第3讲 力与物体的曲线运动(一)-平抛、圆周和天体运动

第3讲力与物体的曲线运动(一)——平抛、圆周和天体运动1．(多选)(2012·新课标全国卷，15)如图1－3－1所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力．则()图1－3－1A．a的飞行时间比b的长B．b和c的飞行时间相同C．a的水平速度比b的小D．b的初速度比c的大解析小球做平抛运动，在竖直方向上满足h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))可知A错，B正确．在水平方向上x＝v0t，即v0＝x·eq\r(\f(g,2h))，且由题图可知hb＝hc＞ha，xa＞xb＞xc，则D正确，C错误．答案BD2．(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ，21)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图1－3－2所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处()图1－3－2A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小解析当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误．答案AC3．(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ，20)2012年6月18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是()A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C．如不加干预，天宫一号的轨迹高度将缓慢降低D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析由v＝eq\r(\f(GM,r))知两者的运行速度都小于第一宇宙速度，故A错误．轨道处的稀薄大气会对天宫一号产生阻力，不加干预其轨道会缓慢降低，同时由于降低轨道，天宫一号的重力势能一部分转化为动能，故天宫一号的动能可能会增加，B、C正确；航天员受到地球引力作用，此时引力充当向心力，产生向心加速度，航天员处于失重状态，D错误．答案BC4．(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ，20)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A．卫星的动能逐渐减小B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析在卫星轨道半径逐渐变小的过程中，地球引力做正功，引力势能减小，气体阻力做负功，机械能逐渐转化为内能，机械能减小，选项B正确，C错误．卫星的运动近似看作是匀速圆周运动，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，所以卫星的速度逐渐增大，动能增大，选项A错误．减小的引力势能一部分用来克服气体阻力做功，一部分用来增加动能，故D正确．答案BD5．(2014·新课标全国卷Ⅱ，15)取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,12)解析设物体水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h，由题意知eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgh，则v0＝eq\r(2gh)，物体落地的竖直速度vy＝eq\r(2gh)，则落地时速度方向与水平方向的夹角tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(\r(2gh),\r(2gh))＝1，则θ＝eq\f(π,4)，选项B正确．答案B6．(2014·新课标全国卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0－g,g0)B.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2)D.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g)解析由万有引力定律可知：在两极处Geq\f(Mm,R2)＝mg0，在赤道上：Geq\f(Mm,R2)－mg＝m(eq\f(2π,T))2R，地球的质量：M＝eq\f(4,3)πR3ρ，联立三式可得：ρ＝eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)，选项B正确．答案B7．(多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A．各地外行星每年都会出现冲日现象B．在2015年内一定会出现木星冲日C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析设地球的运转周期为T0、角速度为ω0、轨道半径为r0，则其他行星的轨道半径为r＝kr0①根据万有引力定律及牛顿第二定律得：eq\f(GMm,r\o\al(2,0))＝mωeq\o\al(2,0)r0②eq\f(GMm,r2)＝mω2r③联立①②③得：ω＝eq\f(1,\r(k3))ω0.各行星要再次冲日需满足：ω0t－ωt＝2π，即t＝eq\f(k\r(k),k\r(k)－1)T0，其中k＝1.5、5.2、9.5、19、30.根据上式结合k值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于1年，并且k值越大时间间隔越短，所以选项B、D正确，A、C错误．答案BD8．