2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合练习题(附答案)

2022-20231章特殊的平行四边形》单元综合练习题（附答案）一．选择题如图两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起重合部分构成的四边形ABCD（ ）平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．133．如图，在正方形ABCDBCCE＝3DEM从点A2AB﹣BC﹣CD﹣DAAM的运动时间t的值是（）ABCDABCDEAF＝45°，EC＝1，点GCBGB＝DE，连接EF＝ ，③AF＝中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45EABCDBCDF⊥AEFDF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（ ）6．如图，正方形ABCDAC6．如图，正方形ABCDAC上的一点，且AB＝AE，过ABDHADABCD的边长为﹣2；④AG•AF＝2中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个A．2或B．6或C．26D．1或ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cmEADP在线段AB2cm/sABQBCA．2或B．6或C．26D．1或ABCD中，EABBCEF为一边作平行四边EFGHG，HCDADEFGHF的位置改变而改变，则应满足（）9ABCD，OCCE⊥BD于点EC9ABCD，OCCE⊥BD于点ECD的平分线相交于点H与C交于点①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，则正方形EFGH的边长为（ ）A．6二．填空题

B．8 C．10 D．12在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是正方形，点A（2a，﹣a）在第四象限上，点B与点A关于原点对称点C在y轴上点4m在第一象限内则m的值是 如图，坐标系中四边形ABCOOC知（﹣，3D（，1，当E时，点E坐标为．1ABC2C有个．36ABCD中，EBACBEFDFDDGEFHCHF到线段CH的距离是．D，E，FAD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形其中正确的有 （填序号）ABCD2BDPAD延长线上的一个动点，∠点Q是BQ与线段CD延长线的交点当BD平分∠PBQ时QD（填“＞“＜”或“＝；当D不平分Q时＝ ．三．解答题ABCDEFCFF．EBC2EBC的延长线上（C点外）结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；如图3E是CB边上是否存在点DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．O为坐标原点，四边形C（104，点D是A的PBC5P点的坐标．BD是△ABCABE．1是等腰三角形．2DDF∥ABEFEEG⊥BCEC，在不添加相等的所有三角形．ABCDBA，DCE，HBE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．连接D交H于点⊥B与线段D满足什么数量关系时BEDH是正方形？如图，在四边形ABCD平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．ABCD是菱形；AB＝3，BD＝4OE的长．E，FABCDBC，CDBE＝DF．12，若∠ABC＝45°，AE⊥BCBDAE，AFG，H，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形．在正方形D中，点P是边C上一动点（不包含端点，线段P的垂直平分线与AB、AP、BD、CD分别交于点M、E、F、N．1PB＝a，AB＝3aMN的长度；MEEF、NF之间的数量关系并证明．ABCDEBDAECCF∥AEBD于点F，连接AF．CE．求证：△AEB≌△CFD；（3）填空：若AB＝（3）填空：若AB＝4，DE＝3，则菱形AECF的面积是．（1）若AC＝ AP，AC＝4，求△ACP的面积；ABCDPADAC、CP，FAB边上一CF⊥CPB（1）若AC＝ AP，AC＝4，求△ACP的面积；（2）若BC＝MC，证明：CP﹣BM＝2FN．参考答案一．选择题AAE⊥BCE，AF⊥CDF，∵两条纸条宽度相等，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵SABCD＝BC×AE＝CD•AF．又∵AE＝AF，∴BC＝CD，∴四边形ABCD为菱形．故选：B．BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝13．∵BE＝2AB＝12，BC∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．MBC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，所以3.5（秒；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，解得6.5（秒．t3.56.5秒时．△ABM全等．ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，∵EC＝1，∴GB＝DE＝3，∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，在△AFE和△AFG中，，∴≌（SA，∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，解得x＝ ，∴BF＝ ②正确；∴AF＝＝＝，故③错误；∴GF＝3+＝，∴解得x＝ ，∴BF＝ ②正确；∴AF＝＝＝，故③错误；∴GF＝3+＝，∴S△AEF ＝S＝AB×GF＝4×＝，故④正确．