状态空间平均法课件

高等电力电子技术AdvancedPowerElectronics高等电力电子技术AdvancedPower1第3章开关变换器的建模分析3.13.23.33.4概述

状态空间平均法PWM开关模型法等效变压器法3.5开关变化器离散平均模型基本内容第3章开关变换器的建模分析3.13.23.33.4概述23.1概述

开关变换器是典型的强非线性系统，为研究开关变换器的控制问题，必须以开关变换器建模为基础。建模方法数字仿真法：利用各种仿真软件以求得变换器某些特性数字解的方法解析建模法：利用数学分析的方法以求得变换器运行特性的解析表达式，使之能对变化器进行定量分析。连续建模法：小信号分析方法离散建模法离散连续综合建模法电路平均法状态空间平均法PWM开关法3.1概述

开关变换器是典型的强非线性系统3本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介绍PWM开关模型法、等效变压器描述法两种平均值等效电路法，最后介绍了离散平均法，并对建模过程进行举例说明3.1概述

本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介绍PWM开43.2

状态空间平均法

3.2.1状态空间的基本定义3.2.2开关变换器的状态方程3.2.3连续导通模式下的状态空间平均法3.2状态空间平均法

3.2.1状态空间的基本定义5另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内部状态的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。系统模型一种是关于系统输入-输出的数学描述，这种外部描述将系统等效为黑箱，只是反映输入-输出间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量，如传递函数；对于系统的数学描述：3.2状态空间平均法

另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内63.2.1状态空间的基本定义状态空间的基本概念：输入和输出：由外部施加到系统上的激励称为输入；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出。状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统运行过程的一组独立的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。在开关变换器中，一般选择电感电流和电容电压作为状态变量，因为这些变量的微分不是趋于无穷。状态空间：以状态向量的n个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。3.2.1状态空间的基本定义状态空间的基本概念：7状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分方程或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项，一般形式为：输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出可测量时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为：动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式，其一般形式为：3.2.1状态空间的基本定义状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分方8线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方程，输出方程是向量代数方程，线性连续时间系统动态方程的一般形式为：线性定常系统：若线性系统的状态方程中的系数矩阵A、B、C、D中的各元素均为常数，则称之为线性定常系统，即3.2.1状态空间的基本定义线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方程93.2.2.1变换器的开关状态和状态方程3.2.2开关变换器的状态方程如上图所示为Boost变换器及其各开关换流状态，状态变量为电感电流和电容电压。3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程3.2.2开关变10当开关管V导通、二极管VD关断时

式中当开关管V关断，二极管VD导通时

式中当开关管V关断，二极管VD截止，电感电流断续

式中

3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程当开关管V关断，二极管VD截止，电感电流断续

式中

当开关管V导通、二极管VD关断时当开关管V关断，二极管VD导11当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流导通时，电感电流是连续的，可称之为电流连续工作模式（CCM）；而当Boost电路有三种工作状态时，即除了开关管和二极管轮流导通外，还有开关管和二极管都不导通的状态，电感电流是不连续的，可称之为电流不连续工作模式（DCM）。以电流连续工作模式为例说明状态空间平均法的建模过程3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流导通时12定义开关函数如下：

在引入开关函数和后，前述Boost电路的状态方程可描述为：

3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程定义开关函数如下：3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程13整理为矩阵的形式得：

（3-1）在引入开关函数以后，状态方程得到了统一，但由于在上式中存在两变量的乘积项，并且开关函数随时间t变化，所以统一描述后的状态方程本质上仍然是一个非线性时变方程。3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程整理为矩阵的形式得：3.2.2.1变换器的开关状态和状态方14状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，使用状态空间描述并进行平均化处理，将各个电路状态对整个电路的影响用其在整个周期的平均值来描述。这样可以得到在一个开关周期里，电路的平均状态方程描述。下面将以连续导通模式时的Boost变换器为例，介绍状态空间平均法建模的具体步骤。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和周期性开151）变量的平均化由于开关管的通断，开关变换器中的大多数变量都是突变的；对两个状态进行平均化以后，时变的变量转化为连续的变量。

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤1）变量的平均化3.2.2.2状态空间平均法建模步骤16那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？状态系数矩阵均为常量，因此要建立系统的状态空间平均模型，就必须首先对状态变量和开关函数进行平均化。先定义平均算子： 为需要平均的变量，为平均算子。

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？状态系数矩阵17平均算子有如下性质：（1）微分性质：平均算子的微分等于变量微分后再平均（2）线性性质：两个与常数相乘的平均算子之和等于变量与常数乘积求和后再平均（3）时不变性质：延迟后的变量的平均算子等于平均变量延迟后的值通常，但如果变量同时满足变化幅度足够小和变化速度足够慢那么有3.2.2.2状态空间平均法建模步骤平均算子有如下性质：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤18根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：

对开关函数进行平均化：

式中d为占空比。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：3.19由此得出：同理：基本的状态空间平均方程为：

其中：

由上所述，平均化解决了状态变量时变问题，同时平均化后的状态方程是低频模型。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤由此得出：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤202)求解稳态方程根据稳态时，令大写表示稳态值，得到

根据式(3-19)，可得到状态变量的稳态解：

(3-20)3.2.2.2状态空间平均法建模步骤(3-19)2)求解稳态方程3.2.2.2状态空间平均法建模步骤(3-213)求解动态方程当需要研究系统的动态过程时，可以在系统稳态工作点附近引入扰动量，令瞬时值：