(多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20)如图1－3－3所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω图1－3－3A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝eq\r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg解析木块a、b的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力fm＝kmg相同．它们所需的向心力由F向＝mω2r知Fa<Fb.所以b一定比a先开始滑动，A项正确；a、b一起绕转轴缓慢地转动时，F摩＝mω2r，r不同，所受的摩擦力不同，B项错．b开始滑动时有kmg＝mω2·2l，其临界角速度为ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，选项C正确．当ω＝eq\r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力大小为Ff＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，选项D错误．答案AC主要题型：选择题和计算题知识热点(1)单独命题①平抛运动规律的考查②圆周运动规律的考查③天体运动、人造卫星问题的考查(2)交汇命题①平抛(类平抛)运动与圆周运动、功能关系等综合问题的考查②天体运动中的超重、失重问题．③结合牛顿运动定律、圆周运动、功能关系考查航天器的变轨、对接问题．物理方法(1)运动的合成与分解法(2)模型法命题趋势(1)2015年高考中，平抛运动规律及其研究方法、圆周运动仍是热点．(2)天体运动要突出物理与现代科学技术的结合，特别是与现代航天技术的联系会更加紧密．热点一平抛运动问题的分析1．(多选)(2014·高考押题卷六)2013年7月7日凌晨，海峡组合彭帅与谢淑薇在图1－3－4温布尔登网球公开赛女双决赛中，夺下温网女双冠军，拿下两人合作以来第一座大满贯双打桂冠．如图1－3－4所示，在网球的网前截击中，若网球运动员在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，则球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是()A．球的速度v等于Leq\r(\f(g,2H))B．球从击出至落地所用时间为eq\r(\f(2H,g))C．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关解析球做平抛运动，从击出至落地所用时间为t＝eq\r(\f(2H,g))，B正确；球的速度v＝eq\f(L,t)＝Leq\r(\f(g,2H))，A正确；球从击球点至落地点的位移为eq\r(H2＋L2)，这个位移与球的质量无关，C、D错误．答案AB2．(多选)倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断()图1－3－5A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交解析由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tanα＝2tanθ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tanα＝eq\f(gt,v0)，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相交，因此不会在空中相交，D项错误．答案BC3．(多选)(2014·湖南十三校3月联考)如图1－3－6所示，从地面上方不同高度处以水平速度va、vb抛出两小球a、b，结果a落在b初始位置的正下方，而b落在a初始位置的正下方，bc为过小球b初始位置的水平线，不计空气阻力，下列判断正确的有()图1－3－6A．两球抛出时的初速度va<vbB．若它们同时落地(不考虑它们在空中相碰弹射，可互不影响地通过)，它们可能在空中相遇C．若两小球同时抛出，它们不能在空中相遇D．若要使它们能在空中相遇，必须在a到达bc时将b抛出解析a、b两球平抛的竖直位移关系为ha＞hb，由h＝eq\f(1,2)gt2得，运动时间ta＞tb，a、b的水平位移x相同，由v0＝eq\f(x,t)得，va＜vb，A项正确，若它们同时落地，则a必须提前抛出，假设它们能在空中相遇，则相遇处位于同一高度，此时两球在竖直方向的分速度一定是vay＞vby，则两球不可能同时落地，即假设错误，故两球不可能在空中相遇，B项错误；若两球同时抛出，两球在同一时刻不在同一水平高度上，不可能在空中相遇，C项正确；在a到达bc水平线上时将b抛出，以后高度不再相同，所以两者不可能在空中相遇，D项错误．答案AC4.(多选)如图1－3－7所示，一个小球从高h＝10m处以水平速度v0＝10m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5m，则()图1－3－7A．小球运动到P点需要1sB．P、C之间的距离为eq\r(2)mC．小球撞击P点时速度的大小为10eq\r(2)m/sD．小球撞击P点时速度方向是垂直于斜面向下解析设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律，有5＋Lcos45°＝v0t，h－Lsin45°＝eq\f(1,2)gt2，联立解得L＝5eq\r(2)m，t＝1s，选项A正确，B错误；小球撞击P点时的水平速度v′＝v0＝10m/s，竖直速度vy＝gt＝10m/s，所以小球撞击P点时速度的大小为v＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝10eq\r(2)m/s，设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tanα＝eq\f(vy,v0)＝1，α＝45°，方向垂直于斜面向下，所以小球垂直于斜面向下撞击P点，选项C、D正确．答案ACD1．研究抛体运动的基本思路(1)求解落点的问题一般要建立水平位移和竖直位移之间的关系；(2)求解末速度的大小和方向的问题，一般要建立水平速度和竖直速度之间的关系；(3)要注意挖掘和利用合运动、分运动及题设情景之间的几何关系．