基本不等式及其应用课件

文数课标版第四节基本不等式及其应用文数第四节基本不等式及其应用

1.基本不等式(1)基本不等式

≤

成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当①

a=b

时等号成立.(3)其中②

称为正数a,b的算术平均数,③

称为正数a,b教材研读的几何平均数. 教材研读的几何平均数.22.几个重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3)

≥

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4)

+

≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.2.几个重要的不等式33.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤

x=y

时,x+y有最⑥小

值,是

⑦2

.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧

x=y

时,xy有最⑨大

值,是

.(简记:和定积最大)3.利用基本不等式求最值4

判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当a≥0,b≥0时,a+b≥2

.

(√)(2)两个不等式a2+b2≥2ab与

≥

成立的条件是相同的.

(×)(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).

(√)(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

(√)(5)函数y=x+

的最小值是2.

(×)(6)x>0且y>0是

+

≥2的充要条件.

(×) (2)两个不等式a2+b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同51.下列不等式中正确的是

()A.若a∈R,则a2+9>6aB.若a,b∈R,则

≥2C.若a,b>0,则2lg

≥lga+lgbD.若x∈R,则x2+

>1答案

C∵a>0,b>0,∴

≥

.∴2lg

≥2lg

=lgab=lga+lgb.1.下列不等式中正确的是 ()62.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为

()A.80

B.77

C.81

D.82答案

C∵x>0,y>0,x+y=18,∴18=x+y≥2

,即

≤9,∴xy≤81.故xy的最大值为81.3.已知x,y>0且x+4y=1,则

+

的最小值为

()A.8

B.9

C.10

D.11答案

B∵x+4y=1(x,y>0),∴

+

=

+

=5+

≥5+2

=5+4=9

当且仅当x=2y=

时,取等号

.2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为 (74.已知f(x)=x+

-2(x<0),则f(x)有

()A.最大值0

B.最小值0C.最大值-4

D.最小值-4答案

C∵x<0,∴f(x)=-

-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=

,即x=-1时取等号.∴f(x)有最大值-4.4.已知f(x)=x+ -2(x<0),则f(x)有 (85.已知x<

,则函数y=4x-2+

的最大值为

.答案1解析∵x<

,∴5-4x>0,∴y=4x-2+

=-

+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=

,即x=1时,等号成立,故当x=1时,ymax=1.5.已知x< ,则函数y=4x-2+ 的最大值为

9考点一利用基本不等式求最值典例1(1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.

B.

C.

D.

(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则

+

的最小值为

.(3)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为

.答案(1)B(2)4(3)2

-3考点突破考点一利用基本不等式求最值考点突破10解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3

=

.当且仅当x=1-x,即x=

时,“=”成立.(2)∵a>b,b>0,a+b=1,∴

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,即

+

的最小值为4,当且仅当a=b=

时等号成立.(3)因为xy+2x+y=4,所以x=

.解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤11由x=

>0,得-2<y<4,又y>0,所以0<y<4,所以x+y=

+y=

+(y+2)-3≥2

-3,当且仅当

=y+2(0<y<4),即y=

-2时取等号.由x= >0,12方法技巧(1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为

定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求

解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过

添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还

有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.方法技巧131-1已知函数y=x-4+

(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于

()A.-3

B.2

C.3

D.8答案

C

y=x-4+

=x+1+

-5,因为x>-1,所以x+1>0,

>0,所以由基本不等式,得y=x+1+

-5≥2

-5=1,当且仅当x+1=

,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.1-1已知函数y=x-4+ (x>-1),当x=a时,y取141-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是

.答案6解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2

=2

.∵x+2y=2,∴3x+9y≥2

=6,当且仅当3x=32y,即x=1,y=

时取等号.1-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是151-3设x>-1,则函数y=

的最小值为

.答案9解析因为x>-1,所以x+1>0,所以y=

=

=

=x+1+

+5≥2

+5=9,当且仅当x+1=

,即x=1时,等号成立,故函数y=

的最小值为9.1-3设x>-1,则函数y= 的最小值为

.16考点二基本不等式的实际应用典例2(1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800

元,若每批生产x件,则平均仓储时间为

天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批

应生产产品

()A.60件

B.80件

C.100件

D.120件(2)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底

面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总

造价是

()A.80元

B.120元

C.160元

D.240元考点二基本不等式的实际应用17答案(1)B(2)C解析(1)设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是