式中：为稳态占空比值，为占空比扰动量；为稳态状态变量，为状态变量扰动量；为稳态输入量，为输入变量扰动量；为稳态输出变量，为输出变量扰动量。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤3)求解动态方程3.2.2.2状态空间平均法建模步骤22代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多：非线性方程中的变量乘积项可被忽略，由此而得到的线性方程在系统的稳态工作点附近可以近似描述此非线性系统。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤所以忽略掉包含的二次项和，再将稳态量和扰动量分离，得出基于稳态工作点附近扰动的小信号模型：

（3-2）代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：3.2.2.2状235)求解传递函数对（3-2）进行拉普拉斯变换求解可得：

式中为单位矩阵,输入量3.2.2.2状态空间平均法建模步骤5)求解传递函数式中为单位矩阵,输入量3.2.2.2状24进而可解得传递函数：

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤进而可解得传递函数：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤253.小结使用状态空间平均法对开关变换器进行建模的基本步骤：⑴根据开关管通断，分析电路状态。得出以状态变量为自变量的各个子拓扑电路的电路方程。⑵根据各个子电路在一个周期内所占的时间不同，进行加权平均化处理，得出平均状态方程。⑶求稳态方程。⑷加扰动，代入状态方程，分离稳态量和扰动量。对扰动方程忽略非线性项，得到线性状态方程组，即小信号方程。⑸根据小信号模型进行拉普拉斯变换，得出传递函数。3.2状态空间平均法

3.小结使用状态空间平均法对开关变换器进行建模的基本步骤26优点：只要知道电路在各个状态下的系数矩阵，就可以将时变的非线性电路通过占空比平均化，从而把时变非线性过程变成了线性定常过程，最后得出描述电路的统一低频稳态和小信号数学表达式，使用状态空间平均法，物理概念清晰，模型较为简洁，计算机仿真速度较快；缺点：开关转换时刻有时难以确定，还有当电路状态过多时，方法较为繁复，特别是建立高阶电路模型时非常复杂，难以化简，求解困难。同时状态空间平均法忽略了一个开关周期以内的变化，得到的是低于奈奎斯特频率（开关频率的一半）的特性，无法观察谐波和实际的开关波形。3.2状态空间平均法

3.小结优点：只要知道电路在各个状态下的系数矩阵，就可以将时变的非线273.3PWM开关模型法开关变换器中只有功率器件（开关管、二极管）所组成的开关网络具有非线性特性，如果对开关器件进行单独研究并进行相应等效与与简化，就可以是整个开关变换器的建模得以简化：PWM开关模型法3.3.1PWM开关的基本定义3.3.2PWM开关的端口特性3.3.3PWM开关的等效电路模型3.3.4开关变换器的PWM开关模型3.3PWM开关模型法开关变换器中只有功率器件（开关管、二283.3.1PWM开关的基本定义开关网络中的开关管和二极管可以等效为一个有源开关S1和一个无源开关S2。有源开关直接被外部信号控制，无源开关间接地被有源开关的状态和电路的状态所控制，有源开关和无源开关不同时导通。采用有源和无源开关等效后的基本变换器如图所示：3.3.1PWM开关的基本定义开关网络中的开关管和二极管29有源开关和无源开关组成一个三端开关网络，可以进一步等效为一个三端开关图中的三端开关网络称之为PWM开关，a表示有源元件的端点，称为有源端；p表示无源元件的端点，称为无源端；c表示有源和无源元件的公共端的端点，称为公共端。注意：使用PWM开关进行分析的条件是变换器运行模式为电流连续模式（CCM）。3.3.1PWM开关的基本定义有源开关和无源开关组成一个三端开关网络，可以进一步等效为一个303.3.2PWM开关的端口特性分析四个基本变换器中的PWM开关可见PWM开关的端口特性并不依赖于任何特定的变换器拓扑发现它们的端口的电压和电流均满足一定关系，如下图所示3.3.2PWM开关的端口特性分析四个基本变换器中的PWM31当时，有源开关闭合，无源开关关断，即a和c端连通；当时，无源开关闭合，有源开关关断，从而p和c端相连。可以得出PWM开关端口电压和电流瞬时量的方程：3.3.2PWM开关的端口特性当时，有源开关闭合，无源32其中是PWM开关的稳态工作点，满足：和。平均化处理稳态工作点+小信号扰动3.3.2PWM开关的端口特性令其中是PWM开关的稳态工作点平333.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的大信号等效电路PWM开关的平均等效电路PWM开关的小信号等效电路3.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的大信号等效电34如果由一个变压器替换受控源，控制信号从公共端移到有源端，就得到了PWM开关的小信号等效电路的另一种形式：PWM开关的包含变压器的小信号等效电路3.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的小信号等效电路PWM开关的稳态等效电路在稳态条件下，PWM开关的大信号和小信号等效电路模型均可以简化为同一个变压器等效电路模型：PWM开关的稳态等效电路在稳态条件下，PWM开关的大信号和小信号等效电路模型均可以简化为同一个变压器等效电路模型：PWM开关的稳态等效电路如果由一个变压器替换受控源，控制信号从公共端移到有源端，就得353.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关模型的应用：首先，把PWM变换器所划出的三个端口与等效电路模型的三个端口一一对应进行替换；然后进行直流分析以确定稳态工作点在进行直流分析时，不考虑电抗性元件和小信号源；然后使用小信号PWM开关模型进行稳态工作点附近的小信号分析。通过小信号分析，可以得出最常用的控制-输出传递函数、输入-输出传递函数和输入、输出阻抗传递函数。

