2021-2022学年北京市大兴区高一(上)期末数学试卷【答案版】

第第17页（共15页）20212022学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知a＞0，则a•√𝑎=（ ）A．𝑎1 B．𝑎3 C．a2 D．a32 2已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，则（ ）A．﹣1∈A B．1∈A C．−√2∈𝐴 D．2∈A下列函数中在定义域上为减函数的是（ ）y＝x＝x C．＝2x

D．y＝x34．当0＜x＜2时，x（2﹣x）的最大值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．45．化𝑠𝑖𝑛𝜃+√3𝑐𝑜𝑠𝜃=（ ）A．2𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜋 B．

𝜋 C．

𝜋 D． 𝜋6) 2𝑠𝑖𝑛(𝜃−

2𝑠𝑖𝑛(𝜃+6)

2𝑠𝑖𝑛(𝜃+3)6𝜑=𝜋”是“函数＝+）为偶函数”的（ ）2C．充分必要条件7𝑓(𝑥)=4−

必要而不充分条件D𝑥，下列区间中包含f（x）零点的区间是（ ）A（01）

𝑥 2B1，） C2，） D45）M12M1 √3的初始位置坐标为（，

，则运动到3分钟时′的位置坐标是（ ）2A．(−√3，1)

2B．(√3

1 C．(−1，√3)

D．(1，−√3)2 2

−2)

2 2 2 2下列不等关系中正确的是（ ）A．𝑙𝑛2+𝑙𝑛3＞2𝑙𝑛52

B．𝑙𝑛3−𝑙𝑛2＞12ln2•ln3＜110．若函数𝑓(𝑥)={2𝑥−𝑎，𝑥＜1𝑥(𝑥−𝑎)，𝑥≥1

𝑙𝑛3 3＜𝑙𝑛2 2恰有2个零点，则a的取值范围是（ ）A（﹣∞）

B0，）

C0+∞） D[，）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。函数y＝tanx的最小正周期是 ．集合A＝{1，2}的非空子集是 ．将函数

𝜋的图象先向右平移个单位长度得到函数的图象再把图象上各点横坐标41缩短到原来的（纵坐标不变，得到函数＝ 的图象．2能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是f（x）＝ ，g（x）＝ ．已知任何一个正实数都可以表示成×1（a＜1∈，则a的取值范围是 100位数是 （参考数据20.301）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（14分）已知集合x1＜3＝4．A∪B，∁RB；xx2+ax+b＜0A∩Ba，b的值．17（14分）𝛼=−3，𝛼∈𝜋．5 2sin2α，cos2α的值；求

𝜋的值．𝑡𝑎𝑛(2𝛼+4)18（14分）已知函数）＝2si（φ＞0φπ）在一个周期内的图象如图所示．f（x）的解析式；f（x）[0，π]上的单调区间；∀x∈R，f（a﹣x）＝f（a+x）a值．19（14分）)=2

(1−𝑥2)．f（x）的定义域；f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）设＜＜2＜（1）（2．20（14分）已知函数）＝，（）．f（x）的单调递增区间；令函数（）（）（这两个条件中选择一个作为已知，求（）在区间[0，𝜋]上的最大值及取得最大值时x的值．2条件①：A＝1，ω＝2；条件②：A＝2，ω＝1．21（15分）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x次清洗前残留的农药量之比为，且（0）．已知用11残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．2（1）根据题意，直接写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；𝑓(𝑥)= 1 现用个单位量的水可以清洗一次也可以把水平均分成2份后清洗两次，1+𝑥2问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由；（3）𝑓(𝑥)= 𝑘 满足题意，直接写出一组参数k，c，r的值．1+𝑐𝑒−𝑟𝑥20212022学年北京市大兴区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知a＞0，则a•√𝑎=（ ）A．𝑎1 B．𝑎3 C．a2

D．a32解：a＞0，则a•√𝑎=a•

21𝑎2

=𝑎1

1 32=𝑎2．故选：B．已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，则（ ）A．﹣1∈A B．1∈A C．−√2∈𝐴 D．2∈A解：集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，则集合A为偶数集，2属于偶数，故选：D．下列函数中在定义域上为减函数的是（ ）A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2﹣x D．y＝x3解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x，是正比例函数，在定义域上为增函数，不符合题意；对于B，y＝lgx，是对数函数，在定义域上为增函数，不符合题意；＝（对于C，y＝2﹣x ＝（2

，是指数函数，在定义域上为减函数，符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，在定义域上为增函数，不符合题意；故选：C．4．当0＜x＜2时，x（2﹣x）的最大值为（ ）A．0

C．2 D．4所以x（2﹣x

）2＝1，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时取等号，此时x（2﹣x）取得最大值）≤（21．故选：B．𝜋𝜋5．化𝑠𝑖𝑛𝜃 √3𝑐𝑜𝑠𝜃=（ ）𝜋𝜋)A．2𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜋)6