2．平抛运动的三点提醒(1)平抛运动的速度是均匀变化的，速度变化的方向是竖直向下的；(2)平抛运动的水平位移随时间均匀变化，而竖直位移不随时间均匀变化，其总位移不随时间均匀变化；(3)平抛运动一般沿水平方向和竖直方向分解，也可以沿任意方向分解．热点二圆周运动问题的分析5．2013年6月20日上午10时，中国载人航天史上的首堂太空授课开讲．航天员做了一个有趣实验：T形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．航天员王亚平用手指沿切线方向轻推小球，可以看到小球在拉力作用下在某一平面内做圆周运动．从电视画面上可估算出细绳长度大约为32cm，小球2s转动一圈．由此可知王亚平使小球沿垂直细绳方向获得的速度为()A．0.1m/sB．0.5m/sC．1m/sD．2m/s解析在太空完全失重的环境下，小球在细绳的拉力作用下在某一平面内做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的周长为s＝2πR＝2π×0.32m＝2m，由s＝vT可得小球做匀速圆周运动的速度为v＝s/T＝1m/s，选项C正确．答案C6．(多选)如图1－3－8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看做质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2.则()图1－3－8A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N解析根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3m/s，水平分速度vx＝vytan45°＝3m/s，则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝meq\f(v\o\al(2,B),R)，vB＝vx＝3m/s，解得FNB＝－1N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误．答案AC7．(2014·珠海联考)如图1－3－9所示，平台上的小球从A点水平抛出，恰能无碰撞地进入光滑的斜面BC，经C点进入光滑水平面CD时速率不变，最后进入悬挂在O点并与水平面等高的弧形轻质筐内．已知小球质量为m，A、B两点高度差为h，BC斜面高2h，倾角α＝45°，悬挂弧形轻质筐的轻绳长为3h，小球可看成质点，弧形轻质筐的重力忽略不计，且其高度远小于悬线长度，重力加速度为g，试求：1－3－9(1)B点与抛出点A的水平距离x；(2)小球运动至C点速度vC的大小；(3)小球进入轻质筐后瞬间，轻质筐所受拉力F的大小．解析(1)小球运动至B点时速度方向与水平方向夹角为45°，设小球抛出时的初速度为v0，从A点至B点的时间为t，有h＝eq\f(1,2)gt2，tan45°＝eq\f(gt,v0)，x＝v0t解得x＝2h(2)设小球运动至B点时速度为vB，在斜面上运动的加速度为a，有vB＝eq\r(2)v0，a＝gsin45°veq\o\al(2,C)－veq\o\al(2,B)＝2a·eq\f(2h,sin45°)，解得vC＝2eq\r(2gh)(3)小球进入轻质筐后瞬间做圆周运动，由牛顿第二定律得F－mg＝meq\f(v\o\al(2,C),3h)，解得F＝eq\f(11,3)mg.答案(1)2h(2)2eq\r(2gh)(3)eq\f(11,3)mg解决圆周运动力学问题要注意以下几点：1．要进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．2．列出正确的动力学方程F＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝mreq\f(4π2,T2).3．对于竖直面内的圆周运动要注意“杆模型”和“绳模型”的临界条件．(1)轻绳模型：临界条件：mg＝eq\f(mv\o\al(2,高),R)(2)轻杆模型：临界条件：v高＝0热点三天体运动人造卫星8．(2014·茂名一模)目前我国已发射北斗导航地球同步卫星十六颗，大大提高了导航服务质量，这些卫星()A．环绕地球运行可以不在同一条轨道上B．运行角速度相同C．运行速度大小相等，且都大于7.9km/sD．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等解析地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，它们运行在同一条轨道上，角速度相同，人造地球同步卫星做匀速圆周运动的速度小于7.9km/s，向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，只有B选项正确．答案B9．(2014·高考冲刺卷五)“嫦娥三号”探月卫星已于2013年年底在西昌卫星发射中心发射，实现“落月”的阶段．已知月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的半径为r2、周期为T2.引力常量为G，不计周围其他天体的影响，下列说法正确的是()A．根据题目条件能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B．根据题目条件能求出地球的密度C．根据题目条件能求出地球与月球之间的引力D．根据题目条件可得出eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知只能求出中心天体的质量，因而可以求出地球和月球的质量，而不能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量，选项A错误，C正确；由于地球的半径未知，因而不能求出地球的密度，选项B错误；由于“嫦娥三号”探月卫星和月球做圆周运动的中心天体不同，因而eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))不能成立，选项D错误．答案C10．