3.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关模型的应用：36以Boost电路为例来阐述本方法：先对电路进行稳态分析根据稳态关系和，代入电路可得稳态关系表达式：

3.3.4开关变换器的PWM开关模型式中：

将PWM开关稳态等效模型带入以Boost电路为例来阐述本方法：先对电路进行稳态分析3.37PWM开关的等效电路平均模型代入Boost电路进行替换，可以得到变换器平均模型：

按照PWM开关的端口关系平均表达式：变换器平均模型的状态方程：此平均状态方程表达式与使用状态空间平均法所得出的完全相同对平均方程进行小信号线性化处理后可以得到变换器的小信号模型，对此电路列写状态方程后进行拉普拉斯变换，就可以得到主要变量之间的小信号传递函数，结果与状态空间平均法相同。3.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关的等效电路平均模型代入Boost电路进行替换，可以38

需要特别指出的是：在考虑电容和电感的等效串联电阻后所得出的状态方程(式3-44)与使用状态空间平均法所得出的状态方程(式3-45)在系数矩阵上稍有不同：

式中和分别表示电感和电容的等效串联电阻（ESR）。3.3.4开关变换器的PWM开关模型(式3-44)(式3-45)需要特别指出的是：在考虑电容和电感的等效串联电阻后所得出的39

在Boost电路中引入PWM开关的小信号等效电路，进而可推导出输出增益、输入阻抗、输出阻抗、控制增益的传递函数Boost电路PWM开关小信号模型3.3.4开关变换器的PWM开关模型在Boost电路中引入PWM开关的小信号等效电路，进而可推40

输出增益：控制增益：开环输入阻抗：开环输出阻抗：3.3.4开关变换器的PWM开关模型输出增益：控制增益：开环输入阻抗：开环输出阻抗：3.3.413.4等效变压器法3.4.1开关电路的等效变压器描述 3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路3.4.3三相VSR动静态特性分析

等效变压器法是平均值等效电路法的一种，即利用等效变压器替代PWM整流器中功率开关管的等效描述方法。通过这种方法，得到电路的等效模型，可以更形象更深刻地反映电路的性质。3.4等效变压器法3.4.1开关电路的等效变压器描述 423.4.1开关电路的等效变压器描述以Buck型DC/DC变换器为例，引入等效变压器描述法：a）原理电路b）等效变压器电路c）等效变压器平均模型电路d）等效变压器直流模型电路3.4.1开关电路的等效变压器描述以Buck型DC/DC变433.4.1开关电路的等效变压器描述对于PWMDC/AC(AC/DC)变换器，同样也可以用等效变压器替换桥路中的开关元件

3.4.1开关电路的等效变压器描述对于PWMDC/AC443.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路在三相VSR的数学模型中，VSR交流侧均为时变交流量，不利于控制系统设计，为此，可通过坐标变换将三相对称静止坐标系（a，b，c）转换成以电网基波频率同步旋转的（d，q）坐标系。经过坐标变换，三相对称静止坐标系中的基波正弦量转化为同步旋转坐标系中的直流量，从而简化了控制系统的设计。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路45

1.三相VSR子电路的划分三相VSR原理电路及子电路划分3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路1.三相VSR子电路的划分三相VSR原462.各子电路dq等效变换(1)三相电动势源子电路—A子电路dq变换

设三相VSR交流电动势电流、分别为

式中，为电网电动势初始相位角；为三相VSR网侧电流初始相位角;、为、峰值。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路2.各子电路dq等效变换式中，为电网电动势初始相47

引入“等功率”坐标旋转变换，若旋转坐标系q轴与静止坐标系a轴间初始相角为,则正交旋转变换矩阵为

由于是正交变换矩阵，则

3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路引入“等功率”坐标旋转变换，若旋转坐标系q轴与48经坐标变换后得

可见、为、峰值;式中、为三相电动势、电流零轴分量。三相电动势源子电路dq变换：3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路经坐标变换后得三相电动势源子电路dq变换：3.4.2三相49(2)三相电阻子电路——B子电路dq变换

设三相静止对称坐标系(a,b,c)中的三相对称电路电阻电压为经过坐标变换后，两相同步旋转坐标系(d,q)中的电阻电压为式中，为三相电阻电压的零轴分量。三相电阻子电路dq变换等效变换电路：3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路(2)三相电阻子电路——B子电路dq变换三相电阻子电路50(3)三相电感子电路—C子电路

dq变换设三相静止对称坐标系(a,b,c)中，两相同步旋转坐标(d,q,0)中的电感电压为引入旋转坐标变换，则

又

所以3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路由此得出三相电感dq等效电路：(3)三相电感子电路—C子电路dq变换3.4.2三相51(4)三相逆变桥子电路—D子电路dq变换