𝜋B．2𝑠𝑖𝑛(𝜃−3)B．

C．2𝑠𝑖𝑛(𝜃

6) D．2𝑠𝑖𝑛(𝜃 3)√3 1 𝜋 𝜋√3 2 3 解𝜃+√𝜃＝2×（+2）＝（s n ）2si𝜃+3．2 3 故选：D．6𝜑=”是“函数＝+）为偶函数”的（ ）2C．充分必要条件

必要而不充分条件D解：由φ=𝜋，可得y＝sin（x+φ）＝sin（x+𝜋）＝cosx为偶函数，故充分性成立；2 2由函数y＝sin（x+φ）为偶函数，可得φ＝kπ+𝜋，k∈Z，不能推出φ=𝜋，故必要性不成立，2 2故“𝜑=y＝sin（x+φ）为偶函数”的充分而不必要条件，27𝑓(𝑥)=4−

𝑥，下列区间中包含f（x）零点的区间是（ ）A（01）

𝑥 2B1，） C2，） D45）𝑓(𝑥)=4−

𝑥是减函数，又f（2）＝2﹣1＝1＞0，𝑥 2f（4）＝1﹣log24＝﹣1＜0，f（2）f（4）＜0𝑓(𝑥)=4−

𝑥（2．故选：C．

𝑥 2M12M1 √3的初始位置坐标为（，

，则运动到3分钟时′的位置坐标是（ ）A．(−√3，1

2 2√3，1

1，√3

1，√3) B．( − 22 2 22

C．(−2

2)

−2)解：每12分钟转动一周，3312

𝜋×2𝜋= ，2设点M的初始位置坐标为α，α，则𝑐𝑜𝑠𝛼=1，𝑠𝑖𝑛𝛼=√3，2 2运动到3′的位置坐标是'𝛼+，

𝜋，即−√3 1故选：A．下列不等关系中正确的是（ ）

2 𝑠𝑖𝑛(𝛼+2)

，．2 2A．𝑙𝑛2+5 B．𝑙𝑛3−𝑙𝑛2＞12 2ln2•ln3＜1

𝑙𝑛3 3＜D．＜𝑙𝑛2 25= 25A错误；2ln ln2 4

3＜1

=𝑙𝑛√𝑒，故B错误；ln2 231 33对于C √＜ ＜ ，，∵=𝑙𝑛 2

𝑙𝑛2

𝑙𝑛𝑒4=461＝lne＜ln3＜ln𝑒5=1.2，∴ln2•ln3＜1，故C正确；D

𝑙𝑛3＞3

D错误．故选：C．

得 ，故𝑙𝑛2 210．若函𝑓(𝑥)={2𝑥−恰有2个零点，则a的取值范围是（ ）𝑥(𝑥−𝑎)，𝑥≥1A（﹣∞）

B0，）

C0+∞） D[，）（＝﹣（≥＝xa＜1至多一个零点，2𝑥−𝑎，𝑥＜1而函𝑓(𝑥)={ 恰有2个零点，𝑥(𝑥−𝑎)，𝑥≥1所以需满足（）（﹣a1）有1（）2﹣1有1个零点，所以

𝑎＜1，解得1≤a＜2，{ 𝑎≥{ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。函数y＝tanx的最小正周期是 π 解：函数y＝tanx的最小正周期是π，故答案为12．集合A＝{1，2}的非空子集是 {1}，{2}，{1，2} ．解：∵集合A＝{1，2}，∴集合A＝{1，2}的非空子集是{1}，{2}，{1，2}，故答案为：{1}，{2}，{1，2}．将函数y＝sinx 𝜋个单位长度得到函数y＝

𝜋 的图象先向右平移4

𝑠𝑖𝑛(𝑥− )41 𝜋横坐标缩短到原来的（纵坐标不变，得到函数＝𝑥2

) 的图象．4

𝜋 𝜋的图象先向右平移4个单位长度，得到函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝑥−4)1 𝜋

的图象，再把图象上各点4横坐标缩短到原来的（纵坐标不变，得到函𝑦=𝑥− 的图象．42故答案为：

𝜋； 𝜋𝑠𝑖𝑛(𝑥− 4

𝑠𝑖𝑛(2𝑥−4)能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函f（x）＝x2，x∈（﹣1，1），g（x）＝x2，x∈[0，1）．解：如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数，如：）＝，（，（），∈[1，它们的定义域不同，不是同一函数．（答案为不唯一），（1；2，∈[1．已知任何一个正实数都可以表示成×1（＜10Z则a的取值范围是 [）的位数是 31 （参考数据≈0.301）解：∵1≤a＜10，∴0＝lg1≤lga＜lg10＝1，即0≤lga＜1，∵lg2100＝100lg2≈100×0.3010＝30+0.10，∴2100＝1030+0.10＝a×103031[，；3．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（14分）已知集合x1＜3＝4．A∪B，∁RB；xx2+ax+b＜0A∩Ba，b的值．（）因为B＝2＜4，所以B＝{x|x＜2}，因为A＝{x|1＜x＜3}，所以A∪B＝{x|x＜3}，∁RB＝{x|x≥2}，（2）因为A∩B＝{x|1＜x＜2}，x2+ax+b＜0x2+ax+b＝01，2，所以{1+𝑎+𝑏=0，4+2𝑎+𝑏=0.解得a＝﹣3，b＝2．17（14分）𝛼=−3，𝛼∈𝜋．5 2sin2α，cos2α的值；求

