2019年高等数学录播视频及课件-11月12日精讲

⾼等数（五）常微分⽅程初主讲老师常微分⽅程初微分⽅程的定义解、通解、特解、初始条件y' yx2常微分⽅程初

y

的通解是 yy

yCx常微分⽅程初

y

的通解是（Dyy

yCx常微分⽅程初微分⽅ ye2y满⾜的特解是

ylncosylnsin

ylncosylnsin常微分⽅程初微分⽅ ye2y满⾜的特解是（B

ylncosylnsin

ylncosylnsin常微分⽅程初微分⽅程y5cosx的通解是 xlncos

yasect x

yy a 常微分⽅程初微分⽅程y5cosx的通解 y5cosxC1xxlncos

yasect

yyex a 常微分⽅程初dyf(x)g(y) 常微分⽅程初（1） xyy 的通常微分⽅程初 xyy 的通xdyydxdy1dx lnylnxxy

xy0y'y0常微分⽅程初 y'tanxyln 满⾜初始条件yx6常微分⽅程初 y'tanxyln 满⾜初始条件yx6dy1yln1

cotxdx dy cosxdxlnlnyylny sinx yecsin1ee cye2sin

lnsinx常微分⽅程初求微分⽅程y10xy满⾜初始条件

常微分⽅程初求微分⽅程y10xy满⾜初始条件dy10x10y dy10xdx 10y

dy

10xdx10y 10x1 c10y10x10yyx10c1110x10y11

ln10

ln10常微分⽅程初初始条件yx00的特解常微分⽅程初（4）求微分⽅程(1x2)dy(xxsin2y)dx0满初始条件yx00dy xdx1sin2 1x dxtany1ln(1x2)cos2 1 yx00Ctany1ln(1x22常微分⽅程初⽅程dyPx)yQx)dxdyP(x)dx,

P(x)dx,ln

P(x)dxyCeP(x)dx常微分⽅程初dyPx)yQx)dxyu(x)eP(x)yu(x)eP(x)dxu(x)[P(x)]eP(x)dxu(x)eP(x)dxQ(x),

u(x)Q(x)eP(x)dxdxCyeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC常微分⽅程初（1）

y1ysinx 常微分⽅程初

y1ysinx P(x)1,Q(x)sinx

y1yx1dx

sin 1

xyy'xyx

ex

dxC sin

ye1dxxe1dxdxCeln

elnxdx

exxexdxCx1sinxdxCxx1cosxCx

exxexexdxCx1Cex常微分⽅程初已知函数f(x)满⾜f(xf(x1f(0)=0，求f(x)常微分⽅程初（2）已知函数f(x)满⾜f(xf(x1,且求P(x)1,Q(x)f(x)e1dx

1e1

dxCex1exdxCCexf(0)0Ce010Cf(x)ex常微分⽅程初求yycosx 满⾜初始条yx0

常微分⽅程初（3）求yycosx 满⾜初始条yx0

yecosx

C

esinxecosxdxdxesinesin

CC

esinxesindx

dx esinx(Cxysinyx022 (C0)yesinx(2x)常微分⽅程初判断y的形式（1）y'

xyy'y 常微分⽅程初判断y的形式（1）lny1lnxyyex(xx2y2常微分⽅程初判断y的形式常微分⽅程初判断y的形式y'2xy;P(x)1;

y'y2xQ(x)2xye1dx[2xe1dxdxex[2xexdxc]2x2cexy(0)1;c3常微分⽅程初判断y的形式 M)* )M ) () / 常微分⽅程初判断y的形式 M)* )M )%#,+#.$'/,+1 ().>(/ CO

y yx1x

y

aC Cy'yaxx1 1

yax2axax(xye ( dxC)elnx(axelnxdxx(adxC)x(ax常微分⽅程初判断y的形式x（6）若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，且满⾜f(x)2x

f(t)dtx

求常微分⽅程初判断y的形式x（6）若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，且满⾜f(x)2x

f(t)dtx

求0 f(0)20

f(t)dt02

f(0)0.f'(x)2f(x)22dx 2

f(0)01Ce20f(x) 2xe dxC

Ce2x2xe2xdxC

2f(x)1e2xxe2xxe2x

e22

2x1Ce22常微分⽅程初判断y的形式（7 02 x1f2 f 1常微分⽅程初判断y的形式（7 02 x1f2 f 0fx 2yy1

1y 1 2ydy

dy 1 1

1 11y|x00c 1y2earctan fxy(earctanx1)2 常微分⽅程初⼆阶常系数齐次微分⽅程ypyqyr2prq p24r1r2r1r1,2yC1er1xC2er2y(C1C2x)er1yex(C1cosxC2sinx常微分⽅程初（1）y2y3y0常微分⽅程初（1）y2y3y022311,22yC1exCe3x2y2331 3,2312yCe3xCe12常微分⽅程初（2） y4y13y 的通常微分⽅程初（2） y4y13y 的通2413123i,22ye2x(C1sin3xC2cos3x)常微分⽅程初（3） yy6y0满⾜yx01,yx08的常微分⽅程初

yy6y

满

x0 r2r6r13r2yce3xce2 yx0c1c2yx03c12c2c12,c2y2e3xe2常微分⽅程初 求y2y5y0满 2, 常微分⽅程初（4）求y2y5y0满r22r5r112ir21

yx02,

x0 yex(Ccos2xCsin2x) yx0C1 y'ex(Ccos2xCsin2x)ex(2Csin2x2C yx0C12C20C2yex(2cos2xsin2x)常微分⽅程初求y2y1ky0常微分⽅程初（5）求y2y1ky0k22(1k)kk11k2k2

,211yC1k

k)xCe(1k)y(CCx)ex k12y