元,仓储费用是

元,总的费用是

元,由基本不等式得

+

≥2

=20,当且仅当

=

,即x=80时取等号.(2)设底面相邻两边的长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=

4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2

=80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.答案(1)B(2)C18易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表

示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不

等式求最值.易错警示192-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10

元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以

后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年

增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=

(k>0,k为常数,n∈N),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值及f(n)的表达式;(2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?解析(1)当n=0时,由题意得k=8.从而f(n)=(100+10n)

-100n=1000-80

,n∈N.2-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销20(2)由(1)知f(n)=1000-80

≤1000-80×2×

=520,当且仅当

=

,即n=8时取等号.所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.(2)由(1)知f(n)=1000-80 ≤1000-821考点三含参问题典例3(1)已知不等式(x+y)

≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

()A.2

B.4

C.6

D.8(2)设x>y>z,且

+

≥

(n∈N)恒成立,则n的最大值为

()A.2

B.3

C.4

D.5答案(1)B(2)C解析(1)(x+y)

=1+a+

+

≥1+a+2

=(

+1)2(x,y,a>0),当且仅当y=

x时取等号,所以(x+y)·

的最小值为(

+1)2,于是(

+1)2≥考点三含参问题229恒成立.所以a≥4,故选B.(2)因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,不等式

+

≥

恒成立等价于n≤(x-z)

恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)≥2

,

+

≥2

,所以(x-z)·

≥2

×2

=4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n≤(x-z)

恒成立,只需使n≤4(n∈N),故n的最大值为4.9恒成立.所以a≥4,故选B.231.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正——各项都是

正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个条件缺

一不可.易错警示2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多

次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注

意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理

问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转

换是否有误的一种方法.1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正——各243-1已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,则m的最大值为

(

)A.9

B.12

C.18

D.24答案

B∵

+

≥

,且a>0,b>0,∴m≤

(a+3b)=6+

+

,又

+

≥2

=6

当且仅当

=

时等号成立

,∴m≤12,故m的最大值为12.3-1已知a>0,b>0,若不等式 + ≥ 恒成立,则m的253-2已知lga+lgb=0,则满足不等式

+

≤λ的实数λ的最小值是

.答案1解析由lga+lgb=0得ab=1(a>0且b>0),则

+

=

+

=

≤

=1(当且仅当a=b=1时等号成立),所以λ≥1,即实数λ的最小值是1.3-2已知lga+lgb=0,则满足不等式 + ≤λ的26文数课标版第四节基本不等式及其应用文数第四节基本不等式及其应用

1.基本不等式(1)基本不等式

≤

成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当①

a=b

时等号成立.(3)其中②

称为正数a,b的算术平均数,③

称为正数a,b教材研读的几何平均数. 教材研读的几何平均数.282.几个重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3)

≥

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4)

+

≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.2.几个重要的不等式293.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤

x=y

时,x+y有最⑥小

值,是

⑦2

.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧

x=y

时,xy有最⑨大

值,是

.(简记:和定积最大)3.利用基本不等式求最值30

判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当a≥0,b≥0时,a+b≥2

.

(√)(2)两个不等式a2+b2≥2ab与

≥

成立的条件是相同的.

(×)(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).

(√)(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

(√)(5)函数y=x+

的最小值是2.

(×)(6)x>0且y>0是

+

≥2的充要条件.

