留数定理及其应用课件

第四章

留数定理及其应用第四章

留数定理及其应用1§4.1留数定理留数定理1：

D为有界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk,k=1(1)n外解析，上除zk外连续，则其中Res

f(zk)表示函数f(z)在点z=zk邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，成为函数f(z)在孤立奇点zk处的留数(residue)§4.1留数定理留数定理1：2证明的基本思想：利用解析函数的积分特征和级数特征使用Cauchy定理改变积分路线利用Laurent展开来计算积分证明的基本思想：3证：由Cauchy第二定理，有利用zk邻域的Laurent展开式，有证：由Cauchy第二定理，4定义定义5留数定理2：

D为无界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk（有限）,k=1(1)n和zn+1=∞外解析，上除zk外连续，则

留数定理2：6证：证：7几点说明：即使z=∞是可去奇点（或解析点）Resf(∞)也可能不为零留数定理1和2合起来叙述：沿有限长边界正向积分=2pi(其内所有孤立奇点的留数和)函数f(z)在全复平面所有奇点的留数之和为零几点说明：8留数计算：基本方法：计算积分求孤立奇点邻域Laurent展开负一次幂项系数留数计算：9特殊方法：线性性质有限（m阶）极点处留数无穷远孤立奇点处留数（非本性奇点）特殊方法：10证：设z0

是

f(z)的m阶极点

z0是

f(z)的m阶极点证：设z0是f(z)的m阶极点11求

m-1

阶导数：求m-1阶导数：12一阶极点在z=z0解析，且z0是的一阶零点一阶极点在z=z0解析，且z0是13证：设∞

是

f(z)的m阶极点

证：设∞是f(z)的m阶极点14例1求在处的留数例1求在处15例2求在其奇点处的留数

其极点为例2求在其奇点处的留数16例3求在其奇点处的留数。

单极点2i，三阶极点0例3求在其奇点处的留数。17第四章留数定理及其应用课件18例4求函数在所有有限孤立奇点和无穷远点处的留数例4求函数在所有有限孤立奇19例5求积分Oxy1i例5求积分Oxy1i20Oxy1iz1z2Oxy1iz1z221第四章留数定理及其应用课件22§4.2定积分计算问题的提出：处理问题的基本思想：用留数定理计算积分变换：abl1xxyc§4.2定积分计算问题的提出：abl1xxyc23变换：积分曲线变换（自变量变换）被积函数和积分曲线同时变换辅助函数和辅助闭曲线变换：24类型I三角函数的有理式积分

如果令z=eix,则积分路径变成单位圆的围道积分。•2xyOz平面•1x•0类型I三角函数的有理式积分如果令z=eix,则积分25因为

原积分变成•2xyOz平面•1x•0因为•xyOz平面•1x•26例1求积分例1求积分27例2求积分

被积函数有单极点例2求积分28第四章留数定理及其应用课件29积分的柯西主值：一般广义积分定义为

当R1=R2

时，称为I的积分主值

一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！

积分的柯西主值：一般广义积分定义为30类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；类型II无穷限广义积分31-R+RyCR•zkORx-R+RyCR•zkORx32第四章留数定理及其应用课件33类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在下半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在下半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；-R+RyCR•zkORx类型II无穷限广义积分-R+RyCR•zkORx34例3求积分

例3求积分35例4求积分

例4求积分36第四章留数定理及其应用课件37类型III无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地f(z)0；类型III无穷限广义积分38-R+RyCR•zkORx-R+RyCR•zkORx39约当(Jordan)引理：一致地约当(Jordan)引理：一致地40如果m<0,应改为下半平面计算如果m<0,应改为下半平面计算41Oy1Oy142例5求积分

例5求积分43例6求积分

例6求积分44第四章留数定理及其应用课件45类型IV无穷限和无穷值混合广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上有有限个单极点xj,j=1(1)N，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；类型IV无穷限和无穷值混合广义积分46•CRCj-RRO•CRCj-RRO47•CRCj-RRO•CRCj-RRO48•CRCj-RRO•CRCj-RRO49例7求积分

