高三数学总复习必刷题系列之拔高训练 平面解析几何章末综合训练（有答案）

第九章解析几何9.4平面解析几何章末综合训练一、单选题(共16题)1．椭圆y249+x224=1A．48 B．24 C．2243 D．2．若圆C:x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，由点Pa,b向圆CA．4 B．25 C．3 3．已知双曲线x24−y2b2=1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、A．x24−C．x24−4．已知M是抛物线C：y2=−4x上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，则点M的横坐标为（A．－3 B．－2 C．－4 D．－235．已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点，定点Q2,0，线段MQ的垂直平分线交线段PMA．x236+C．x29+6．P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点，M,N分别为圆C:(x−3)A．1 B．2 C．3 D．47．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°A．3 B．4 C．6 D．128．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是FA．x23−y2=1 B．x9．抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若AB=8，则A．12 B．1 C．2 10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F2，O为坐标原点，M为A．104 B．106 C．5511．已知双曲线C:x2a2−A．1 B．2 C．0 D．412．已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l过F1A．(5,+∞) B．(1,5) C．13．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为FA．0，12 B．0，1314．直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（）A．a+b B．a+b2 C．ab D．15．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的右顶点为A，离心率为32，若直线l与椭圆C交于E,F两点(E,FA．−2 B．−65 C．2或6516．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C与直线y=kx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，曲线A．a=2B．双曲线C的渐近线方程为y=±4xC．若PF1⊥PD．双曲线C的离心率为5二、多选题(共4题)17．已知圆C：x−22+y2=1，直线l：x+y=0，点P在圆C上，点QA．直线l与圆C相交B．PQ的最小值为2C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是218．已知椭圆C：x29+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点PA．当∠F1B．PF1C．△PF1D．椭圆C上有且只有4个点P，使得△PF19．已知抛物线C：y2=4x，圆F：x−12+y2=14（F为圆心），点P在抛物线C上，点A．PQ的最小值是12 B．PFPAC．当∠PAQ最大时，AQ=152 D．当20．已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1A．∠F1PF2C．△PF1F2的内切圆半径是三、填空题(共6题)21．已知圆C:x2+y2−2x−2y+1=0，直线l:x+y−4=0，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA,MB，切点分别为A,B，则22．已知离心率e=52的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，23．已知点A2,0，抛物线C:x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交与点M，与其准线相交于点24．圆C的圆心C在抛物线y2=2x上,且圆C与y轴相切于点A,与x轴相交于P,Q两点,若OC⋅OA=925．圆x2+y2=4与y轴交于点A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的交点分别为C26．已知双曲线C:x2a2−4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E:y2四、解答题(共6题)27．已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x，且过点P(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线x=t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．28．已知离心率为22的椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)经过抛物线（1）求△COD面积；（2）动直线m与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x=1,x=2分别交于A,B两点，F2为椭圆的右焦点，证明A29．已知抛物线L:y2=2pxp>0，且过抛物线焦点F作直线交抛物线所得最短弦长为4，过点M5,0作斜率存在的动直线l（1）求抛物线L的方程；（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点Px0,0，使得直线PB30．设抛物线C:x2=2py0<p<8的焦点为F，点P是C上一点，且（1）求抛物线C的标准方程；（2）动直线l过点A0,2，且与抛物线C交于M,N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN31．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知N4,0，过点N作直线l与椭圆交于A,B不同两点，线段AB的中垂线为l'，线段AB的中点为Q点，记l'与y轴的交点为M32．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C,D