(2014·天津卷，3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大解析同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据eq\f(GMm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A对．又由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝ma判知：r增大，则v减小、ω变小、a变小，故B、C、D均错．答案A11.图1－3－10极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)，如图1－3－10所示，若某极地卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上条件可知()A．地球的质量为eq\f(gR,G)B．卫星运行的角速度为eq\f(π,2t)C．卫星运行的线速度为eq\f(πR,2t)D．卫星距地面的高度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)解析由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，A项错；卫星从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方所用时间为t，半径扫过的圆心角φ＝90°＝eq\f(π,2)，故卫星运行的角速度ω＝eq\f(φ,t)＝eq\f(π,2t)，B项正确；卫星运行的线速度v＝ωr＝eq\f(π,2t)(R＋h)，C项错；由Geq\f(Mm,R＋h2)＝mω2(R＋h)解得卫星距地面的高度h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4gR2t2,π2)))eq\f(1,3)－R，D项错误．答案B12．(多选)(2014·广东卷，21)如图1－3－11所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是()图1－3－11A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析据Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项B错误；如果测得周期，则有M＝eq\f(4π2R3,GT2)，如果测得张角θ，则该星球半径为：r＝Rsineq\f(θ,2)，所以M＝eq\f(4π2R3,GT2)＝eq\f(4,3)πr3ρ＝eq\f(4,3)π(Rsineq\f(θ,2))3ρ，则ρ＝eq\f(3π,GT2sin3\f(θ,2))，故选项C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球密度，选项D错误．答案AC1．对第一宇宙速度的三点提醒：(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，卫星离地面越高，卫星所需要的发射速度越大．(2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，卫星离地面越高，卫星的运行速度越小．(3)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，其轨道半径与地球半径相同．2．天体运动的两大模型(1)“天体公转”模型某天体绕中心天体做匀速圆周运动①万有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r＝man＝mg′(g′表示轨道处的重力加速度)——可称为“天上公式”．②在地球表面：eq\f(GMm,R2)＝mg.(g表示地球表面的重力加速度)→可称为“地面公式”．(2)“天体自转”模型绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体．3．解题技巧解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律．(1)卫星的an、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．(2)an、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．高考命题热点3.卫星运动过程中基本参量的计算与比较解决天体问题的“一、二、三”(1)“一个模型”：天体的运动可简化为围绕中心天体做“匀速圆周运动的模型”．(2)“两组公式”：①天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，基本规律为Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man.②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，称“黄金代换”．(3)“三个区别”①中心天体和环绕天体的区别；②自转周期和公转周期的区别；③星球半径和轨道半径的区别．图1－3－12【典例】(多选)(6分)在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上．已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g，地球半径为R，图1－3－12中PQ长约为8R，卫星在变轨过程中质量不变，则()A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为(eq\f(h,R＋h))2gB．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))C．