数学物理方法课件

数学物理方法柱函数数学物理方法柱函数1柱函数柱函数的基本性质贝塞尔方程本征值问题转动对称柱面问题一般柱面问题本章小结柱函数柱函数的基本性质2柱函数的基本性质m阶柱函数定义：分类：m阶贝塞尔函数m阶诺伊曼函数m阶汉克尔函数柱函数的基本性质m阶柱函数分类：3柱函数的基本性质柱函数的图象贝塞尔函数诺伊曼函数柱函数的性质对称性对整数阶柱函数有Zm(-x)=(-1)mZm(x)渐近性质零点分布递推公式柱函数的基本性质柱函数的图象4贝塞尔函数的图象贝塞尔函数的图象5诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象6柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行为：柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行为：7柱函数的零点分布由渐近公式，在x较大时由图象：m阶贝塞尔函数有无限多个正零点相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加柱函数的零点分布由渐近公式，在x较大时由图象：相邻阶贝塞8柱函数的递推公式基本递推公式推论二推论一柱函数的递推公式基本递推公式推论二推论一9递推公式的证明递推公式的证明10递推公式的应用递推公式的应用11递推公式的应用例题1例题2例题4例题3例题5递推公式的应用例题1例题2例题4例题3例题512贝塞尔方程的本征值问题转动对称柱面问题的分解一般本征值问题本征值问题本征值和本征函数正交性和完备性典型本征值问题有界和第一类边界条件有界和第二类边界条件两边第一类边界条件贝塞尔方程的本征值问题转动对称柱面问题的分解13转动对称柱面问题的分解转动对称柱面问题的分解14一般本征值问题本征值问题：令x=kρ,y(x)=R(ρ),问题化为：一般本征值问题本征值问题：令x=kρ,y(x)=15本征值和本征函数泛定方程的通解为：根据边界条件可以得出本征值：本征函数为：本征值和本征函数泛定方程的通解为：根据边界条件可以得出本征值16正交性和完备性模正交性完备性广义傅立叶系数为正交性和完备性模正交性完备性广义傅立叶系数为17有界和第一类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性和模：有界和第一类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性18有界和第一类边界条件完备性：广义傅立叶系数：有界和第一类边界条件完备性：广义傅立叶系数：19有界和第一类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[0,b]区间用m阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[020有界和第一类边界条件例2：把函数f=ρm在[0,b]区间用m阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例2：把函数f=ρm在[0,b]21有界和第一类边界条件例3：把函数f=ρ2在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例3：把函数f=ρ2在[0,b]22有界和第二类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性和模：有界和第二类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性23有界和第二类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第二类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[024有界和第二类边界条件例2：把函数f=1在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第二类边界条件例2：把函数f=1在[0,b]25两边第一类边界条件本征值问题为：代入边界条件：通解为：非零解条件：两边第一类边界条件本征值问题为：代入边界条件：通解为：非零解26转动对称柱面问题轴对称柱面问题(m=0时的特例)热传导问题波动问题稳定问题转动对称柱面问题热传导问题波动问题稳定问题转动对称柱面问题轴对称柱面问题(m=0时的特例)27轴对称热传导问题例题1半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为f=b2–ρ2，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。轴对称热传导问题例题1半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为28轴对称热传导问题例题2半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为f=Aρ2