9.4平面解析几何章末综合训练(答案)一、单选题(共16题)1．椭圆y249+x224=1A．48 B．24 C．2243 D．【答案】B【详解】

结合椭圆性质,可以得到F

建立方程{y2−

故SΔ2．若圆C:x+12+y−22=2被直线2ax+by+6=0平分，由点Pa,b向圆CA．4 B．25 C．3 【答案】A【详解】因为圆x+12+y−22=2由圆的方程得圆心C−1,2，代入直线得−2a+2b+6=0，整理得a−b=3，因为点Pa,b，所以P为直线x−y=3因为PA与圆相切，所以PA⊥AC，PA=PC2−AC2=PC2故选：A.3．已知双曲线x24−y2b2=1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、A．x24−C．x24−【答案】D【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y不妨设A在第一象限，则Ax,b2x，x>0，∵四边形∴由对称性可得2x⋅bx=2b，又x>0，∴x=1，将A1,b2代入x2+y∴双曲线的方程为x2故选：D．4．已知M是抛物线C：y2=−4x上的一点，F为抛物线C的焦点，以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，则点M的横坐标为（A．－3 B．－2 C．－4 D．－23【答案】A【详解】设Mx0，y0(x0≤0)，因为以MF为直径的圆与y轴相切于点(0，3)，由抛物线性质知y故选：A.5．已知M为圆P:(x+2)2+y2=36的一个动点，定点Q2,0，线段MQ的垂直平分线交线段PMA．x236+C．x29+【答案】C【详解】根据题意，作图如下：易知NM=|NQ|，则NP+NM故点N的轨迹是以P,Q为焦点且长轴长为6的椭圆，设其方程为x2a2+y故b=a2−故选：C.6．P为椭圆x2100+y291=1上的一个动点，M,N分别为圆C:(x−3)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为C(3,0)，D(−3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为|PM|≥|PC|−1,|PN|≥|PD|−r，所以|PM|+|PN|≥|PC|+|PD|−1−r=2a−1−r.因为a2=100，得所以20−1−r=17，则r=2.故选：B.7．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，点P1,y0在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若∠FPQ=120°A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【详解】由题意可知，不妨令P在x轴上方，准线l与x轴交点为M,如图所示因为点P1,y0在C上，根据抛物线的定义可得PQ=PF=1+p2所以△FPQ为等腰三角形，且PQQF=1在Rt△QMF中，∠MQF=60°,即sin∠MQF=MFQF,即32=p3故选：A.8．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是FA．x23−y2=1 B．x【答案】D【详解】设F2B=m∴AF1=|AB|=4m，由设∠AF由余弦定理可知：(8a)由①，②得a2=1，又a2∴双曲线方程为x2故选：D.9．抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若AB=8，则A．12 B．1 C．2 【答案】C【详解】设过F且斜率为1的直线方程为y=x−p2,联立y=x−p设Ax1,∴|AB|=(1+1)x1故选:C.10．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A．104 B．106 C．55【答案】D【详解】设椭圆的左焦点为F1因为OA=OF所以tan∠A设AF1=m,A所以e=2c故选:D11．已知双曲线C:x2a2−y2A．1 B．2 C．0 D．4【答案】D【详解】由题意可得2<ca<3，即2<c2a2<3，即2<a2+b2a2<3，即1<ba<2，设k=ba，则双曲线C的渐近线方程为12．已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，直线l过F1A．(5,+∞) B．(1,5) C．【答案】C【详解】设过F1与渐近线y=bax平行的直线由题知F2到直线l的距离d>a，即d=|bc+bc|b所以离心率e=1+故选：C.13．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为FA．0，12 B．0，13【答案】D【详解】∵PF∴△PF1F2是以过F2作F2A⊥PF1交P所以cos∠P∵∠PF2F1∴cos∠P即12<a−c∴该椭圆的离心率的取值范围是13故选：D．14．直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M为RS的中点，则|MF|＝（）A．a+b B．a+b2 C．ab D．【答案】C【详解】①PQ与x轴不垂直时，如图所示，由抛物线的定义可得|QF|＝|QS|，|PF|＝|PR|．∴∠QFS＝∠QSF，∠PFR＝∠PRF，由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG＝∠QSF，∠RFG＝∠PRF．