2017-2018学年同步备课套餐之高一物理泸科版必修二讲义 第二章 研究圆周运动第2章 2.3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。3圆周运动的案例分析[学习目标］1。通过向心力的实例分析，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用。2.能应用向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题。3。熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法.一、过山车问题1。向心力：过山车到轨道顶部A时,如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是重力mg跟轨道对车的弹力N的合力,即F向＝N＋mg.如图所示，过山车在最低点B,向心力F向＝N1－mg。图12。临界速度：当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小,v临界＝eq\r(gR）.(1）v＝v临界时,重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会脱离轨道。（2）v<v临界时，所需的向心力小于车所受的重力，过山车有向下脱离轨道的趋势.（3）v〉v临界时,弹力和重力的合力提供向心力,车子不会掉下来.二、运动物体的转弯问题1.自行车在水平路面转弯,地面对车的作用力与重力的合力提供转弯所需的向心力.2.汽车在水平路面转弯，所受静摩擦力提供转弯所需的向心力。3.火车转弯时外轨高于内轨，如图2所示，向心力由支持力和重力的合力提供。图2［即学即用]1。判断下列说法的正误.(1）汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的.（×)（2)火车转弯时,内、外轨道一样高。（×)（3)若铁路弯道的内外轨一样高，火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损.（√）(4)汽车行驶至凸形桥顶部时,对桥面的压力等于车重。(×)(5）汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重。（√)（6)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力。(×）2。飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图3所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r＝180m的圆周运动，如果飞行员质量m＝70kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360km/h，则这时飞行员对座椅的压力是________。（g取10m/s2)图3答案4589N解析飞机经过最低点时,v＝360km/h＝100m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力G和座椅的支持力N两个力的作用，根据牛顿第二定律得N－mg＝meq\f（v2,r）,所以N＝mg＋meq\f（v2，r）＝70×10N＋70×eq\f(1002，180）N≈4589N，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4589N。一、分析游乐场中的圆周运动[导学探究］如图4所示，过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是为什么呢？是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗？图4答案当过山车在最高点的速度大于eq\r(gR)时，重力和轨道对车向下的弹力提供向心力,所以车不会掉下来,与其它因素无关。[知识深化］竖直平面内的“绳杆模型"的临界问题1。轻绳模型(如图5所示)图5(1)绳(内轨道）施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).（2）在最高点的动力学方程T＋mg＝meq\f(v2，R).（3）在最高点的临界条件T＝0，此时mg＝meq\f(v2，R），则v＝eq\r（gR)。①v＝eq\r(gR)时，拉力或压力为零.②v>eq\r(gR）时，小球受向下的拉力或压力.③v〈eq\r(gR)时，小球不能到达最高点。即轻绳的临界速度为v临界＝eq\r（gR)。2。轻杆模型（如图6所示）图6(1）杆（双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力（或压力),也能施加向上的支持力。(2)在最高点的动力学方程当v＞eq\r(gR)时，N＋mg＝meq\f(v2，R)，杆对球有向下的拉力,且随v增大而增大。当v＝eq\r(gR)时，mg＝meq\f(v2，R)，杆对球无作用力.当v＜eq\r（gR)时，mg－N＝meq\f(v2,R),杆对球有向上的支持力.当v＝0时，mg＝N，球恰好能到达最高点.(3）杆类的临界速度为v临界＝0.例1公园里的过山车驶过最高点时，乘客在座椅里面头朝下.若轨道半径为R，人的质量为m。(1）若过山车安全通过最高点，必须至少具备多大的速度？(2）若过最高点时人对座椅的压力为2mg，则过山车在最高点时的速度是多大？答案(1）eq\r(gR）（2）eq\r(3gR）解析（1）人恰好通过最高点时，座椅对人的压力为零。人只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律。mg＝meq\f(v\o\al（2，1)，R)得：v1＝eq\r(gR），即为安全通过最高点的最小速度(2）若人对座椅的压力N′＝2mg，在最高点人受座椅向下的弹力和重力,两个力的合力提供向心力，有：mg＋N＝meq\f(v\o\al(2,2),R）得：v2＝eq\r（3gR）例2如图7所示，质量为m的小球固定在长为l的细轻杆的一端，绕轻杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动。球转到最高点时,线速度的大小为eq\r(\f(gl,2))，此时（）图7A。杆受到eq\f（1，2)mg的拉力 B.杆受到eq\f(1,2）mg的压力C.杆受到eq\f（3,2）mg的拉力 D.杆受到eq\f（3，2)mg的压力答案B解析以小球为研究对象,小球受重力和沿杆方向杆的弹力,设小球所受弹力方向竖直向下，则N＋mg＝eq\f（mv2，l），将v＝eq\r（\f（gl，2))代入上式得N＝－eq\f(1，2)mg,即小球在A点受杆的弹力方向向上,大小为eq\f（1,2)mg，由牛顿第三定律知杆受到eq\f（1,2）mg的压力.二、研究运动物体转弯时的向心力[导学探究]设火车转弯时的运动为匀速圆周运动.（1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨,试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点。（3）当轨道平面与水平面之间的夹角为α,转弯半径为R时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？(4)当火车行驶速度v〉v0＝eq\r(gRtanα)时，轮缘受哪个轨道的压力？当火车行驶速度v<v0＝eq\r(gRtanα）时呢?答案(1）如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲）;由于火车的质量太大,轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使铁轨和车轮极易受损。