，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。轴对称热传导问题例题2半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，29轴对称波动问题例题3半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面f=b2–ρ2，初始速度为零，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称波动问题例题3半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是30轴对称波动问题例题4半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为f=δ(ρ-c)，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称波动问题例题4半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为31轴对称稳定问题例题5半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温度分布为ρ2，求柱内的稳恒温度分布。解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。轴对称稳定问题例题5半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都32轴对称稳定问题例题6半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为A，下底的电势分布为Bρ2，求柱内的电势分布。解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。轴对称稳定问题例题6半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持33转动对称热传导问题例题7半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为f=Aρcosφ，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。转动对称热传导问题例题7半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度34转动对称波动问题例题8半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是ρ2sin2φ，初始速度为零，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。转动对称波动问题例题8半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状35转动对称稳定问题例题9半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为Aρsinφ，求柱内的稳恒温度分布。解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。转动对称稳定问题例题9半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底36一般柱面问题思路先把非对称的条件分解为三角函数;含三角函数的条件求出对称柱面解;再对所得对称柱面解进行叠加。一般热传导问题一般波动问题一般稳定问题一般柱面问题思路37一般热传导问题半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为f(ρ,φ)，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。一般热传导问题半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温38一般波动问题半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是f(ρ,φ)，初始速度为零，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。一般波动问题半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是f(ρ39一般稳定问题解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温度分布为f(ρ,φ)，求柱内的稳恒温度分布。一般稳定问题解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，40本章小结一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加；对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题;贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有界或齐次边界条件确定;典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等对于柱面问题的求解有重要作用。本章小结一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加；41数学物理方法柱函数数学物理方法柱函数42柱函数柱函数的基本性质贝塞尔方程本征值问题转动对称柱面问题一般柱面问题本章小结柱函数柱函数的基本性质43柱函数的基本性质m阶柱函数定义：分类：m阶贝塞尔函数m阶诺伊曼函数m阶汉克尔函数柱函数的基本性质m阶柱函数分类：44柱函数的基本性质柱函数的图象贝塞尔函数诺伊曼函数柱函数的性质对称性对整数阶柱函数有Zm(-x)=(-1)mZm(x)渐近性质零点分布递推公式柱函数的基本性质柱函数的图象45贝塞尔函数的图象贝塞尔函数的图象46诺伊曼函数的图象诺伊曼函数的图象47柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行为：柱函数的渐近性质x→0时的行为：x→∞时的行为：48柱函数的零点分布由渐近公式，在x较大时由图象：m阶贝塞尔函数有无限多个正零点相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加柱函数的零点分布由渐近公式，在x较大时由图象：相邻阶贝塞49柱函数的递推公式基本递推公式推论二推论一柱函数的递推公式基本递推公式推论二推论一50递推公式的证明递推公式的证明51递推公式的应用递推公式的应用52递推公式的应用例题1例题2例题4例题3例题5递推公式的应用例题1例题2例题4例题3例题553贝塞尔方程的本征值问题转动对称柱面问题的分解一般本征值问题本征值问题本征值和本征函数正交性和完备性典型本征值问题有界和第一类边界条件有界和第二类边界条件两边第一类边界条件贝塞尔方程的本征值问题转动对称柱面问题的分解54转动对称柱面问题的分解转动对称柱面问题的分解55一般本征值问题本征值问题：令x=kρ,y(x)=R(ρ),问题化为：一般本征值问题本征值问题：令x=kρ,y(x)=56本征值和本征函数泛定方程的通解为：根据边界条件可以得出本征值：本征函数为：本征值和本征函数泛定方程的通解为：根据边界条件可以得出本征值57正交性和完备性模正交性完备性广义傅立叶系数为正交性和完备性模正交性完备性广义傅立叶系数为58有界和第一类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性和模：有界和第一类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性59有界和第一类边界条件完备性：广义傅立叶系数：有界和第一类边界条件完备性：广义傅立叶系数：60有界和第一类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[0,b]区间用m阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[061有界和第一类边界条件例2：把函数f=ρm在[0,b]区间用m阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例2：把函数f=ρm在[0,b]62有界和第一类边界条件例3：把函数f=ρ2在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第一类边界条件例3：把函数f=ρ2在[0,b]63有界和第二类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性和模：有界和第二类边界条件本征值问题为：本征值和本征函数为：正交性64有界和第二类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第二类边界条件例1：把函数f=δ(ρ-c)在[065有界和第二类边界条件例2：把函数f=1在[0,b]区间用0阶贝塞尔函数展开。有界和第二类边界条件例2：把函数f=1在[0,b]66两边第一类边界条件本征值问题为：代入边界条件：通解为：非零解条件：两边第一类边界条件本征值问题为：代入边界条件：通解为：非零解67转动对称柱面问题轴对称柱面问题(m=0时的特例)热传导问题波动问题稳定问题转动对称柱面问题热传导问题波动问题稳定问题转动对称柱面问题轴对称柱面问题(m=0时的特例)68轴对称热传导问题例题1半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为f=b2–ρ2，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。轴对称热传导问题例题1半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为69轴对称热传导问题例题2半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为f=Aρ2

，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。轴对称热传导问题例题2半径为b的无限长圆柱体，柱面上绝热，70轴对称波动问题例题3半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面f=b2–ρ2，初始速度为零，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称波动问题例题3半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是71轴对称波动问题例题4半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为f=δ(ρ-c)，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。轴对称波动问题例题4半径为b的圆形膜，边缘固定，初始位移为72轴对称稳定问题例题5半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温度分布为ρ2，求柱内的稳恒温度分布。解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。轴对称稳定问题例题5半径为b，高为L的圆柱体，下底和侧面都73轴对称稳定问题例题6半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为A，下底的电势分布为Bρ2，求柱内的电势分布。解：以圆柱体的对称轴为z轴，下底中心为原点，建立柱坐标。轴对称稳定问题例题6半径为b，高为L的圆柱体，侧面电势保持74转动对称热传导问题例题7半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布为f=Aρcosφ，确定柱内温度u的变化。解：以圆柱体的对称轴为z轴，建立柱坐标。转动对称热传导问题例题7半径为b的无限长圆柱体，柱面上温度75转动对称波动问题例题8半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是ρ2sin2φ，初始速度为零，求膜的振动情况。解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。转动对称波动问题例题8半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状76转动对称稳定问题例题9半径为b，高为L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的温