FA＝FB，向心加速度aA＝aB，选项C、D错误；因rA＞rB,又由v＝eq\r（\f(gr，tanθ))和ω＝eq\r(\f(g，rtanθ））知vA＞vB、ωA＜ωB,故A对，B错．答案A三、火车转弯例3图7铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq\r(gRtanθ），则（）A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C．这时铁轨对火车的支持力等于eq\f(mg，cosθ)D．这时铁轨对火车的支持力大于eq\f（mg,cosθ)解析由牛顿第二定律F合＝meq\f(v2,R）,解得F合＝mgtanθ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncosθ＝mg，则N＝eq\f（mg,cosθ），内、外轨道对火车均无侧向压力，故C正确,A、B、D错误．答案C四、对离心运动的理解图8例4如图8所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23。最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所允许的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9。8m/s2）解析在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m,则fm＝μmg，则有meq\f(v\o\al（2，m)，R）＝μmg,vm＝eq\r（μgR）,代入数据可得vm≈15m/s＝54km/h.当汽车的速度超过54km/h时，需要的向心力meq\f(v2,R）大于最大静摩擦力,也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．答案54km/h汽车做离心运动或出现翻车事故1．(交通工具的转弯问题)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须(）A．减为原来的eq\f（1，2)B．减为原来的eq\f(1,4)C．增为原来的2倍D．增为原来的4倍答案D解析汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面间的动摩擦因数为μ,汽车转弯的轨道半径为r,则μmg＝meq\f(v2，r）,故r∝v2，故速率增大到原来的2倍时,转弯的轨道半径增大到原来的4倍，D正确．图92．（圆锥摆模型)两个质量相同的小球,在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A运动的半径比B的大，则(）A．A所需的向心力比B的大B．B所需的向心力比A的大C．A的角速度比B的大D．B的角速度比A的大答案A解析小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力,设悬线与竖直方向夹角为θ，则F＝mgtanθ＝mω2lsinθ，θ越大，向心力F越大，所以A对，B错;而ω2＝eq\f(g,lcosθ)＝eq\f(g，h)。故两者的角速度相同，C、D错．图103．（对离心运动的理解）如图10所示，光滑水平面上,质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是(）A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动B．若拉力突然变小,小球将沿轨迹Pb做离心运动C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动答案BC解析若拉力突然变大,则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A错误．若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动,B正确,D错误．若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线运动，C正确。题组一汽车过拱形桥问题图11．如图1所示,汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车在水平面上匀速行驶时弹簧长度为L1，当汽车以同一速度通过一个桥面为弧形的拱形桥的最高点时弹簧长度为L2，则()A．L1＝L2B．L1〉L2C．L1〈L2D．前三种情况均有可能答案B解析汽车在水平面上时，kL1＝mg；汽车在拱形桥最高点时,kL2<mg，所以L1>L2。图22．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上（如图2所示),顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0＝eq\r(Rg），则物体将(）A．沿球面下滑至M点B．沿球面下滑至某一点N,便离开球面做斜下抛运动C．沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动D．立即离开半圆球做平抛运动答案D解析当v0＝eq\r(gR)时，所需向心力F＝meq\f（v\o\al（2，0）,R）＝mg,此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．题组二圆锥摆模型3．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于(）A．meq\r（g2＋\f（v4，R2))B．meq\f（v2,R)C．meq\r（\f（v4,R2)－g2)D．mg答案A解析空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空;其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F升，两力的合力为F，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F垂直，故F升＝eq\r（m2g2＋F2),又F＝meq\f(v2，R)，联立解得F升＝meq\r(g2＋\f（v4，R2)）。图34．如图3所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆）．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(）A．小球P运动的周期变大B．小球P运动的线速度变大C．小球P运动的角速度变大D．Q受到桌面的支持力变大答案BC解析对小球受力分析知,小球的合力为F合＝mgtanθ，因为mgtanθ＝mω2lsinθ，所以ω＝eq\r（\f（g,lcosθ）)，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大,则ω变大，又因为T＝eq\f(2π，ω)，所以周期变小，故A错，C对．在更高的水平面上运动时,小球的运动半径变大，由v＝ωr知v变大,B正确;绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力和，D错误．图45．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示,则杆的上端受到的作用力大小为(）A．mω2RB.eq\r（m2g2－m2ω4R2）C.eq\r（m2g2＋m2ω4R2)D．不能确定答案C解析小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N＝eq\r（mg2＋F2）＝eq\r（m2g2＋m2ω4R2),根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N′＝N,C正确．图56．有一种叫“飞椅"的游乐项目如图5所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．答案ω＝eq\r（\f（gtanθ，r＋Lsinθ)）解析分析座椅的受力情况如图所示，座椅做匀速圆周运动的半径R＝r＋Lsinθ座椅做匀速圆周运动的向心力为重力和钢绳拉力的合力F合＝mgtanθ则由牛顿第二定律得：mgtanθ＝mω2R由此得：ω＝eq\r（\f（gtanθ,r＋Lsinθ)）题组三交通工具的转弯问题7．火车轨道在转弯处外轨高于内轨,其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是（）A．当以v的速度通过此弯路时,火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力C．当速度大于v时,轮缘挤压外轨D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨答案AC解析当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A对，B错；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨,C对，D错．图68．如图6所示，质量相等的汽车甲和汽车乙,以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是（）A．f甲小于f乙B．f甲等于f乙C．f甲大于f乙D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关答案A解析汽车在水平面内做匀速圆周运动,摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力,即f＝F向＝meq\f(v2，r），由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，A正确．图79．赛车在倾斜的轨道上转弯如图7所示,弯道的倾角为θ,半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是（设转弯半径水平)（)A.eq\r(grsinθ)B.eq\r(grcosθ)C.eq\r（grtanθ)D.eq\r（grcotθ）答案C解析设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见:F合＝mgtanθ，而F合＝meq\f(v2,r)，故v＝eq\r(grtanθ)。题组四对离心运动的理解10．中央电视台《今日说法》栏目曾报道过发生在湖南长沙某公路上的离奇交通事故：在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图8所示．为了避免事故再次发生,很多人提出了建议，下列建议中不合理的是（）图8A．在进入转弯处设立限速标志,提醒司机不要超速转弯B．改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦C．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高D．改造此段弯路,使弯道内侧高、外侧低答案D11．人们常见的以下现象中，属于离心现象的是（)A．舞蹈演员在表演旋转动作时,裙子会张开B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动答案ABC解析裙子张开属于离心现象，伞上的雨水受到的力由于不足以提供向心力导致水滴做离心运动，黄沙或石子也是因为受到的力不足以提供向心力而做离心运动,守门员踢出足球，球在空中沿着弧线运动是因为足球在力的作用下运动，不是离心现象．12．洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，如图9所示,下列说法中正确的是(）图9A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的B．水会从桶中甩出是因为水滴受到向心力很大的缘故C．加快脱水筒转动角速度,脱水效果会更好D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好答案ACD解析脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，故A正确．水滴依附的附着力是一定的,当水滴因做圆周运动所需的向心力大于