∴∠SFG+∠RFG＝90°，∴|MF|=1过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|＝|RS|．在Rt△PQN中，|PN|=|PQ|2∴|MF|=ab②当PQ⊥x轴时，也可|MF|＝p＝a＝b=ab综上可知：|MF|=ab故选：C．15．已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的右顶点为A，离心率为32，若直线l与椭圆C交于E,F两点(E,FA．−2 B．−65 C．2或65【答案】D【详解】由ca=32，结合a2=b故椭圆C的方程为x24+设Ex1,y1由AE⋅AF=0得(设直线l:y=kx+m，由y=kx+mx24+y由Δ>0得m2<4k2由x1x2−2(x将x1+x2=−则5m2+16km+12∴m=−2k(此时直线l过右顶点，应舍去)或m=−6则直线l的方程为y=kx−65k则直线l在x轴上的截距为65当l斜率不存在时，设l为x=t≠2，∵AE⋅AF=0，则AE⊥AF，根据椭圆对称性可知E、F的坐标为(t代入椭圆的方程可求得t=65或综上，直线l在x轴上的截距为65故选：D．16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点到渐近线的距离为1，又双曲线C与直线y=kx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，曲线A．a=2B．双曲线C的渐近线方程为y=±4xC．若PF1⊥PD．双曲线C的离心率为5【答案】C【详解】因为双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点到渐近线的距离为1，则设Ax1,y1，Bx2,y则x12a2−y1又kPA=y1−y0x1−x0所以双曲线C：x216−y双曲线C的渐近线方程为y=±14x若PF1⊥P所以PF1PF2故选：C.二、多选题(共4题)17．已知圆C：x−22+y2=1，直线l：x+y=0，点P在圆C上，点QA．直线l与圆C相交B．PQ的最小值为2C．到直线l的距离为1的点P有且只有2个D．从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2【答案】BC【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则d=2+02=对于A：因为d=2>1，所以直线l与圆对于B：由圆的几何性质可知：PQmin=d−r=2−1（此时对于C：设m：x+y+λ=0到直线l：x+y=0的距离为1.则λ2=1，所以当λ=2时，直线m1：x+y+2=0，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则d1=2+当λ=−2时，直线m2：x+y−2=0，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则d2=2−对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则CS⊥QS.所以切线长QS=C要使切线长最小，只需CQ最小，即CQ⊥l时，QS=C所以切线长的最小值为1.故D错误.故选：BC18．已知椭圆C：x29+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，点PA．当∠F1B．PF1C．△PF1D．椭圆C上有且只有4个点P，使得△PF【答案】BCD【详解】在椭圆中，a=3,b=6,c=3对于A，在△F1P即PF1又PF1+由②－①解得PF∴△PF1F对于B，设点Px0,PFPF∵−3<x0<3，0≤x∴PF1⋅对于C，当点P为椭圆的短轴顶点时，点P到x轴的距离最大，所以△F1P对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，tan∠F1PF22当PF1⊥F1当PF2⊥F1所以椭圆C上有且只有4个点P，使得△PF故选：BCD．19．已知抛物线C：y2=4x，圆F：x−12+y2=14（F为圆心），点P在抛物线C上，点A．PQ的最小值是12 B．PFPAC．当∠PAQ最大时，AQ=152 D．当【答案】AC【详解】抛物线C：y2=4x的焦点(1,0)，圆F：(x−1)2+y对于A，|PQ|的最小值是|PF|的最小值减去圆的半径，又|PF|的最小值是1，|PQ|的最小值是1−1对于B，设P(4t2,4t)，则|PF|当t=0时，|PF||PA|=1，当t≠0时，|PF|当且仅当16t2=1t2，即对于C，如图所示，要使∠PAQ最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，所以当∠PAQ最大时，|AQ|=|AF对于D，因∠PAQ的最小值为0°，即P，A，Q共线，则当∠PAQ最小时，即|AQ|∈3故选：AC20．已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F1A．∠F1PF2C．△PF1F2的内切圆半径是【答案】AB【详解】因为M，O分别是PF1，所以在△PF1F2中，对于A，因为直线PF1的倾斜角为π3对于B，Rt△PF1F2中，F所以PF1−P对于C，△PF1F2的周长为有6+23cr=2c⋅23对于D，ba=c故选：AB三、填空题(共6题)21．已知圆C:x2+y2−2x−2y+1=0，直线l:x+y−4=0，若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA,MB，切点分别为A,B，则【答案】3【详解】由C:x2+y2即半径|AC|=1，圆心C(1,1)，如图，由切线性质可知AC⊥AM，∴cos则∠ACB最小时，cos∠ACM最大，即|CM|所以CM⊥l，∴   |CM|=|1+1−4|所以|CN|=22，又kOC所以原点O到直线AB的距离为|ON|=|OC|+|CN|=2故答案为：322．已知离心率e=52的双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，【答案】2【详解】直径所对的圆周角为直角，故OA⊥AF，双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以OA=c2−b2=a，故直角三角形AOF23．