𝜋的值．𝑡𝑎𝑛(2𝛼+4)（）2α＝，∵𝛼∈(−𝜋，0)，∴cosα＞0．23 4∵𝑠𝑖𝑛𝛼=−5，∴𝑐𝑜𝑠𝛼=√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=5．∴sin2α＝2sinαcosα=2×(−

3 4 24，)× =−，cos2α＝1﹣2sin2

5 5 2532 7；α=1−2×(−5)

=25（2）由（1）知𝑠𝑖𝑛2𝛼=−24，𝑐𝑜𝑠2𝛼=7，25 25∴𝑡𝑎𝑛2𝛼=𝑠𝑖𝑛2𝛼

=−24×25=−24．𝑐𝑜𝑠2𝛼 25 7 7𝜋 𝑡𝑎𝑛2𝛼+𝑡𝑎𝑛𝜋 −24+1 17则𝑡𝑎𝑛(2𝛼+4)=

4=1−𝑡𝑎𝑛2𝛼𝑡𝑎𝑛𝜋4

71+247

=−31．18（14分）已知函数）＝2si（φ＞0φπ）在一个周期内的图象如图所示．f（x）的解析式；f（x）[0，π]上的单调区间；∀x∈R，f（a﹣x）＝f（a+x）a值．𝑇 5𝜋（）如图可知，=

−(−

𝜋 )=

，所以T＝π．2 12 12 2𝑇

2𝜋，且ω＞0，所以ω＝2．|𝜔|因为图象过点(−

𝜋，2)，12所以，2𝑠𝑖𝑛(2×(−𝜋)+𝜑)=2，即 𝜋

，∴𝜋 𝜋∈𝑍，12即𝜑=2𝑘𝜋+2𝜋，𝑘∈𝑍．3

𝑠𝑖𝑛(−6+𝜑)=1 −6+𝜑=2𝑘𝜋+2因为0＜φ＜π，所以，𝜑=2𝜋，𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+2𝜋)．3 3（2）[0，π]f（x）[5𝜋11𝜋][05𝜋]，[11𝜋12 12 12 12（3）∵∀x∈R，f（a﹣x）＝f（a+x）都成立，故函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，结合图象可得函数f（x）的图象的一条对称轴为x=5𝜋，即a=5𝜋．12 1219（14分）)=2

(1−𝑥2)．f（x）的定义域；f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）设＜＜2＜1）（2．（）)=2

(1−𝑥2)，必有1﹣x2＞0，解可得﹣1＜x＜1，所以函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2

1−𝑥2的定义域是（，．（2）函数f（x）为偶函数，（﹣，1，都有∈（1，且𝑓(−𝑥)=𝑙𝑜𝑔2

(1−(−𝑥)2)=𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥2)=𝑓(𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥2)为偶函数．（3）证明：因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜𝑥1

2＜𝑥2

2＜1．−1−𝑥2

2＜−𝑥1

2＜0．所以0＜1−𝑥2

2＜1−𝑥1

2＜1．因为y＝log2x是增函数，所以𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥1

2)＞𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥2

2)．因为𝑓(𝑥1

)=𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥1

2)，𝑓(𝑥2

)=𝑙𝑜𝑔2

(1−𝑥2

2)，所以）＞（2．20（14分）已知函数）＝，（）2．f（x）的单调递增区间；令函数（）（）﹣（这两个条件中选择一个作为已知，求（）[0𝜋]x的值．2条件①：A＝1，ω＝2；条件②：A＝2，ω＝1．解（）函数＝x的单调增区间为𝜋 ，𝜋+]∈Z，[−2+2𝑘𝜋 2由𝜋 𝜋−2+2𝑘𝜋≤2𝑥≤2+2𝑘𝜋，k∈Z，解得𝜋 𝜋−4+𝑘𝜋≤𝑥≤4+𝑘𝜋，k∈Z，所以f（x）的单调增区间为𝜋 ，𝜋+𝑘𝜋]，k∈Z．[−4+𝑘𝜋 4u＝sin2x，𝑥∈[0𝜋]，2所以2x∈[0，π]，所以u∈[0，1]，所以y＝u2+u﹣1，u∈[0，1]，因为y＝u2+u﹣1在区间[0，1]上单调递增，所以当u＝1时，y＝u2+u﹣1取得最大值1，所以当𝑥=𝜋时，h（x）取得最大值1；4选择条件②：A＝2，ω＝1．h（x）＝sin2x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1=√2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋)−1，4令𝑢=2𝑥−𝜋，4𝑥∈[0𝜋]，2𝑢∈[−𝜋3𝜋]，4 4所以当𝑢=𝜋时，即𝑥=3𝜋时，h（x）取得最大值√2−1．2 821（15分）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为（，且（0）1．已知用11前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多