对于三相对称系统，可采用开关函数的基波分量分析VSR的低频特性，若开关函数基波矩阵为，且设

式中，为开关函数基波分量初始相位角；为开关函数基波峰值3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路(4)三相逆变桥子电路—D子电路dq变换3.4.2三相52再由电压型逆变桥PWM的调制原理得引入旋转坐标变换后可得

于是可得PWM逆变桥dq坐标系等效变压器模型电路3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路再由电压型逆变桥PWM的调制原理得于是可得PWM逆变桥dq坐53

(5)直流E子电路dq变换由于直流子电路已是直流回路，因而无需进行dq变换，这样，直流子电路拓扑结构及参数保持不变。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路(5)直流E子电路dq变换3.4.2三相VSR等效变压543.三相VSRdq等效电路的重构将上述分解的三相VSR子电路(A-E)，依据电流、电压等效原则进行适当连接，从而获得三相VSR等效变压器dq模型电路注意：三相VSR等效变压器dq模型电路只考虑了开关函数的基波分量，因而只是一种低频等效模型电路。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路3.三相VSRdq等效电路的重构注意：三相VSR等效变553.4.3三相VSR动静态特性分析1.关于三相VSR等效变压器dq模型电路的简化对于中初始相角的不同选择可得出两种简化方法(1)当选择时有3.4.3三相VSR动静态特性分析3.4.3三相VSR动静态特性分析1.关于三相VSR等效变56(2)当选择时，3.4.3三相VSR动静态特性分析(2)当选择时，3.4.3三相V572.

简化时三相VSR等效受控源模型电路构成当时，为了便于电路分析，将变压器回转器等分别以受控源等效，如下图：3.4.3三相VSR动静态特性分析2.简化时三相VSR等效受控源模型电路构成3.4.3583.4.3三相VSR动静态特性分析3.4.3三相VSR动静态特性分析593.简化时三相微偏线性化等效受控源模型电路采用微偏线性化方法：设三相稳态工作点，稳态工作点微偏扰动值，其中。3.4.3三相VSR动静态特性分析3.简化时三相微偏线性化等效受控源模型电路采用微偏线性化方601）受控电压源:考虑，两变量扰动，即忽略高次项，则

式中下面分别研究图中各受控源微偏线性等效模型3.4.3三相VSR动静态特性分析1）受控电压源:考虑，两612）受控电压源:。考虑，两变量扰动，并忽略高次项得式中

3)受控电压源：，令，考虑、

、变量扰动，且忽略高次项，得式中

3.4.3三相VSR动静态特性分析2）受控电压源:。考虑，624)受控电压源：，令，考虑、

、变量扰动，且忽略高次项，得

式中5)受控电流源:，令，考虑、

、变量扰动，且忽略高次项，得

式中3.4.3三相VSR动静态特性分析4)受控电压源：636)受控电流源:，令，考虑、、变量扰动，且忽略高次项，得

7)电动势源:,考虑扰动，则

式中3.4.3三相VSR动静态特性分析6)受控电流源:64简化时三相微偏线性化等效受控源模型电路

根据以上计算，可得简化时的三相微偏线性化等效受控源模型电路。3.4.3三相VSR动静态特性分析简化时三相微偏线性化等效受控源模型电路根据以上计算，可得654.简化时三相动态特性分析要分析三相VSR动态特性(以直流电压特性为例)，需考虑三相VSR稳态工作点处，各变量微偏扰动对三相VSR直流输出电压

的影响。因此，根据线性叠加原理，令

即可建立

简化时的三相VSR动态等效电路：3.4.3三相VSR动静态特性分析4.简化时三相动态特性分析要分析三相VSR66原则：若要求取VSR直流侧电压的动态特性，必须先求取各扰动量

对直流电压

的传递函数,在求取某一扰动传递函数时，其余扰动量均可令其为零。3.4.3三相VSR动静态特性分析原则：若要求取VSR直流侧电压的动态特性，必须先求取各扰动量67可得扰动传递函数：

通过上述有关变量扰动的传递函数求解，并由叠加原理就可以最终求解三相

直流输出电压微偏扰动的动态响应，即

3.4.3三相VSR动静态特性分析3.4.3三相VSR动静态特性分析68

5.简化时三相VSR静态特性分析

所谓静态特性就是指系统在稳态工作点上的传递特性。因此

简化时三相VSR静态特性的求取，关键在于建立对应的静态等效电路。3.4.3三相VSR动静态特性分析3.4.3三相VSR动静态特性分析69在稳态工作点工作时，忽略三相VSR网侧电阻R，且将电感短路、电容开路，即获得

简化时三相

静态VSR等效电路：3.4.3三相VSR动静态特性分析3.4.3三相VSR动静态特性分析701）直流电压增益由得表明:对于给定的

，只有当L足够小时，方可建立足够的直流电压;

而当L一定，且

较小时，只有当

足够大，才能确保恒定直流电压

控制。3.4.3三相VSR动静态特性分析1）直流电压增益3.4.3三相VSR动静态特性分析712)电流源特性

由得上式表明：三相VSR直流侧电流

与直流电压

及负载电阻

无关，只与电路电感L、PWM占空比幅值

、电网电动势幅值

有关。直流侧电流表现出受控电流源特性，即电流大小由,直接控制。3.4.3三相VSR动静态特性分析2)电流源特性3.4.3三相VSR动静态特性分析723)输入功率p、q及功率因数。同步旋转坐标系中，三相VSR输入有功功率p及无功功率q的静态值

