福建省三明市2016届普通高中毕业班5月质量检查文科数学试题及答案

2016年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学试题（满分150分考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合,集合,则A．B.C.D.2．采用系统抽样方法从960人中，抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的32人中，做问卷C的人数为A.7B．9C．10D．153．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2B．3C．4D．64．已知向量，，函数，则的最小正周期是A．1B．2C．D．5．已知，是虚数单位，命题：在复平面内，复数对应的点位于第二象限；命题：复数的模等于2.若是真命题，则实数的值等于A．或1B．或C．D．6．已知，且，则A．B.C.D.77．从装有3个白球、2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是A.B.C.D.8．已知直线与圆相交于，两点，点和点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值可以是A．B．C．D．10．已知曲线与直线有且仅有一个公共点，则实数的最大值是A．-1B．0 C．1 D．211．已知球是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为的正四棱锥与一个高为的正四棱柱拼接而成，则球的表面积为A.B.C.D.12．已知函数若的两个零点分别为，，则A． B． C． D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22～24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知实数满足则目标函数的取值范围是.14．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为.16．在钝角△中，已知,则取得最小值时，角等于.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等比数列的各项都为正数，其前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．18．（本小题满分12分）某房地产公司的新建小区有A，B两种户型住宅，其中A户型住宅的每套面积为100平方米，B户型住宅的每套面积为80平方米．该公司准备从两种户型中各拿出10套试销售，下表是这20套住宅每平方米的销售价格（单位：万元/平方米）.12345678910A户型0.71.31.11.41.10.90.80.81.30.9B户型1.21.62.31.81.42.11.41.21.71.3（Ⅰ）根据上表数据，完成下列茎叶图，并分别求出A，B两类户型住宅每平方米销售价格的中位数；A户型B户型0.1.2.（Ⅱ）若该公司决定：通过抽签方式进行试销售，抽签活动按A、B户型分成两组，购房者从中任选一组参与抽签（只有一次机会），并根据抽签结果和自己的购买力决定是否购买（仅当抽签结果超过购买力时，放弃购买）．现有某居民获得优先抽签权，且他的购买力最多为120万元，为了使其购房成功概率更大，请你向其推荐应当参加哪个户型的抽签活动，并为他估计此次购房的平均单价（单位：万元/平方米）.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，是线段的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，设点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设动直线与曲线交于两点，且(其中为坐标原点)，试问：是否存在定圆，使得该圆恒与直线相切？说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数（其中为常数），且是的极值点．（Ⅰ）设曲线在处的切线为，求与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）求证：．请考生在22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙与⊙相交于两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙，⊙于点，与相交于点．（Ⅰ）求证:∥；（Ⅱ）若是⊙的切线，且，，

，求的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线：与曲线，的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数.（=1\*ROMANI）当时，求的解集；（=2\*ROMANII）若的解集包含集合，求实数的取值范围．2016年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案及评分标准一、选择题：1.C2.A3.A4.C5.D6.B7.C8.A9.B10.D11.C12.D二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.解：（Ⅰ）设数列的公比为，由，得，所以，因为数列各项都为正数，所以，………………2分所以，又,所以，………………4分所以数列的通项公式是，………………6分（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得，………8分所以，……………10分因为，所以，………………11分又，所以关于单调递增所以，综上所述：．………………12分18．解：（Ⅰ）A户型B户型98897314130.1.2.2684427331………………3分A户型住宅每平方米销售价格的中位数为；………………4分B户型住宅每平方米销售价格的中位数为．………………5分(II)若选择A户型抽签，限于总价120万元的购买力，每平方米的价格不得高于1.2万元，因此，有能力购买其中的7套，所以成功购房的概率是；………………7分若选择B户型抽签，同样限于总价120万元的购买力，则每平方米的价格不得高于1.5万元，因此，有能力购买其中的5套，所以成功购房的概率是，………………9分因为，所以选择A种户型抽签，能使购房成功的概率更大．………………10分此次购房每平方米的平均单价为万元．………12分19.解：（Ⅰ）在侧面中，，，是中点，∴，过作于，………………2分连结，∵底面是正方形，，即，∴是矩形，∴，………………3分又，,∴面，………………5分又∵面，∴．………………6分（=2\*ROMANII）由（I）知，∥平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离，………………7分∵底面是正方形，侧面底面，∴侧面，即侧面，∴，，在三棱锥中，设点到平面的距离为，则，………9分由于，∴，∴，∴，………………11分∴，即点到平面的距离为．………………12分20.解：（Ⅰ）因为点在线段的垂直平分线上，所以，………………1分所以，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆．………………3分设此椭圆方程为，则解得所以曲线的方程为．………………4分（=2\*ROMANII）当直线不垂直于轴时，设直线方程为，，，因为，所以，即，………………5分由得，………………6分所以△，……（*），．………………7分则，解得，代入可知不等式（*）成立，………………9分所以原点到直线的距离为，所以直线与圆相切．………………11分当直线垂直于轴时，不妨设点在轴上方，根据椭圆的对称性，易得直线的方程为，由得,所以原点到直线距离为，因此直线与圆相切．综上所述：存在定圆，使得该圆恒与直线相切.………………12分21．解法一：（Ⅰ）由已知可得，则或，而当与条件不符（舍去），∴． ………………2分所以，，从而，，故切线的方程为：， ………………4分与坐标轴的交点分别为，，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．………………6分（Ⅱ）对于，当时，；当时，，当时，．∴在上递减，在递增，故．………………8分又，令，则，从而，即． ………………10分故，但与不同时取得最值，所以上式等号不同时成立，即成立． ………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）对于，当时，；当时，，当时，．∴在上递减，在递增，故．………………8分令，则，当时，；当时，；当时，．∴在上递增，在递减，故，即，即． ………………10分故，但与不同时取得最值，所以上式等号不同时成立，即成立． ………………12分22．解：（Ⅰ）证明：连接，∵是⊙的切线，∴，………………3分又∵，∴，∴∥．………………5分（Ⅱ）设，，∵，，∴，①………………6分∵∥，∴QUOTEDPPE=APPC9+xy=62∴,=2\*GB3②………………7分QUOTE∴x=3y-9②由①②可得，或（舍去）………8分∴，∵是⊙的切线，∴，………………9分∴.………………10分23．解：（Ⅰ）由得，即，所以的极坐标方程为．………………3分由得，所以曲线的直角坐标方程为．………5分（Ⅱ）设射线：的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，…………6分且，联立得，