所以正确的有①②④，共3个．故选：C．ABCD是矩形，∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，∵DF＝AB，∴DF＝CD，∵DF⊥AE，Rt△DEFRt△DECRt△DEFRt△DEC中，，∴≌△，∴∠FED＝∠CED，∴DE平分∠AEC；故①正确；∵AD∥BC，，∴∠AEB＝∠DAF，在△ABE，∴≌A，∴AE＝AD，∴△ADE故②正确；∵△ABE≌△DFA，∴不存在AF＝AB，故③错误；∵△ABE≌△DFA，∴BE＝FA，∴AE＝AF+EF＝BE+EF．故④正确．故正确的结论有①②④，三个．故选：C．ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴∠AOG＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠BFG＝90°，∴∠OBE+∠BGF＝90°，∠FAO+∠AGO＝90°，∵∠AGO＝∠BGF，在△AGO和△BEO中，，在△AGO和△BEO中，，∴≌（，∴OE＝OG．故①正确；②∵EH∥AF，AF⊥BE，∴EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠EAM＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN＝DM，∵AD＝BC，∴AM＝EM＝BN，∵∠NBE+∠BEN＝∠BEN+∠HEM＝90°，∴∠NBE＝∠HEM，∴≌（，∴EH＝BE，故②正确；∴AC＝2，③如图2，Rt△ABC中，AB＝∴AC＝2，∴EC＝AC﹣AE∴EC＝AC﹣AE＝2﹣2，∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠AEH，由②知：EH＝BE，∴AH＝CE＝2﹣2；∴≌∴AH＝CE＝2﹣2；④④BE•AF，∵BE＝AG，∴AF•AG∴AF•AG＝AE•OB＝2，本题正确的有：①②③④，4个，故选：D．ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，，解得，，即点Q的运动速度 cm/s时能使两三角形全等．①y，解得，，即点Q的运动速度 cm/s时能使两三角形全等．，解得：，②yAP＝BQ，AE＝，解得：，综上所述，点Q的运动速度 或6cm/综上所述，点Q的运动速度 或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝ab﹣2[ cx+（a﹣（b＝ab﹣2[ cx+（a﹣（b]＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx＝（a﹣2c）x+bc，∵F为BC上一动点，∴x﹣2）是x的系数，∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，∴x的系数为0，bc为固定值，∴a﹣2c＝0，∴a＝2c，∴E是AB的中点，∴AB＝2AE，故选：C．ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠AFB＝45°，∴∠AFC＝135°，CFAH不垂直，FAHAF≠FH，∴①错误；∵四边形ABCD是矩形，∵AD＝，AB＝∵AD＝，AB＝1，∴∠ADB＝30°，∴∠ABO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∴AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AB＝BO，∴BF＝BO，∴②正确；∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，∴∠CAH＝15°，∵CE⊥BD，∴∠CEO＝90°，∵∠EOC＝60°，∴∠ECO＝30°，∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，∴AC＝CH，∴③正确；∵△AOB是等边三角形，∴AO＝OB＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，∴DC＝OC＝OD，∴DE＝EO＝ DO∴DE＝EO＝ DO＝ BD，即BE＝3ED，∴④正确；所以其中正确结论有②③④，3个．故选：C．△ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ CGF+SDHG＝SHJE+S△EKF+SFLG+SGIH，SAEH+SBFE+SCGF+SDHG＝SHJE+SEKF+SFLG+SGIH＝△ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ SEFGH＝SABCD﹣x＝SIJKL+x，196﹣x＝4+x，解得x＝96，∴S正方形EFGH＝196﹣96＝100，∴正方形EFGH的边长为10，故选：C．二．填空题AGH∥xBBG⊥GHGDDH⊥GHH，则∠G＝∠H＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠DAH＝90°，∴∠BAG＝∠DAH，，在△BGA和△AHD中，，∴A≌（，∴BG＝AH，AG＝DH，∵点A（2a，﹣a）在第四象限上，点B与点A关于原点对称，∴（﹣a，，且a，∵点D（4，m）在第一象限内，∴4﹣2a＝a+a，m+a＝2a+2a，解得：a＝1，m＝3．故答案为：3．EABOAEE″，∵（﹣，3D（，1，∴AB＝OA＝3，OD＝1，∵四边形ABCO是正方形，∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°，∵AD＝CE′＝CE″，，在Rt△BCE′和Rt△OAD中，，∴′（，∴BE′＝OD＝1，∴AE′＝AB﹣BE′＝2，∴′（32；同理ED，∴OE″＝OD＝1，∴″（10．