已知点A2,0，抛物线C:x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交与点M，与其准线相交于点【答案】1:【详解】解：∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1)，点A∴抛物线的准线方程为l:y=−1，直线AF的斜率为k=0−1过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=∴|PM||PN|=1得|MN|=因此可得|FM|:|MN|=|PM|:|MN|=1:5故答案为：1:524．圆C的圆心C在抛物线y2=2x上,且圆C与y轴相切于点A,与x轴相交于P,Q两点,若OC⋅OA=9【答案】3【详解】解：由题知圆C的圆心C在抛物线y2=2x上,且圆C与y轴相切于点不妨设C(a,b)在第一象限,则A(0,b),圆C的方程为(x−a)2又OC⋅∴2a=b2即C(92,3),圆C设点C在x轴上的射影为D,则CD=3∴圆C被x轴截得的弦长PQ=2故答案为:325．圆x2+y2=4与y轴交于点A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左边的交点分别为C【答案】y【详解】设双曲线的方程为x2C(x',连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，作CE⊥AB交AB于E，则BC2∴t2=42−∴梯形的周长l=4+2t+2y'=−1∴当t=2时，l最大为10，此时，BC＝2，又点C在双曲线的上支上，且A，B为焦点，∴AC−BC=2a∴a=3−1，a2=4−23，而∴双曲线的方程为y2故答案为：y226．已知双曲线C:x2a2−4y2=1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E:y2【答案】2【详解】解：双曲线的渐近线方程为y=±x右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于34，可得a1+4a2=由题意可得p2=1，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4如图,过点M作MA⊥l1于点A，作MB⊥准线l2:x=−1于点C，连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，根据平面几何知识，可得当M、A.F三点共线时，MA+MF有最小值．∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为4−0+616+9∴MA+MF的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2.故答案为2.四、解答题(共0分)27．已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x，且过点P(1)求C的方程；(2)设Q（1，0），直线x=t（t∈R）不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，过Q点作QN⊥AD于N，证明：直线AD过定点M，且点N在以QM为直径的圆上．【答案】(1)x2【分析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=±3则可设双曲线的方程为x2将点P(3,2)代入得99所以双曲线C的方程为x2(2)显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ为x=my+1，Bx联立x23−y2依题意得m2−3≠0且Δ=4m2y1直线AD的方程为y+y令y=0，得x=x2−x1y1y2+y所以直线AD过定点M3,0过Q点作QN⊥AD于N，设QM的中点为R，若N和M不重合，则△QNM为直角三角形，所以|RN|=1若N和M重合，|RN|=1所以点N在以QM为直径的圆上．28．已知离心率为22的椭圆x2a2+y2b2=1,(a>b>0)经过抛物线（1）求△COD面积；（2）动直线m与椭圆有且仅有一个交点，且与直线x=1,x=2分别交于A,B两点，F2为椭圆的右焦点，证明A【答案】（1）23【详解】（1）因为焦点F(0,−1)，代入得b=1,e=ca=22∴x2∵直线的斜率为1，且经过(1,0)，则直线方程为y=x−1，联立x22+y2=1,y=x−1,∴|CD|=423，又原点O到直线y=x−1的距离d∴SΔCOD（2）根据题意可知直线m的斜率存在，可设直线m的方程为：y=kx+t，联立y=kx+t,x可得△=(4kt)2−4可知F2(1,0)，A(1,k+t)，则AF29．已知抛物线L:y2=2pxp>0，且过抛物线焦点F作直线交抛物线所得最短弦长为4，过点M5,0作斜率存在的动直线l（1）求抛物线L的方程；（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点Px0,0，使得直线PB【答案】（1）y2=4x（2）存在定直线x=−5【解析】（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义求出弦长的表达式，根据题意求出抛物线的方程；（2）设Aa2,2a，Bb2,2b，根据A,M,B三点共线，结合斜率公式，可得a,b的关系，利用解方程组，求出直线PB与直线【详解】（1）抛物线的焦点坐标为：F(p2,0)，过该焦点的直线方程为：x=my+p2C(x1,CD=x1+x2+p=my1+p2（2）设Aa2,2a，B得2a−2ba直线PB的斜率kBP=2bb2直线m的方程为y=2a，设直线PB与直线m的交点为N，联立x=b2−xN当x0=0时，故存在定直线x=−5，此时P0,030．设抛物线C:x2=2py0<p<8的焦点为F，点P是C上一点，且（1）求抛物线C的标准方程；（2）动直线l过点A0,2，且与抛物线C交于M,N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN【答案】（1）x2【详解】（1）依题意得F0,p2),设Px00+x0=2×2且p2+∵Px0,y0即p2−10p+16=0，解得p=2或∴抛物线C的