、

表达式为

当

时

所以式中、

三相VSR静态功率因数

为结论：通过控制参数,即可控制三相VSR的输入有功功率和无功功率，因而三相VSR功率因数

得以控制。3.4.3三相VSR动静态特性分析3)输入功率p、q及功率因数。、三相VSR静态功率因数73

以上讨论了

时对于三相VSR等效变压器dq模型电路的简化，用同样的方法可得出

时三相VSR等效变压器dq模型电路的简化。3.4.3三相VSR动静态特性分析

743.5.1离散化原理和建模分析3.5.2开关变换器的离散平均模型3.5开关变换器离散平均模型电力电子装置的数字控制相对于传统的模拟控制不但具有可靠、稳定、设计灵活等优点，而且可实现复杂的非线性控制策略，以提高控制的动态和稳态性能。近年来随着各种性价比更高的微控制器（MCU）和数字信号处理器（DSP）的出现，越来越多的电力电子装置采用数字控制。

下图是一个微控制器控制电力电子装置的框图。其中，采样器的作用是把连续时间变量e(t)转换为离散时间变量e(kt)，保持器的作用是把离散时间变量u(kt)转换为连续时间变量u(t)。3.5.1离散化原理和建模分析3.5开关变换器离散平均模753.5.1离散化原理和建模分析连续时间线性系统的离散化，就是基于一定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述导出相应的离散时间状态描述。1.基本假定1）对采样方式的假定：采样器以常数为周期进行等间隔采样，并假定相对于采样周期T，采样时间为一瞬间，分析中可以假定为零处理。2）对采样周期大小的假定：,为被采样信号的上限频率3）对保持方式的假定：在采样瞬间，保持器输出的值等于对应离散时间分量的值，在两个采样瞬间的区间内，输出的值保持前一个采样瞬间上的值。3.5.1离散化原理和建模分析3.5.1离散化原理和建模分析连续时间线性系统的离散化，就762.离散方程的表述得到的开关变换器状态空间平均方程为式

在前述基本假定下所得出的离散状态方程为

3.5.1离散化原理和建模分析设：2.离散方程的表述3.5.1离散化原理和建模分析设：77状态方程为差分方程而不是微分方程。状态方程的右端表达式对于状态变量X和输入U均呈现线形关系。变量取值的离散性，系统变量只能在离散时刻kT上取值。特点3.5.1离散化原理和建模分析状态方程为差分方程而不是微分方程。特点3.5.1离散化原理783.离散方程求解

求解得下一采样时刻的表达式是在离散时刻时的表达式为3.5.1离散化原理和建模分析离散方程中输出方程的关系矩阵C和D与连续方程中的C和D相同，所以关键是求取关系矩阵G和H。由3.离散方程求解求解得下一采样时刻的表达式是在离散时刻时的表79得出用表示的的表达式为和离散方程相比得从上两式中可以看出G(T)和H(T)都只与采样周期T有关显然H(T)可以化简为3.5.1离散化原理和建模分析得出用表示的的表达式为和离散方程803.5.2开关变换器的离散平均模型开关变换器离散平均法，就是先用状态空间平均法对开关变换器建模得出状态空间平均方程，然后对此方程进行离散化，得出离散状态方程的方法。

下面以Boost电路为例演示离散平均法建模。

3.5.2开关变换器的离散平均模型3.5.2开关变换器的离散平均模型开关变换器离散平均法，就81图3-36 Boost电路直流电压值电感L值电容C值

电阻R值占空比d值开关频率f值表3-1Boost电路元件参数3.5.2开关变换器的离散平均模型图3-36 Boost电路直流电压值占空比d值开关82将各元件参数代入得

1．Boost电路连续状态方程3.5.2开关变换器的离散平均模型将各元件参数代入得1．Boost电路连续状态方程3.5.2832．状态方程离散化⑴求系数矩阵C和D由上一节得出的连续状态方程中的矩阵C和D在离散方程中并未变化得，

⑵求系数矩阵

令3.5.2开关变换器的离散平均模型2．状态方程离散化⑴求系数矩阵C和D，⑵求系数矩阵令384最后得3.5.2开关变换器的离散平均模型最后得3.5.2开关变换器的离散平均模型85⑶求系数矩阵

3.5.2开关变换器的离散平均模型⑶求系数矩阵3.5.2开关变换器的离散平均模型86⑷求解离散方程设T=0.00005，所以离散状态下的状态方程为由所求的G(T)和H(T)，知：⑷求解离散方程设T=0.00005，所以离散状态下的状态方程87高等电力电子技术AdvancedPowerElectronics高等电力电子技术AdvancedPower88第3章开关变换器的建模分析3.13.23.33.4概述

状态空间平均法PWM开关模型法等效变压器法3.5开关变化器离散平均模型基本内容第3章开关变换器的建模分析3.13.23.33.4概述893.1概述

开关变换器是典型的强非线性系统，为研究开关变换器的控制问题，必须以开关变换器建模为基础。建模方法数字仿真法：利用各种仿真软件以求得变换器某些特性数字解的方法解析建模法：利用数学分析的方法以求得变换器运行特性的解析表达式，使之能对变化器进行定量分析。连续建模法：小信号分析方法离散建模法离散连续综合建模法电路平均法状态空间平均法PWM开关法3.1概述

