2022-2023学年北京十二中学九年级数学第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞42．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（）A． B． C． D．3．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：24．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（）A．2005 B．2006 C．2007 D．20085．如图，在中，是的中点，，，则的长为（）A． B．4 C． D．6．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（）A．0<a≤ B．a≥ C．≤a＜ D．<a≤7．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A． B． C． D．8．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a＝2，则b的值是（）A． B． C．+1 D．+19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，四边形是边长为5的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则（）A． B． C． D．12．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．14．设，是关于的一元二次方程的两根，则______.15．如果点A（－1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x－1）2+h上，那么m的值为_____．16．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数的图象经过点B，则k的值是_____．17．学生晓华5次数学成绩为86，87，89，88，89，则这5个数据的中位数是___________.18．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．20．（8分）解方程（1）（用配方法）（2）（3）计算：21．（8分）已知：内接于⊙，连接并延长交于点，交⊙于点，满足．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，点为弧上一点，连接，=，过点作，垂足为点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，分别连接，，过点作，交⊙于点，，，连接，求的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在线段BA上以每秒3cm的速度点A运动，同时动点N从点C出发，在线段CB上以每秒2cm的速度向点B运动，其中一点到达终点后，另一点也停止运动.运动时间为t秒，连接MN.（1）填空：BM=cm.BN=cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（3）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．23．（10分）计算：（1）tan60°-+(3.14-π)0;（2）解方程：．24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，（1）求证：AE=DE；（2）若PB=2，求AE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．25．（12分）如图，在菱形中，点是边上一点，延长至点,使，连接求证:．26．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点.（1）求这个二次函数的表达式；（2）若是直线上方抛物线上一点；①当的面积最大时，求点的坐标；②在①的条件下，点关于抛物线对称轴的对称点为，在直线上是否存在点，使得直线与直线的夹角是的两倍，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【详解】当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜1．故选B．2、C【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k

经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．3、B【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE∴△DEF∽△BAF∴∵，∴DE：AB=2：5∵AB=CD，∴DE：EC=2：3故选B4、D【分析】由m是方程x2-2006x+1=0的一个根，将x=m代入方程，得到关于m的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】解：∵m是方程x2-2006x+1=0的一个根，∴m2-2006m+1=0，即m2+1=2006m，m2=2006m−1，则=====2006+2=2008故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5、D【解析】根据相似三角形的判定和性质定理和线段中点的定义即可得到结论．【详解】解：∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，

∴△BAC∽△ADC，

∴，

∵D是BC的中点，BC=6，

∴CD=3，

∴AC2=6×3=18，

∴AC=，

故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．6、C【分析】根据题意可知的对称轴为可知使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将代入中，使得，且将代入中使得即可求出a的取值范围.【详解】由题意可知的对称轴为可知对称轴再y轴的右侧，由与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)可知当时可求得使的x的取值范围内恰好只有一个整数时只要符合将代入中，使得，且将代入中使得即求得解集为：故选C【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.7、D【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：第一次第二次开始∴两次都是红球．故选D．【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．8、C【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b，所以面积＝（a+b）2，矩形的长和宽分别是2b+a，b，面积＝b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝2，求b的值，即可．【详解】解：根据图形和题意可得：（a+b）2＝b（a+2b），其中a＝2，则方程是（2+b）2＝b（2+2b）解得：，故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值．9、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：B．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．10、B【解析】试题分析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=1．故选B．考点：反比例函数系数k的几何意义．11、D【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．【详解】解：由旋转变换的性质可知，，∴正方形的面积＝四边形的面积，∴，，∴，，∴．故选D．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键．12、D【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝,∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案为1．考点：旋转的性质．14、－5.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方程的两根，那么，．15、1【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．16、．【分析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B的坐标代入反比例函数的解析式中，即可求出k的值.【详解】过点B作BC垂直OA于C，∵点A的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO是等边三角形，∴OC=1，BC=，∴点B的坐标是把代入，得故答案为．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；17、1【分析】根据中位数的概念求解即可．【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：86，87，1，89，89，