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能审题流程第一步：抓住信息→构建运动模型eq\x(\a\al(读题,看图))eq\o(→,\s\up7(提取),\s\do5(信息))eq\x(\a\al(①Ⅰ、Ⅲ是圆,形轨道,②Ⅱ是椭圆,轨道))eq\o(→,\s\up7(建模))eq\x(\a\al(①卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上做匀速圆周运动,②卫星在轨道Ⅱ上做变速曲线运动))第二步：找突破口→理清思路满分解答设地球质量为M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有Geq\f(Mm,R2)＝mg，在轨道Ⅲ上有Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma，所以a＝(eq\f(R,R＋h))2g，A错；又因a＝eq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，B对；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足eq\f(GMm,r2)＜eq\f(mv2,r)，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，C对．尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q点各加速一次，但在圆形运行轨道上v＝eq\r(\f(GM,r))，所以由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D错．答案BC1．变轨运动与机械能变化卫星速度增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，致使卫星在较高轨道上的运行速度小于在较低轨道上的运行速度，但机械能增大；相反，卫星由于速度减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度，但机械能减小．2．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝eq\r(\f(GM,r))判断．(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．(2014·山东卷，20)(6分)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图1－3－13所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面．“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝eq\f(GMmh,RR＋h)，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()图1－3－13A.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋2R)B.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\r(2)R)C.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\f(\r(2),2)R)D.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\f(1,2)R)解析设玉兔在高度h的速度为v，则由万有引力定律得，Geq\f(Mm,R＋h2)＝eq\f(mv2,R＋h)可知，玉兔在该轨道上的动能为Ek＝eq\f(1,2)eq\f(GMm,R＋h)，由功能关系可知对玉兔做的功为：W＝Ep＋Ek＝eq\f(GMmh,RR＋h)＋eq\f(1,2)eq\f(GMm,R＋h)，结合在月球表面：Geq\f(Mm,R2)＝mg月，整理可知W＝eq\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\f(1,2)R)，故正确选项为D.答案D一、选择题(1～7题为单项选择题，8、9题为多项选择题)1．(2014·云南师范大学附属中学质检)已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2＞v1，下面用小箭头表示小船及船头的指向如图1－3－14所示，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是()图1－3－14A．①②B．①⑤C．④⑤D．②③解析船的实际速度是v1和v2的合速度，v1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v2与河岸垂直即船头指向对岸时，渡河时间最短为tmin＝eq\f(d,v2)，式中d为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应为④所示；最短位移为d，应使合速度垂直河岸，则v2应指向河岸上游，实际路线为⑤所示，综合可得选项C正确．答案C2．(2014·福建卷，14)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的()A.eq\r(pq)倍B.eq\r(\f(q,p))倍C.eq\r(\f(p,q))倍D.eq\r(pq3)倍解析根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))∝eq\r(\f(M,R))，由题意可得：eq\f(v行,v地)＝eq\r(\f(M行R地,R行M地))＝eq\r(\f(p,q))，C选项正确，A、B、D选项错误．答案C3．(2014·广东江门一模)如图1－3－15所示的a、b、c三颗地球卫星，其半径关系为ra＝rb＜rc，下列说法正确的是()图1－3－15A．卫星a、b的质量一定相等B．这们的周期关系为Ta＝Tb＞TcC．卫星a、b的机械能一定大于卫星cD．它们的速度关系为va＝vb＞vc解析根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f(GM,r))，速度关系为va＝vb＞vc，D正确；卫星a、b的质量大小无法判断，A错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，则Ta＝Tb＜Tc，B错误；因三卫星的质量不知，故无法判断机械能的关系，C错误．