（2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧,它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙），从而减轻轮缘与外轨的挤压。（3）火车受力如图丙所示,则F＝mgtanα＝eq\f（mv2,R）,所以v＝eq\r（gRtanα）。(4)当火车行驶速度v>v0＝eq\r(gRtanα)时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度v<v0＝eq\r（gRtanα)时,重力和支持力的合力提供的向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力.［知识深化］1。自行车在转弯处，地面对自行车的作用力与重力的合力提供向心力.其表达式为mgtanθ＝meq\f（v2,R），即tanθ＝eq\f（v2，gR）.自行车倾斜的角度与自行车的速度和转弯半径有关。2.汽车在水平路面上转弯时，地面的静摩擦力提供向心力，其表达式为f＝meq\f（v2,R）.由于地面的静摩擦力不能大于最大静摩擦力，因此汽车在转弯处的速度不能大于eq\r(μgR）。3.火车转弯(1)向心力来源：在铁路的弯道处，外轨高于内轨，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时,向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供，如图8所示，即F＝mgtanθ.图8(2）规定速度:若火车转弯时，火车轮缘不受轨道侧压力，则mgtanθ＝eq\f（mv\o\al(2,0）,R)，故v0＝eq\r（gRtanθ），其中R为弯道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度。①当v＝v0时，F向＝F,即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力,这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态.②当v〉v0时，F向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力,这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分。③当v<v0时，F向<F，即所需向心力小于支持力和重力的合力，这时内轨对车轮有侧压力，以抵消向心力过大的部分.说明:火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似.例3铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道所在平面与水平面的夹角为θ,如图9所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于eq\r(gRtanθ)，则（)图9A。内轨对内侧车轮轮缘有挤压B。外轨对外侧车轮轮缘有挤压C.这时铁轨对火车的支持力等于eq\f（mg,cosθ）D。这时铁轨对火车的支持力大于eq\f(mg，cosθ)答案C解析由牛顿第二定律F合＝meq\f(v2,R）,解得F合＝mgtanθ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，Ncosθ＝mg，则N＝eq\f（mg，cosθ），内、外轨道对火车均无侧压力,故C正确，A、B、D错误.例4（多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图10，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处(）图10A。路面外侧高、内侧低B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D。当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小答案AC解析当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选项A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势,受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力,汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C正确;由mgtanθ＝meq\f（v\o\al(2,0),r）可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关,与路面的粗糙程度无关，选项D错误。火车转弯的或高速公路上汽车转弯的圆轨道是水平轨道，所以合力的方向水平指向圆心。解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源。1。（轻杆模型）(多选）如图11所示,细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0。5m，小球质量为3kg，现给小球一初速度使它做圆周运动,若小球通过轨道最低点a的速度为va＝4m/s，通过轨道最高点b的速度为vb＝2m/s,取g＝10m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是()图11A。在a处为拉力,方向竖直向下，大小为126NB。在a处为压力，方向竖直向上，大小为126NC.在b处为拉力,方向竖直向上,大小为6ND.在b处为压力，方向竖直向下,大小为6N答案AD解析小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力.在a点设细杆对球的作用力为Fa，则有Fa－mg＝eq\f(mv\o\al(2，a）,R），所以Fa＝mg＋eq\f（mv\o\al(2,a），R）＝（30＋eq\f（3×42，0.5))N＝126N，故小球对细杆的拉力为126N，方向竖直向下，A正确,B错误.在b点设细杆对球的作用力向上，大小为Fb,则有mg－Fb＝eq\f（mv\o\al（2，b)，R），所以Fb＝mg－eq\f（mv\o\al（2,b）,R）＝30N－eq\f（3×22，0。5)N＝6N，故小球对细杆为压力，方向竖直向下，大小为6N，C错误,D正确。2。(轻绳模型）杂技演员表演“水流星”,在长为1。6m的细绳的一端,系一个与水的总质量为m＝0。5kg的盛水容器,以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动,如图12所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s,则下列说法正确的是（g＝10m/s2)（)图12A。“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B。“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C。“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析水流星在最高点的临界速度v临界＝eq\r（gL）＝4m/s,由此知绳的拉力恰为零,且水恰不流出，故选B.3。(球在管形轨道中的运动）(多选）如图13所示,小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是（)图13A.小球通过最高点时的最小速度是eq\r(Rg)B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力,小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确。