(×) (2)两个不等式a2+b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同311.下列不等式中正确的是

()A.若a∈R,则a2+9>6aB.若a,b∈R,则

≥2C.若a,b>0,则2lg

≥lga+lgbD.若x∈R,则x2+

>1答案

C∵a>0,b>0,∴

≥

.∴2lg

≥2lg

=lgab=lga+lgb.1.下列不等式中正确的是 ()322.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为

()A.80

B.77

C.81

D.82答案

C∵x>0,y>0,x+y=18,∴18=x+y≥2

,即

≤9,∴xy≤81.故xy的最大值为81.3.已知x,y>0且x+4y=1,则

+

的最小值为

()A.8

B.9

C.10

D.11答案

B∵x+4y=1(x,y>0),∴

+

=

+

=5+

≥5+2

=5+4=9

当且仅当x=2y=

时,取等号

.2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为 (334.已知f(x)=x+

-2(x<0),则f(x)有

()A.最大值0

B.最小值0C.最大值-4

D.最小值-4答案

C∵x<0,∴f(x)=-

-2≤-2-2=-4,当且仅当-x=

,即x=-1时取等号.∴f(x)有最大值-4.4.已知f(x)=x+ -2(x<0),则f(x)有 (345.已知x<

,则函数y=4x-2+

的最大值为

.答案1解析∵x<

,∴5-4x>0,∴y=4x-2+

=-

+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=

,即x=1时,等号成立,故当x=1时,ymax=1.5.已知x< ,则函数y=4x-2+ 的最大值为

35考点一利用基本不等式求最值典例1(1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.

B.

C.

D.

(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则

+

的最小值为

.(3)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为

.答案(1)B(2)4(3)2

-3考点突破考点一利用基本不等式求最值考点突破36解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3

=

.当且仅当x=1-x,即x=

时,“=”成立.(2)∵a>b,b>0,a+b=1,∴

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,即

+

的最小值为4,当且仅当a=b=

时等号成立.(3)因为xy+2x+y=4,所以x=

.解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤37由x=

>0,得-2<y<4,又y>0,所以0<y<4,所以x+y=

+y=

+(y+2)-3≥2

-3,当且仅当

=y+2(0<y<4),即y=

-2时取等号.由x= >0,38方法技巧(1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为

定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求

解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过

添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还

有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.方法技巧391-1已知函数y=x-4+

(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于

()A.-3

B.2

C.3

D.8答案

C

y=x-4+

=x+1+

-5,因为x>-1,所以x+1>0,

>0,所以由基本不等式,得y=x+1+

-5≥2

-5=1,当且仅当x+1=

,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.1-1已知函数y=x-4+ (x>-1),当x=a时,y取401-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是

.答案6解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2

=2

.∵x+2y=2,∴3x+9y≥2

=6,当且仅当3x=32y,即x=1,y=

时取等号.1-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是411-3设x>-1,则函数y=

的最小值为

.答案9解析因为x>-1,所以x+1>0,所以y=

=

=

=x+1+

+5≥2

+5=9,当且仅当x+1=

,即x=1时,等号成立,故函数y=

的最小值为9.1-3设x>-1,则函数y= 的最小值为

.42考点二基本不等式的实际应用典例2(1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800

元,若每批生产x件,则平均仓储时间为

天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批

应生产产品

()A.60件

B.80件

C.100件

D.120件(2)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底

面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总

造价是

()A.80元

B.120元

C.160元

D.240元考点二基本不等式的实际应用43答案(1)B(2)C解析(1)设每批生产产品x件,则每件产品的生产准备费用是

元,仓储费用是

元,总的费用是

元,由基本不等式得

+

≥2

=20,当且仅当

=

,即x=80时取等号.(2)设底面相邻两边的长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=

4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2

=80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.答案(1)B(2)C44易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表

示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不

等式求最值.易错警示452-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10

元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以

后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年

增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=

(k>0,k为常数,n∈N),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值及f(n)的表达式;(2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?解析(1)当n=0时,由题意得k=8.从而f(n)=(100+10n)

-100n=1000-80

,n∈N.2-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销46(2)由(1)知f(n)=1000-80

≤1000-80×2×

=520,当且仅当

=

,即n=8时取等号.所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.(2)由(1)知f(n)=1000-80 ≤1000-847考点三含参问题典例3(1)已知不等式(x+y)

≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

()A.2

B.4

C.6

D.8(2)设x>y>z,且

+

≥

(n∈N)恒成立,则n的最大值为