线性代数B25-矩阵的秩习题s课件

线性代数B任课教师:胡凤珠线性代数B任课教师:胡凤珠1秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念．秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的．矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性等问题的重要工具．矩阵的秩秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念．矩阵2课本§2.6矩阵的秩

一、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的求法课本§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的3~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩

一、矩阵的秩的概念~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形4~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以借助行列式来定义矩阵的秩．一、矩阵的秩的概念~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形5112142111223

1123

6979A11

2142111223

1123

6979A1、k阶子式例如

1131是A的一个二阶子式说明

mn矩阵的k阶子式有个.CknCkm定义1

在mn矩阵A中任取k行k列位于这些行列

交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式1121421116故r(A)=0A=O．规定等于0零矩阵的秩矩阵A的秩，记作r(A)

或R(A)或rank(A)或秩(A)

定义2

设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D

且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0

那么数r称为矩阵A的秩

D

称为矩阵A的最高阶非零子式

2、矩阵的秩故r(A)=0A=O．规定7提示

例1和例2综合求矩阵A和B的秩其中在A中容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个|A|

经计算可知|A|0

因此r(A)2

解

以3个非零行的首非零元为对角元的3阶子式是一个上三角行列式它显然=24不等于0

因此r(B)3

B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数

提示例1和例2综合求矩阵A和B的秩83、矩阵的秩的性质

(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0

则r(A)s

若A中所有

t阶子式全为0

则r(A)t

(2)若A为mn矩阵则0r(A)min{m

n}

r(Am×n)min{m

n}

(4)对于n阶矩阵A

当|A|0时

r(A)n

当|A|0时

r(A)n

可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵

不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵

可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。

(3)

r(A)r(AT)，3、矩阵的秩的性质(1)若矩阵A中9

在秩是r

的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式?有没有等于0的r阶子式?

解答：可能有

.例如

r(A)3

是等于0的2阶子式

是等于0的3阶子式

补充例3在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶10定理1

若A与B等价则r(A)r(B)根据这一定理为求矩阵的秩

只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

二、矩阵的秩的求法问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。

即初等变换不改变矩阵的秩.定理1若A与B等价则r(A)r(B)11因为

解

例4求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式

其中

所以r(A)3

为求A的最高阶非零子式考虑由A的1、2、4列构成的矩阵又因A0的子式所以这个子式是A的最高阶非零子式

行变换可见r(A0)＝3,行阶梯形矩阵因为解例4求矩阵A12

例5即AB与B等价例5即AB与B等价13

例6例614小结(2)初等变换法1.矩阵的秩的概念2.求矩阵的秩的方法(1)定义法把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.寻找矩阵中非零子式的最高阶数;小结(2)初等变换法1.矩阵的秩的概念2.求矩阵的秩15P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,3216P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,3217P67:31练习题P67:31,32继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。P67:31练习题P67:31,32继续讨论x的值的18P67:32

练习题P67:31,32P67:32练习题P67:31,3219P67:32

练习题P67:31,32P67:32练习题P67:31,3220第一章P21,2第一章P21,221P21,5(3)P21,5(3)22P21,5(3)P21,5(3)23习题1-5,P25:5习题1-5,P25:524线性代数B25-矩阵的秩习题s课件25(4)P40:3(3)、(4),(3)(4)P40:3(3)、(4),(3)264P40-44P40-4276P40-66P40-628作业：P46:1(1),7(1)；P66:18