所以点E坐标为（3）或（，）或（，．5个点均为符合题意的点．故答案为5．DEHHP⊥CHCBPFFM⊥CHM，∵正方形ABCD的面积为36，∴正方形ABCD的边长为6，设CF＝x，则BF＝6﹣x，BE＝6+x，∴（﹣（∴（﹣（6x）1，∴＝2（负值舍去，∴AE＝CF＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠FCD＝90°，∴∠EAD＝∠FCD＝90°，∴D≌SA，∴ED＝FD，∠ADE＝∠CDF，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∵DG⊥EF，∴EH＝FH，∴DH＝FH，∵∠DHF＝∠CHP，∴∠DHC＝∠FHP，∵∠DHF＝∠DCF＝90°，∴∠CDH+∠CFH＝180°，∵∠CFH+∠PFH＝180°，∴∠CDH＝∠PFH，∴≌（，∴DC＝PF＝6，CH＝PH，∴PC＝6+2＝8，过点H作HQ⊥PC于Q，∴HQ＝ PC∴HQ＝ PC＝4，CH＝4，CF•HQ＝CH•FM，∴2×4＝4FM，∴FM＝，FCH的距离是．故答案为：．D、EF三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．BD时，∵∠PBQ＝45°，∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，在△ABP和△CBQ中，∵，∴≌∵，∴BP＝BQ，∵，在△QBD和△PBD∵，∴≌（SA，∴PD＝QD；②当BD不平分∠PBQ时，∵AB∥CQ，∴∠ABQ＝∠CQB，∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，∴∠BDQ＝∠BDP，∴PD•QD＝BD2＝22+22＝8，故答案为：＝，8．三．解答题1（）证明：取B的中点H，连接；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，∴E≌，∴AE＝EF；成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．，在△AME与△ECF中，，∴≌，∴AE＝EF．存在，理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，，在△ADM与△BAE中，，∴≌（，∴DM＝AE，由（1）AE＝EF，∴DM＝EF，∴四边形DMEF为平行四边形．1DP就是D的垂直平分线与B的交点，此时＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：在直角△OPC中，CP＝＝＝3，①若点O是顶角顶点时，在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是34．中，PM＝＝＝3，②DD5CB中，PM＝＝＝3，当P在M＝5＝，则P的坐标是2，；当P在M＝5+＝，则P的坐标是8．故P，4）或2，）或，4．1（）∥，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．（2）∵ED∥BF，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴平行四边形EBFD是菱形，∵EG⊥BC，∴SEBFD＝BF•EG，△ △ △ ∴SEFD＝SBEF＝SBED＝SBFD△ △ △ 2（）证明：∵四边形D是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠AEF＝∠CHG，∵BE＝2AB，DH＝2CD，∴BE＝DH，∴BE﹣AB＝DH﹣DC，∴AE＝CH，∵∠BAD+∠EAF＝180°，∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠EAF＝∠GCH，∴≌，∴AF＝CG；（2）AD＝AB时，四边形BEDH是正方形，（2）AD＝AB时，四边形BEDH是正方形，∴四边形EBHD是平行四边形，∵EH⊥BD，∴四边形EBHD是菱形，∴ED＝EB＝2AB，当AE2+DE2＝AD2时，则∠BED＝90°，∴AD＝AB，AD＝AB，四边形BEDH是正方形．BEDHAB∴AD＝AB，AD＝AB，四边形BEDH是正方形．2（）∥，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∴OE＝ AC＝OA∴OE＝ AC＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝ BD＝2，∴OA＝＝＝，∴OE∴OB＝ BD＝2，∴OA＝＝＝，∴OE＝OA＝．2（）证明：∵四边形D是菱形，，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE和△ADF中，，∴≌（SA，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠BAE+∠EAF＝∠DAF+∠EAF，∴∠BAF＝∠DAE；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，∴3∠ABD＝67.5°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BGE＝67.5°，∵△ABE≌△ADF，∴∠AFD＝90°，∴△BEG只含有一个3∠ABD；同理可得：∠DHF＝67.5°，∴△DFH只含有一个3∠ABD；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵AE⊥BC，∠AFD＝90°，∴∠DAG＝∠BAH＝90°，∵∠DHF＝∠AHB＝67.5°，∠BGE＝∠AGD＝67.5°，∴△DAG只含有一个3∠ABD；△BAH只含有一个3∠ABD．故图中所有的只含有一个3∠ABD的三角形有：△BEG，△BAH，△DFH，△DAG．解（）如图所示，过N作，交B于点G． 则四边形D是矩形所以NG＝AD＝AB＝3a，∴MN＝AP＝＝∵