4.（竖直面内的圆周运动)如图14所示,某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器,滚筒内表面粗糙，内直径为D。工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动.为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则()图14A.滚筒的角速度应满足ω〈eq\r（\f(2g，D)）B。滚筒的角速度应满足ω>eq\r（\f(2g，D)）C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落答案A解析栗子在最高点恰好不脱离时有:mg＝m×eq\f(D,2)ω2,解得ω＝eq\r(\f（2g，D）），要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离,则ω<eq\r（\f（2g,D)），故A正确,B错误.栗子脱离滚筒的位置与其质量无关,故C错误.若栗子到达最高点时脱离滚筒,由于栗子的速度不为零，所以栗子的运动不是自由落体运动,故D错误.故选A。课时作业一、选择题（1～6题为单选题，7～10题为多选题）1。长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点。则下列说法中正确的是（)A。小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为meq\f(v\o\al（2，0)，L)C.小球过最高点时绳对小球的拉力为mgD.小球过最高点时速度大小为eq\r(gL)答案D解析小球刚好过最高点时，拉力T＝0，则mg＝eq\f(mv2，L），得v＝eq\r(gL），故A、C错误，D正确；开始时小球受到的拉力与重力的合力提供向心力,所以：T－mg＝eq\f（mv\o\al（2，0),L）,所以T＝mg＋eq\f（mv\o\al(2，0），L)，故B项错误，故选D。2。如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙。以下说法正确的是()图1A。f甲小于f乙B。f甲等于f乙C.f甲大于f乙D。f甲和f乙的大小均与汽车速率无关答案A解析汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向心＝meq\f(v2，r），由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙,A正确.3。如图2所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为（）图2A.0B。eq\r（gR）C。eq\r（2gR）D.eq\r（3gR）答案C解析由题意知F＋mg＝2mg＝meq\f(v2，R），故速度大小v＝eq\r(2gR),C正确.4.在铁路转弯处，往往外轨略高于内轨，关于这点下列说法不正确的是(）A.减轻火车轮子对外轨的挤压B.减轻火车轮子对内轨的挤压C。使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力D。限制火车向外脱轨答案B5。长度为1m的轻杆OA的A端有一质量为2kg的小球，以O点为圆心,在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3m/s，g取10m/s2，则此时小球将（）图3A.受到18N拉力 B.受到38N的支持力C.受到2N的拉力 D。受到2N的支持力答案D解析设此时轻杆拉力大小为F,根据向心力公式有F＋mg＝meq\f（v2,r)，代入数值可得F＝－2N，表示小球受到2N的支持力，选项D正确.6.在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低。如图4所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看做是半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d,路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向）摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于（）图4A。eq\r(\f(gRh，L））B。eq\r(\f(gRh，d）)C.eq\r(\f（gRL,h））D。eq\r（\f（gRd，h))答案B解析设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝meq\f（v2,R），又由数学知识可知tanθ＝eq\f(h，d)，联立解得v＝eq\r（\f（gRh,d）），选项B正确.7.火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动，当火车以规定速度通过时，内外轨道均不受侧向挤压，如图5。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是(）图5A.减小内外轨的高度差 B。增加内外轨的高度差C。减小弯道半径 D。增大弯道半径答案AC解析当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即F＝mgtanθ，而F＝meq\f(v2,R)，故gRtanθ＝v2，若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C正确，B、D错误.8.如图6所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为v0,则下列说法中正确的是(）图6A.若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内壁无压力B.若v0>eq\r(gR）,则小球对管内上壁有压力C。若0<v0〈eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D。不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f（v\o\al(2，0），R）解得v0＝eq\r（gR），因此小球对管内壁无压力，选项A正确.若v0>eq\r（gR），则有mg＋N＝meq\f（v\o\al（2,0)，R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B正确.若0<v0<eq\r（gR），则有mg－N＝meq\f(v\o\al（2,0),R),表明小球对管内下壁有压力，选项C正确.综上分析，选项D错误。9.长为l的轻杆一端固定着一个小球A,另一端可绕光滑水平轴O在竖直面内做圆周运动，如图7所示,下列叙述符合实际的是（)图7A.小球在最高点的速度至少为eq\r（gl)B.小球在最高点的速度大于eq\r（gl)时，受到杆的拉力作用C。当球在直径ab下方时，一定受到杆的拉力D.当球在直径ab上方时，一定受到杆的支持力答案BC解析小球在最高点的速度最小可以为0，选项A错误；球在最高点的速度大于eq\r(gl）时,向心力大于mg,一定受到杆的拉力作用，选项B正确；当球在直径ab下方时，重力和轻杆弹力的合力提供向心力，小球一定受到杆的拉力,选项C正确；当球在直径ab上方时，可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力，选项D错误。10.2013年6月20日，航天员王亚平在运行的“天宫一号”内上了节物理课，做了如图8所示的演示实验,当小球在最低点时给其一初速度，小球能在竖直平面内绕定点O做匀速圆周运动。若把此装置带回地球表面，仅在重力场中，仍在最低点给小球相同初速度