P46:1(1),求下列矩阵的逆矩阵作业：P46:1(1),7(1)；P66:18P46:1(1297(1)容易出错7(1)容易出错30P66:18P66:1831P66:22分块矩阵P66:22分块矩阵32P60:4(4),矩阵的初等变换P60:4(4),矩阵的初等变换33P60:4(4),矩阵的初等变换P60:4(4),矩阵的初等变换34P605(2)矩阵的初等变换P605(2)矩阵的初等变换35线性代数B25-矩阵的秩习题s课件36线性代数B25-矩阵的秩习题s课件37线性代数B25-矩阵的秩习题s课件38线性代数B25-矩阵的秩习题s课件39线性代数B25-矩阵的秩习题s课件40线性代数B25-矩阵的秩习题s课件41线性代数B25-矩阵的秩习题s课件42线性代数B25-矩阵的秩习题s课件43线性代数B25-矩阵的秩习题s课件44线性代数B25-矩阵的秩习题s课件45线性代数B25-矩阵的秩习题s课件46线性代数B25-矩阵的秩习题s课件47线性代数B25-矩阵的秩习题s课件48线性代数B任课教师:胡凤珠线性代数B任课教师:胡凤珠49秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念．秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的．矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性、向量组的线性相关性等问题的重要工具．矩阵的秩秩(rank)是矩阵更深层的性质，是矩阵理论的核心概念．矩阵50课本§2.6矩阵的秩

一、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的求法课本§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩的概念二、矩阵的秩的51~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩

一、矩阵的秩的概念~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形52~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形式唯一)矩阵常用的三种特殊的等价形式：由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可以借助行列式来定义矩阵的秩．一、矩阵的秩的概念~r行阶梯形矩阵~r行最简形矩阵~c标准形(形式不唯一)(形53112142111223

1123

6979A11

2142111223

1123

6979A1、k阶子式例如

1131是A的一个二阶子式说明

mn矩阵的k阶子式有个.CknCkm定义1

在mn矩阵A中任取k行k列位于这些行列

交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式11214211154故r(A)=0A=O．规定等于0零矩阵的秩矩阵A的秩，记作r(A)

或R(A)或rank(A)或秩(A)

定义2

设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D

且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0

那么数r称为矩阵A的秩

D

称为矩阵A的最高阶非零子式

2、矩阵的秩故r(A)=0A=O．规定55提示

例1和例2综合求矩阵A和B的秩其中在A中容易看出一个2阶子式A的3阶子式只有一个|A|

经计算可知|A|0

因此r(A)2

解

以3个非零行的首非零元为对角元的3阶子式是一个上三角行列式它显然=24不等于0

因此r(B)3

B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数

提示例1和例2综合求矩阵A和B的秩563、矩阵的秩的性质

(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0

则r(A)s

若A中所有

t阶子式全为0

则r(A)t

(2)若A为mn矩阵则0r(A)min{m

n}

r(Am×n)min{m

n}

(4)对于n阶矩阵A

当|A|0时

r(A)n

当|A|0时

r(A)n

可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵

不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵

可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。

(3)

r(A)r(AT)，3、矩阵的秩的性质(1)若矩阵A中57

在秩是r

的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式?有没有等于0的r阶子式?

解答：可能有

.例如

r(A)3

是等于0的2阶子式

是等于0的3阶子式

补充例3在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶58定理1

若A与B等价则r(A)r(B)根据这一定理为求矩阵的秩

只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩

二、矩阵的秩的求法问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。

即初等变换不改变矩阵的秩.定理1若A与B等价则r(A)r(B)59因为

解

例4求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式

其中

所以r(A)3

为求A的最高阶非零子式考虑由A的1、2、4列构成的矩阵又因A0的子式所以这个子式是A的最高阶非零子式

行变换可见r(A0)＝3,行阶梯形矩阵因为解例4求矩阵A60

例5即AB与B等价例5即AB与B等价61

例6例662小结(2)初等变换法1.矩阵的秩的概念2.求矩阵的秩的方法(1)定义法把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.寻找矩阵中非零子式的最高阶数;小结(2)初等变换法1.矩阵的秩的概念2.求矩阵的秩63P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,3264P67:31练习题P67:31,32P67:31练习题P67:31,3265P67:31练习题P67:31,32继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。P67:31练习题P67:31,32继续讨论x的值的66P67:32