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文档简介

常微分方程讲义（四、五、六）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程

dyg(x)h(y)1 dyg(x)dxdx h(y)2、齐次方程（一般含有x或y的项）y xdyf(x,y)yux，可消去右边的xdxxy'yxtgyx

则xdudx

uf(x,ux)f(u)dy2x3yy4dx x

2xy3例：dy 2xydx x

y2例：dy 2xy

,y(0)1dx 3x

y2x2y2xx2y2dx3、一阶线性非齐次方程

dya(x)yb(x)dx常数变易法yeax)dx[b(x)eax)dxdxC]例：xdyyex0,y(1)edx例：(xdydx

nyex(x1)n1y'1xy1x211x211x24、贝努利方程

sin2ydx

2xsin2ye2dya(x)yb(x)yndx令zy1ndznyndy，代入得：dy dy yn a(x)y1nb(x) n)a(x)zn)b(x)dx dx可将伯努力方程化成一阶线性非齐次dyx2y2dx例：dy 1dx x2sinyxyxdyyxy3lnx)]dx0cosxdyysinxy4)dx0例：例：dy 1 yydx x1当b(x阶线性非齐次的特例5、全微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy0第一种情况：若MNy x则u(x,y)xx0

M(,y0

)yy0

N(x,)d或u(x,y)xx0

M,y)dyy0

N(x0

,)d方程解为u(x,y)C，其中(x,y0 0ydxxdy0、xdxydy0例：xdyydx0x2y2

)在定义域内任取例： x x xey)dxey

)dy0y例： y dx x dyxdx01x2y2 1x2y2例：(xy)dx(xy)dy(x2y2)dx例：yx5y4)dx(xx4y5)dy0例：(2x2y2y5)dx(2x32x)dy0第二种情况：若M

Ny x则找积分因子1、只存在与x有关的积分因子的充要条件是分因子(x)e(x)dx

1 M N，积( )(x)，积N y x2y积分因子(y)e(y)dy4x2y2dx(2x3y0例：(x4y4)dxxy3dy0例：(4xy3y4)dx(2x25xy3)dy0

1 N M，( )(y)，M x ydyydx x 可分离变量方程 齐次方程 “分”的思路 一阶线性非齐次方程 贝努力方程“凑”的思路：全微分方程6、可降阶的二阶微分方程d2dx2

f(x)x2yy(0)y'(0)1d2

f(xdy

p,则d2

dpdx2 xyy'lny'x

dx dx2 dxx2yy')210y''yexd2y

fydydy

p,d2y

pdpdx2

dx

dx2 dyy''e2y0y(0)0y'(0)1y''ye

0,y(0)0,y'(0)2例：求方程y')22yy0的在点yx相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性：例：

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