例7求积分50小结留数定理——柯西定理的特殊情况积分回路所围区域中只有被积函数的孤立奇点通过留数定理计算定积分将积分计算转化为孤立奇点处留数的计算本章基本要求：了解留数的意义，熟练掌握留数的求法熟练掌握利用留数定理计算实自变量函数的定积分的方法小结留数定理——柯西定理的特殊情况51第四章

留数定理及其应用第四章

留数定理及其应用52§4.1留数定理留数定理1：

D为有界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk,k=1(1)n外解析，上除zk外连续，则其中Res

f(zk)表示函数f(z)在点z=zk邻域洛朗展开式中负一次幂项系数，成为函数f(z)在孤立奇点zk处的留数(residue)§4.1留数定理留数定理1：53证明的基本思想：利用解析函数的积分特征和级数特征使用Cauchy定理改变积分路线利用Laurent展开来计算积分证明的基本思想：54证：由Cauchy第二定理，有利用zk邻域的Laurent展开式，有证：由Cauchy第二定理，55定义定义56留数定理2：

D为无界区域，为其分段光滑的边界，f(z)在D内除孤立奇点z=zk（有限）,k=1(1)n和zn+1=∞外解析，上除zk外连续，则

留数定理2：57证：证：58几点说明：即使z=∞是可去奇点（或解析点）Resf(∞)也可能不为零留数定理1和2合起来叙述：沿有限长边界正向积分=2pi(其内所有孤立奇点的留数和)函数f(z)在全复平面所有奇点的留数之和为零几点说明：59留数计算：基本方法：计算积分求孤立奇点邻域Laurent展开负一次幂项系数留数计算：60特殊方法：线性性质有限（m阶）极点处留数无穷远孤立奇点处留数（非本性奇点）特殊方法：61证：设z0

是

f(z)的m阶极点

z0是

f(z)的m阶极点证：设z0是f(z)的m阶极点62求

m-1

阶导数：求m-1阶导数：63一阶极点在z=z0解析，且z0是的一阶零点一阶极点在z=z0解析，且z0是64证：设∞

是

f(z)的m阶极点

证：设∞是f(z)的m阶极点65例1求在处的留数例1求在处66例2求在其奇点处的留数

其极点为例2求在其奇点处的留数67例3求在其奇点处的留数。

单极点2i，三阶极点0例3求在其奇点处的留数。68第四章留数定理及其应用课件69例4求函数在所有有限孤立奇点和无穷远点处的留数例4求函数在所有有限孤立奇70例5求积分Oxy1i例5求积分Oxy1i71Oxy1iz1z2Oxy1iz1z272第四章留数定理及其应用课件73§4.2定积分计算问题的提出：处理问题的基本思想：用留数定理计算积分变换：abl1xxyc§4.2定积分计算问题的提出：abl1xxyc74变换：积分曲线变换（自变量变换）被积函数和积分曲线同时变换辅助函数和辅助闭曲线变换：75类型I三角函数的有理式积分

如果令z=eix,则积分路径变成单位圆的围道积分。•2xyOz平面•1x•0类型I三角函数的有理式积分如果令z=eix,则积分76因为

原积分变成•2xyOz平面•1x•0因为•xyOz平面•1x•77例1求积分例1求积分78例2求积分

被积函数有单极点例2求积分79第四章留数定理及其应用课件80积分的柯西主值：一般广义积分定义为

当R1=R2

时，称为I的积分主值

一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！

积分的柯西主值：一般广义积分定义为81类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；类型II无穷限广义积分82-R+RyCR•zkORx-R+RyCR•zkORx83第四章留数定理及其应用课件84类型II无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在下半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在下半平面和实轴上时，一致地zf(z)0；-R+RyCR•zkORx类型II无穷限广义积分-R+RyCR•zkORx85例3求积分

例3求积分86例4求积分

例4求积分87第四章留数定理及其应用课件88类型III无穷限广义积分积分区间是(-,+);复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点zk,k=1(1)n外解析；当z在上半平面和实轴上时，一致地f(z)0；类型III无穷限广