则这5个数的中位数为：1．

故答案为：1．【点睛】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．18、1150cm1【分析】设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，则两个正方形的边长分别是cm，cm，再列出二次函数，求其最小值即可．【详解】如图：设将铁丝分成xcm和（100﹣x）cm两部分，列二次函数得：y＝（）1+（）1＝（x﹣100）1+1150，由于＞0，故其最小值为1150cm1，故答案为：1150cm1．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题的关键是根据题意正确列出二次函数．三、解答题（共78分）19、（1）y＝；（2）P（0，2）或（－3，5）；（3）M（，0）或（，0）．【解析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出S△ACP＝×3×|n＋1|，S△BDP＝×1×|3−n|，进而建立方程求解即可得出结论；（3）设出点M坐标，表示出MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝32，再三种情况建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，∴a＝－1，b＝－1，∴A（－1，3），B（3，－1），∵点A（－1，3）在反比例函数y＝上，∴k＝－1×3＝－3，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设点P（n，－n＋2），∵A（－1，3），∴C（－1，0），∵B（3，－1），∴D（3，0），∴S△ACP＝AC×|xP−xA|＝×3×|n＋1|，S△BDP＝BD×|xB−xP|＝×1×|3−n|，∵S△ACP＝S△BDP，∴×3×|n＋1|＝×1×|3−n|，∴n＝0或n＝−3，∴P（0，2）或（−3，5）；（3）设M（m，0）（m＞0），∵A（−1，3），B（3，−1），∴MA2＝（m＋1）2＋9，MB2＝（m−3）2＋1，AB2＝（3＋1）2＋（−1−3）2＝32，∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时，∴（m＋1）2＋9＝（m−3）2＋1，∴m＝0，（舍）②当MA＝AB时，∴（m＋1）2＋9＝32，∴m＝−1＋或m＝−1−（舍），∴M（−1＋，0）③当MB＝AB时，（m−3）2＋1＝32，∴m＝3＋或m＝3−（舍），∴M（3＋，0）即：满足条件的M（−1＋，0）或（3＋，0）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．20、（1），；（2），；（3）【分析】（1）方程整理配方后，开方即可求出解；（2）把方程左边进行因式分解，求方程的解；（3）根据二次根式、特殊角的三角函数值、0次幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】（1），方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（2），，即，∴或，解得：，；（3）．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法以及实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的各种解法以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α，再根据圆周角定理以及三角形内角和与外角的性质证明∠ACB=∠ABC即可解决问题；

（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解决问题；

（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．假设OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，从而得出∠OHK=45°，再根据角度的转化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，从而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，进而可求出DG，AG的长，再通过勾股定理以及解直角三角形函数可求出FT，PT的长即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α．

∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，∴∠BAC=2α，

∵CD是直径，∴∠DAC=90°，

∴∠D=90°-α，∴∠B=∠D=90°-α，

∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．

∵=，∴DB=CF，

∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，

∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD=AZ，

∵AG⊥DZ，∴DG=GZ，

∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．

∵CP⊥AC，∴∠ACP=90°，∴PA是直径，

∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°，

∴四边形OKCR是矩形，∴RC=OK，

∵OH:PC=1:，∴可以假设OH=a，PC=2a，∴PR=RC=a，

∴RC=OK=a，sin∠OHK=，∴∠OHK=45°．

∵OH⊥DH，∴∠DHO=90°，∴∠DHA=180°-90°-45°=45°，

∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ADH=90°-45°=45°，

∴∠DHA=∠ADH，∴AD=AH，

∵∠COP=∠AOD，∴AD=PC，

∴AH=AD=PC=2a，

∴AK=AH+HK=2a+a=3a，

在Rt△AOK中，tan∠OAK=，OA=，∴sin∠OAK=，∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°，∴∠DAG=∠ACD，

∵AO=CO，∴∠OAK=∠ACO，

∴∠DAG=∠ACO=∠OAK，

∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，

∴AG=3DG，CG=3AG，

∴CG=9DG，

由（2）可知，CG=DG+CF，

∴DG+12=9DG，∴DG=，AG=3DG=3×=，

∴AD=，∴PC=AD=．∵sin∠F=sin∠OAK，∴sin∠F=，∴CT=，FT=，PT=，∴PF=FT-PT=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．22、（1）3t，8-2t；（2）△BMN与△ABC相似时，t的值为s或s；（3）t的值为.【分析】（1）根据“路程=时间×速度”和线段的和与差即可得；（2）由两三角形相似得出对应线段成比例，再结合题（1）的结果，联立求解即可；（3）如图（见解析），过点M作于点D，易证，利用相似三角形的性质求出CD和DM的长，再证，从而可建立一个关于t的等式，求解即可得.【详解】（1）由“路程=时间×速度”得：故答案为：；（2）当时，，即，解得当时，，即，解得综上所述，与相似时，t的值为或；（3）如图，过点M作于点D又∵∠B＝∠B，解得：或（不符题意，舍去），经检验是方程的解，故t的值为.【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.23、（1）2；（2)x1=2，x2=1．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义和零指数幂的运算法则计算即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：原式＝－+1+1＝2；（2），，或，∴x1=2，x2=1．【点睛】本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的运算法则和因式分解法是解题的关键．24、（1）详见解析；（3）AE=；（3）≤AE＜．【解析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，