开关变换器是典型的强非线性系统90本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介绍PWM开关模型法、等效变压器描述法两种平均值等效电路法，最后介绍了离散平均法，并对建模过程进行举例说明3.1概述

本章从最基本而又最重要的状态空间平均法出发，分别介绍PWM开913.2

状态空间平均法

3.2.1状态空间的基本定义3.2.2开关变换器的状态方程3.2.3连续导通模式下的状态空间平均法3.2状态空间平均法

3.2.1状态空间的基本定义92另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内部状态的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x和输入变量u间的关系，具有一阶微分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。系统模型一种是关于系统输入-输出的数学描述，这种外部描述将系统等效为黑箱，只是反映输入-输出间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量，如传递函数；对于系统的数学描述：3.2状态空间平均法

另一种是关于系统状态空间的数学描述，这种内部描述是基于系统内933.2.1状态空间的基本定义状态空间的基本概念：输入和输出：由外部施加到系统上的激励称为输入；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出。状态、状态变量和状态向量：能完整描述和唯一确定系统运行过程的一组独立的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。在开关变换器中，一般选择电感电流和电容电压作为状态变量，因为这些变量的微分不是趋于无穷。状态空间：以状态向量的n个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。3.2.1状态空间的基本定义状态空间的基本概念：94状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分方程或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项，一般形式为：输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出可测量时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为：动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式，其一般形式为：3.2.1状态空间的基本定义状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分方95线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方程，输出方程是向量代数方程，线性连续时间系统动态方程的一般形式为：线性定常系统：若线性系统的状态方程中的系数矩阵A、B、C、D中的各元素均为常数，则称之为线性定常系统，即3.2.1状态空间的基本定义线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或差分方程963.2.2.1变换器的开关状态和状态方程3.2.2开关变换器的状态方程如上图所示为Boost变换器及其各开关换流状态，状态变量为电感电流和电容电压。3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程3.2.2开关变97当开关管V导通、二极管VD关断时

式中当开关管V关断，二极管VD导通时

式中当开关管V关断，二极管VD截止，电感电流断续

式中

3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程当开关管V关断，二极管VD截止，电感电流断续

式中

当开关管V导通、二极管VD关断时当开关管V关断，二极管VD导98当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流导通时，电感电流是连续的，可称之为电流连续工作模式（CCM）；而当Boost电路有三种工作状态时，即除了开关管和二极管轮流导通外，还有开关管和二极管都不导通的状态，电感电流是不连续的，可称之为电流不连续工作模式（DCM）。以电流连续工作模式为例说明状态空间平均法的建模过程3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程当Boost电路工作于前两种状态，即开关管和二极管轮流导通时99定义开关函数如下：

在引入开关函数和后，前述Boost电路的状态方程可描述为：

3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程定义开关函数如下：3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程100整理为矩阵的形式得：

（3-1）在引入开关函数以后，状态方程得到了统一，但由于在上式中存在两变量的乘积项，并且开关函数随时间t变化，所以统一描述后的状态方程本质上仍然是一个非线性时变方程。3.2.2.1变换器的开关状态和状态方程整理为矩阵的形式得：3.2.2.1变换器的开关状态和状态方101状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，使用状态空间描述并进行平均化处理，将各个电路状态对整个电路的影响用其在整个周期的平均值来描述。这样可以得到在一个开关周期里，电路的平均状态方程描述。下面将以连续导通模式时的Boost变换器为例，介绍状态空间平均法建模的具体步骤。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤状态空间平均法的主要思想是：根据线性元件、独立电源和周期性开1021）变量的平均化由于开关管的通断，开关变换器中的大多数变量都是突变的；对两个状态进行平均化以后，时变的变量转化为连续的变量。

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤1）变量的平均化3.2.2.2状态空间平均法建模步骤103那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？状态系数矩阵均为常量，因此要建立系统的状态空间平均模型，就必须首先对状态变量和开关函数进行平均化。先定义平均算子： 为需要平均的变量，为平均算子。

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤那如何对变量进行平均化，进而得到平均状态方程呢？状态系数矩阵104平均算子有如下性质：（1）微分性质：平均算子的微分等于变量微分后再平均（2）线性性质：两个与常数相乘的平均算子之和等于变量与常数乘积求和后再平均（3）时不变性质：延迟后的变量的平均算子等于平均变量延迟后的值通常，但如果变量同时满足变化幅度足够小和变化速度足够慢那么有3.2.2.2状态空间平均法建模步骤平均算子有如下性质：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤105根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：

对开关函数进行平均化：

式中d为占空比。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤根据以上平均算子性质，假设对方程式（3-1）进行平均化：3.106由此得出：同理：基本的状态空间平均方程为：

其中：

由上所述，平均化解决了状态变量时变问题，同时平均化后的状态方程是低频模型。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤由此得出：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤1072)求解稳态方程根据稳态时，令大写表示稳态值，得到

根据式(3-19)，可得到状态变量的稳态解：

(3-20)3.2.2.2状态空间平均法建模步骤(3-19)2)求解稳态方程3.2.2.2状态空间平均法建模步骤(3-1083)求解动态方程当需要研究系统的动态过程时，可以在系统稳态工作点附近引入扰动量，令瞬时值：