答案D4．(2014·山东潍坊二模)四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图1－3－16所示，其中，a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较()图1－3－16A．a的向心加速度最大B．相同时间内b转过的弧长最长C．c相对于b静止D．d的运动周期可能是23h解析a、b、c、d四颗卫星中，b的向心加速度、线速度、角速度都最大．c相对于a静止，c的周期为Tc＝24h，它们的周期关系为：Tb＜Ta＝Tc＜Td，由以上分析可知正确的选项为B.答案B5．(2014·安徽卷，19)如图1－3－17所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为eq\f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是()图1－3－17A.eq\r(5)rad/sB.eq\r(3)rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s解析经分析可知，小物体最先相对滑动的位置为最低点，对小物体受力分析得：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r.代入数据得：ω＝1.0rad/s，选项C正确．答案C6．如图1－3－18所示，小球由静止释放，运动到最低点A时，细线断裂，小球最后落在地板上．如果细线的长度l可以改变，则()图1－3－18A．细线越长，小球在最低点越容易断裂B．细线越短，小球在最低点越容易断裂C．细线越长，小球落地点越远D．细线长度是O点高度的一半时，小球落地点最远解析根据机械能守恒定律可知，小球下摆过程中有mgl＝eq\f(1,2)mv2，在A点有T－mg＝meq\f(v2,l)，所以细线对小球的拉力T＝3mg，可见细线的断裂情况与细线长短无关，A、B错误．细线断裂后，小球做平抛运动，设O点离地板的高度为H，则H－l＝eq\f(1,2)gt2，小球做平抛运动的水平位移x＝vt，整理得x＝2eq\r(H－ll)，所以细线长度是O点高度的一半时，小球落地点最远，C错误，D正确．答案D7.如图1－3－19所示，BOD是半圆的水平直径，OC为竖直半径，半圆半径为R，A在B点正上方高R处，现有两小球分别从A、B两点以一定初速度水平抛出，分别击中半圆上的D点和C点，已知B球击中C点时动能为Ek，不计空气阻力，则A球击中D点时动能为()图1－3－19A．2EB.eq\f(8,5)EC.eq\f(5,4)ED.eq\r(5)E解析由平抛运动规律可知两小球下落时间均为t＝eq\r(\f(2R,g))，由水平射程x＝vt知，A、B两小球的初速度分别为vA＝eq\r(2gR)、vB＝eq\r(\f(gR,2))，由动能定理知对B球有mgR＝Ek－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，对A球有mgR＝EkA－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，联立得EkA＝eq\f(8,5)Ek，B对．答案B8.(2014·山东名校高考冲刺卷二)我国自主研制的探月卫星在奔月旅途中，先后完成了一系列高难度的技术动作．探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图1－3－20所示，若卫星的质量为m，远月点Q距月球表面的高度为h，运行到Q点时它的角速度为ω、加速度为a，月球的质量为M、半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则卫星在远月点时，月球对卫星的万有引力大小为()图1－3－20A.eq\f(GMm,R2)B．maC.eq\f(mgR2,R＋h2)D．m(R＋h)ω2解析由万有引力定律得：月球对卫星的万有引力F＝eq\f(GMm,R＋r2)又因GM＝gR2，所以F＝eq\f(mgR2,R＋h2)，选项C对、A错．由牛顿第二定律得：万有引力F＝ma，选项B对．对椭圆轨道向心力公式F＝mω2r不成立，选项D错．答案BC9．宇航员在某星球表面做平抛运动，测得物体离星球表面的高度随时间变化的关系如图1－3－21甲所示、水平位移随时间变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是()图1－3－21A．物体抛出的初速度为5m/sB．物体落地时的速度为20m/sC．星球表面的重力加速度为8m/s2D．物体受到星球的引力大小为8N解析物体抛出时的初速度为水平速度，即5m/s，竖直方向下落25m用时2.5s，则重力加速度g＝eq\f(2h,t2)＝8m/s2，落地时竖直方向的速度为vh＝eq\f(2h,t)＝20m/s，则落地时的速度为eq\r(202＋52)m/s＝eq\r(425)m/s，由于物体的质量未知，所以引力大小不能确定．答案AC二、非选择题10．(2014·山东潍坊统考)如图1－3－22所示，水平地面的B点右侧有一圆形挡板，圆的半径R＝4m，B为圆心，BC连线与竖直方向夹角为37°，滑块静止在水平地面上的A点，AB间距L＝4.5m．现用水平拉力F＝18N沿AB方向拉滑块，持续作用一段距离后撤去，滑块恰好落在圆形挡板的C点，已知滑块质量m＝2kg，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：图1－3－22(1)拉力F作用的距离；(2)滑块从A点运动到圆弧上C点所用的时间．解析滑块落在C点，其从B点射出的速度v2满足：Rsin37°＝v2t3①又Rcos37°＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,3)②在水平面上加速前进x1时，物块恰好落到C点，由动能定理Fx1－μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)③解得：x1＝2.5m④(2)开始时的