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第一章特殊平行四边形北师版专题课堂(二)正方形中有关计算与证明例1

(梅州中考)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？解：(1)在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF(2)GE＝BE＋GD成立．理由：由(1)得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF.∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝45°.∴∠GCF＝∠DCF＋∠DCG＝45°.在△ECG与△FCG中，∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD1．如图，P为正方形ABCD的BC边上一点，AQ平分∠DAP交CD于点Q.(1)求证：AP＝BP＋DQ；(2)若将AQ平分∠DAP与AP＝BP＋DQ互换，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由．解：(1)延长PB至E，使BE＝DQ，连接AE，易证△ABE≌△ADQ，∴∠BAE＝∠DAQ，∠E＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠BAQ＝∠AQD，∴∠E＝∠BAQ＝∠BAP＋∠PAQ＝∠BAP＋∠DAQ＝∠BAP＋∠BAE＝∠PAE，∴AP＝PE＝BP＋DQ(2)仍然成立，证法可参见(1)例2已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G，E分别在线段AD，AB上．(1)如图①，连接DF，BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，则下列说法“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请说明理由；如不正确，请举反例说明；(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF(2)可以找到一条线段BE与DG始终相等．理由如下：如图②，连接BE.在正方形ABCD和正方形AEFG中，AE＝AG，AD＝AB，且∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠GAB＝∠GAE－∠GAB，即∠DAG＝∠BAE.∴△ADG绕点A顺时针旋转90°后能和△ABE重合．∴DG＝BE2．如图，P是正方形ABCD内的一点，若PB∶PC∶PD＝1∶2∶3，则∠BPC的度数为____．3．(上海中考)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC

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