式中：为稳态占空比值，为占空比扰动量；为稳态状态变量，为状态变量扰动量；为稳态输入量，为输入变量扰动量；为稳态输出变量，为输出变量扰动量。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤3)求解动态方程3.2.2.2状态空间平均法建模步骤109代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：假定动态过程中的扰动信号比其稳态量小的多：非线性方程中的变量乘积项可被忽略，由此而得到的线性方程在系统的稳态工作点附近可以近似描述此非线性系统。3.2.2.2状态空间平均法建模步骤所以忽略掉包含的二次项和，再将稳态量和扰动量分离，得出基于稳态工作点附近扰动的小信号模型：

（3-2）代入状态空间平均方程并分离稳态量，整理后得：3.2.2.2状1105)求解传递函数对（3-2）进行拉普拉斯变换求解可得：

式中为单位矩阵,输入量3.2.2.2状态空间平均法建模步骤5)求解传递函数式中为单位矩阵,输入量3.2.2.2状111进而可解得传递函数：

3.2.2.2状态空间平均法建模步骤进而可解得传递函数：3.2.2.2状态空间平均法建模步骤1123.小结使用状态空间平均法对开关变换器进行建模的基本步骤：⑴根据开关管通断，分析电路状态。得出以状态变量为自变量的各个子拓扑电路的电路方程。⑵根据各个子电路在一个周期内所占的时间不同，进行加权平均化处理，得出平均状态方程。⑶求稳态方程。⑷加扰动，代入状态方程，分离稳态量和扰动量。对扰动方程忽略非线性项，得到线性状态方程组，即小信号方程。⑸根据小信号模型进行拉普拉斯变换，得出传递函数。3.2状态空间平均法

3.小结使用状态空间平均法对开关变换器进行建模的基本步骤113优点：只要知道电路在各个状态下的系数矩阵，就可以将时变的非线性电路通过占空比平均化，从而把时变非线性过程变成了线性定常过程，最后得出描述电路的统一低频稳态和小信号数学表达式，使用状态空间平均法，物理概念清晰，模型较为简洁，计算机仿真速度较快；缺点：开关转换时刻有时难以确定，还有当电路状态过多时，方法较为繁复，特别是建立高阶电路模型时非常复杂，难以化简，求解困难。同时状态空间平均法忽略了一个开关周期以内的变化，得到的是低于奈奎斯特频率（开关频率的一半）的特性，无法观察谐波和实际的开关波形。3.2状态空间平均法

3.小结优点：只要知道电路在各个状态下的系数矩阵，就可以将时变的非线1143.3PWM开关模型法开关变换器中只有功率器件（开关管、二极管）所组成的开关网络具有非线性特性，如果对开关器件进行单独研究并进行相应等效与与简化，就可以是整个开关变换器的建模得以简化：PWM开关模型法3.3.1PWM开关的基本定义3.3.2PWM开关的端口特性3.3.3PWM开关的等效电路模型3.3.4开关变换器的PWM开关模型3.3PWM开关模型法开关变换器中只有功率器件（开关管、二1153.3.1PWM开关的基本定义开关网络中的开关管和二极管可以等效为一个有源开关S1和一个无源开关S2。有源开关直接被外部信号控制，无源开关间接地被有源开关的状态和电路的状态所控制，有源开关和无源开关不同时导通。采用有源和无源开关等效后的基本变换器如图所示：3.3.1PWM开关的基本定义开关网络中的开关管和二极管116有源开关和无源开关组成一个三端开关网络，可以进一步等效为一个三端开关图中的三端开关网络称之为PWM开关，a表示有源元件的端点，称为有源端；p表示无源元件的端点，称为无源端；c表示有源和无源元件的公共端的端点，称为公共端。注意：使用PWM开关进行分析的条件是变换器运行模式为电流连续模式（CCM）。3.3.1PWM开关的基本定义有源开关和无源开关组成一个三端开关网络，可以进一步等效为一个1173.3.2PWM开关的端口特性分析四个基本变换器中的PWM开关可见PWM开关的端口特性并不依赖于任何特定的变换器拓扑发现它们的端口的电压和电流均满足一定关系，如下图所示3.3.2PWM开关的端口特性分析四个基本变换器中的PWM118当时，有源开关闭合，无源开关关断，即a和c端连通；当时，无源开关闭合，有源开关关断，从而p和c端相连。可以得出PWM开关端口电压和电流瞬时量的方程：3.3.2PWM开关的端口特性当时，有源开关闭合，无源119其中是PWM开关的稳态工作点，满足：和。平均化处理稳态工作点+小信号扰动3.3.2PWM开关的端口特性令其中是PWM开关的稳态工作点平1203.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的大信号等效电路PWM开关的平均等效电路PWM开关的小信号等效电路3.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的大信号等效电121如果由一个变压器替换受控源，控制信号从公共端移到有源端，就得到了PWM开关的小信号等效电路的另一种形式：PWM开关的包含变压器的小信号等效电路3.3.3PWM开关的等效电路模型PWM开关的小信号等效电路PWM开关的稳态等效电路在稳态条件下，PWM开关的大信号和小信号等效电路模型均可以简化为同一个变压器等效电路模型：PWM开关的稳态等效电路在稳态条件下，PWM开关的大信号和小信号等效电路模型均可以简化为同一个变压器等效电路模型：PWM开关的稳态等效电路如果由一个变压器替换受控源，控制信号从公共端移到有源端，就得1223.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关模型的应用：首先，把PWM变换器所划出的三个端口与等效电路模型的三个端口一一对应进行替换；然后进行直流分析以确定稳态工作点在进行直流分析时，不考虑电抗性元件和小信号源；然后使用小信号PWM开关模型进行稳态工作点附近的小信号分析。通过小信号分析，可以得出最常用的控制-输出传递函数、输入-输出传递函数和输入、输出阻抗传递函数。

3.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关模型的应用：123以Boost电路为例来阐述本方法：先对电路进行稳态分析根据稳态关系和，代入电路可得稳态关系表达式：

3.3.4开关变换器的PWM开关模型式中：

将PWM开关稳态等效模型带入以Boost电路为例来阐述本方法：先对电路进行稳态分析3.124PWM开关的等效电路平均模型代入Boost电路进行替换，可以得到变换器平均模型：

按照PWM开关的端口关系平均表达式：变换器平均模型的状态方程：此平均状态方程表达式与使用状态空间平均法所得出的完全相同对平均方程进行小信号线性化处理后可以得到变换器的小信号模型，对此电路列写状态方程后进行拉普拉斯变换，就可以得到主要变量之间的小信号传递函数，结果与状态空间平均法相同。3.3.4开关变换器的PWM开关模型PWM开关的等效电路平均模型代入Boost电路进行替换，可以125

需要特别指出的是：在考虑电容和电感的等效串联电阻后所得出的状态方程(式3-44)与使用状态空间平均法所得出的状态方程(式3-45)在系数矩阵上稍有不同：

式中和分别表示电感和电容的等效串联电阻（ESR）。3.3.4开关变换器的PWM开关模型(式3-44)(式3-45)需要特别指出的是：在考虑电容和电感的等效串联电阻后所得出的126

在Boost电路中引入PWM开关的小信号等效电路，进而可推导出输出增益、输入阻抗、输出阻抗、控制增益的传递函数Boost电路PWM开关小信号模型3.3.4开关变换器的PWM开关模型在Boost电路中引入PWM开关的小信号等效电路，进而可推127

输出增益：控制增益：开环输入阻抗：开环输出阻抗：3.3.4开关变换器的PWM开关模型输出增益：控制增益：开环输入阻抗：开环输出阻抗：3.3.1283.4等效变压器法3.4.1开关电路的等效变压器描述 3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路3.4.3三相VSR动静态特性分析

等效变压器法是平均值等效电路法的一种，即利用等效变压器替代PWM整流器中功率开关管的等效描述方法。通过这种方法，得到电路的等效模型，可以更形象更深刻地反映电路的性质。3.4等效变压器法3.4.1开关电路的等效变压器描述 1293.4.1开关电路的等效变压器描述以Buck型DC/DC变换器为例，引入等效变压器描述法：a）原理电路b）等效变压器电路c）等效变压器平均模型电路d）等效变压器直流模型电路3.4.1开关电路的等效变压器描述以Buck型DC/DC变1303.4.1开关电路的等效变压器描述对于PWMDC/AC(AC/DC)变换器，同样也可以用等效变压器替换桥路中的开关元件

3.4.1开关电路的等效变压器描述对于PWMDC/AC1313.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路在三相VSR的数学模型中，VSR交流侧均为时变交流量，不利于控制系统设计，为此，可通过坐标变换将三相对称静止坐标系（a，b，c）转换成以电网基波频率同步旋转的（d，q）坐标系。经过坐标变换，三相对称静止坐标系中的基波正弦量转化为同步旋转坐标系中的直流量，从而简化了控制系统的设计。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路132

1.三相VSR子电路的划分三相VSR原理电路及子电路划分3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路1.三相VSR子电路的划分三相VSR原1332.各子电路dq等效变换(1)三相电动势源子电路—A子电路dq变换

设三相VSR交流电动势电流、分别为

式中，为电网电动势初始相位角；为三相VSR网侧电流初始相位角;、为、峰值。3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路2.各子电路dq等效变换式中，为电网电动势初始相134

引入“等功率”坐标旋转变换，若旋转坐标系q轴与静止坐标系a轴间初始相角为,则正交旋转变换矩阵为

由于是正交变换矩阵，则

3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路引入“等功率”坐标旋转变换，若旋转坐标系q轴与135经坐标变换后得

可见、为、峰值;式中、为三相电动势、电流零轴分量。三相电动势源子电路dq变换：3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路经坐标变换后得三相电动势源子电路dq变换：3.4.2三相136(2)三相电阻子电路——B子电路dq变换

设三相静止对称坐标系(a,b,c)中的三相对称电路电阻电压为经过坐标变换后，两相同步旋转坐标系(d,q)中的电阻电压为式中，为三相电阻电压的零轴分量。三相电阻子电路dq变换等效变换电路：3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路(2)三相电阻子电路——B子电路dq变换三相电阻子电路137(3)三相电感子电路—C子电路

dq变换设三相静止对称坐标系(a,b,c)中，两相同步旋转坐标(d,q,0)中的电感电压为引入旋转坐标变换，则

又

所以3.4.2三相VSR等效变压器dq模型电路由此得出三相电感dq等效电路：(3)三相电感子电路—C子电路dq变换3.4.2三相138