Part2-第11章-桥梁结构几何非线性计算理论课件

桥梁结构几何非线性同济大学桥梁工程系大跨度桥梁研究室第十一章计算理论桥梁结构几何非线性同济大学桥梁工程系第十一章计算理论1概述2桥梁结构几何非线性分析的有限元方法3桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵4桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论5非线性方程的求解6算例7小结第十一章桥梁结构几何非线性计算理论本章主要内容1概述第十一章桥梁结构几何非线性计算理论本章主要内容1概述二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程中的非线性问题逐步得以解决1概述二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础由于计算繁复固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类本构方程（广义胡克定律）

——应力与应变的关系固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类本构方固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)几何方程——位移与应变的关系固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类(续)固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)平衡方程——点的应力状态固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类(续)经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线性

1.1非线性问题及其分类(续)材料的应力、应变关系满足广义虎克定律位移是微小的约束是理想约束不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题

经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线1.1

非线性问题及其分类(续)1.1非线性问题及其分类(续)几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实意义上平衡的一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才得以广泛应用1.2几何非线性问题几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上1.2几何非按线性理论求解无法找到平衡位置按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’，即为B点位移的解受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进行分析几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题1.2几何非线性问题(续)PBACB’P按线性理论求解无法找到平衡位置1.2几何非线性问题(续)P1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论考虑主缆拉力二阶影响将平衡方程建立在变形后的位置上忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大节省了工程造价，充分显示了它的优越性此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了巨大贡献1.3桥梁结构中的几何非线性研究1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论1.3挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的Timoshenko于1928年提出了三角级数解Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性挠度理论我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等代梁法将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数揭示了悬索桥受力的本质1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的1.3桥梁结构中1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析挠度折减系数与桥梁柔度关系图加劲梁挠度1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析加劲梁弯矩和剪力折减系数图加劲梁弯矩和剪力1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析Hp影响线影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0Q影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0位移η影响线（×10）

1/4-7M影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）弯矩包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）剪力包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）挠度包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略对各种复杂结构，建立非线性平衡微分方程及其求解也越来越困难六十年代初，Brotton等发表求解结构大位移、初应力问题的研究成果这些理论方法都可归入几何非线性力学的有限位移理论

1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂1.3桥梁结1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应1）单元初内力对单元刚度矩阵的影响一般指单元轴力对弯曲刚度的影响有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应2）大位移对建立结构平衡方程的影响T.L列式法将参考座标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题U.L列式法将参考座标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应3）由索垂度引起的单元刚度变化引入Ernst公式，通过等效模量法近似修正垂度效应导出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解七十年代未，国外相继推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等结构分析综合程序可用于桥梁结构的部分非线性计算和局部应力分析但无法完整地完成桥梁设计计算国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序同济大学桥梁系开发的BAP系统交通部公规院开发的QJS系统有的已具备非线性计算功能1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解1.3桥梁结构中的2.1变形体的运动描述变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动物体中一点0P，在t=0t时坐标为（0x1,0x2,0x3）2.桥梁几何非线性分析的有限元方法运动状态的描述方法：独立变量为0xi(i=1,2,3)和0t即给出任意时刻物体中各质点的位置1)物质描述2.1变形体的运动描述2.桥梁几何非线性分析的有限元方法运动2.1变形体的运动描述独立变量为质点Ｐ的当前坐标与时刻t——拉格朗日法选择t=0时的构形为参照时，称为总体拉格朗日描述(T.L列式)2)参照描述以nt为独立变量，取nt为非线性增量求解时增量步的开始时刻，称为更新的拉格朗日描述(U.L列式)3)相关描述独立变量是质点Ｐ当前的位置n+1x与时间n+1t——欧拉描述4)空间描述下面介绍T.L列式和U.L列式2.1变形体的运动描述独立变量为质点Ｐ的当前坐标与时刻t——在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变增量形式T.L列式的单元平衡方程：2.2总体拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)看看推导吧！——单元切线刚度矩阵，表示荷载增量与位移增量之间的关系；——单元弹性刚度矩阵，与单元节点位移无关；——单元初位移刚度矩阵，由大位移引起的结构刚度变化；——初应力刚度矩阵(几何刚度矩阵)，表示初应力对结构刚度的影响在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：

2.2总体拉格朗日列式法(续)(TotalLagrangianFormulation)式中：0[K()]T为结构切线刚度矩阵;d{P}为荷载增量。荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式在计算中，一般通过迭代法来求解

2.2总体拉格朗日列式法(续)式中：0[K()]T为结构以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列式)与T.L列式的一个重要区别:t[k]L的积分式是t[k]0的一阶或二阶小量,因此，代表[k]L的积分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可写成:2.3

更新的拉格朗日列式法(U.L列式)以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗相同点——

相同的荷载增量步内,其线性化的切线刚度矩阵相同不同点——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围相同点——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围适用范围——从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性分析一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题U.L列式除了适应于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用U.L列式方法2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围适用范围——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围总体拉格朗日列式法推导过程[B]矩阵可分解为与杆端位移无关的部分[B0]和与杆端位移有关的部分[BL]两部分，即：[B]=[B0]+[BL](11－3)全量列式法杆系单元的平衡方程可由虚功原理得到：总体拉格朗日列式法推导过程[B]矩阵可分解为与杆端位移无关的增量列式法：总体拉格朗日列式法推导过程增量列式法：总体拉格朗日列式法推导过程由前面讨论可知:T.L列式下单元切线刚度阵可分为三个部分，即弹性刚度阵0[k]0、初位移刚度阵0[k]L和几何刚度阵0[k]而U.L列式下单元切线刚度阵只有t[k]0和t[k]两部分本节进一步讨论桥梁结构分析中常用单元切线刚度阵的具体表达形式3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵由前面讨论可知:3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵(续)推导非线性刚度方程的一般方法建立应变与位移的非线性关系即几何方程；将形函数代入几何方程得到应变矩阵:[B]=[B]0+[BL]；代入各式即可求得相应刚度矩阵。3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵(续)推导非线性刚度方程的3.1平面桁架单元图11.3所示的桁架单元ij，杆长为l，截面积为A，在外荷载作用下，i、j端发生了位移3.1平面桁架单元3.1平面桁架单元(续)单元应变与节点位移的关系矩阵：

(11－2)

3.1平面桁架单元(续)单元应变与节点位移的关系矩阵：3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)由此说明:T.L和U.L列式的单元切线刚度矩阵具有等价性T.L列式下单元初位移矩阵的实质是让单元在变形后的位置上发挥其作用，以满足平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一重要条件U.L列式则通过节点坐标的不断迁移来实现平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一目标3.1

平面桁架单元(续)由此说明:3.1平面桁架单元(续)柔索的特点：抗弯刚度小索的自重对结构平衡影响不可忽略用拉压杆模拟柔索会引起误差有必要建立柔索单元的刚度方程3.2平面柔索单元为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假定：1)柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力（抗弯刚度为0）2)柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载作用，荷载合力效应为q3)柔索材料符合虎克定律4)局部座标系取在柔索荷载合力平面内3.2平面柔索单元为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假考察图11.5中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向下为正。3.2平面柔索单元(续)考察图11.5中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向（A、B、C为杆端力的函数）在索端平衡力已知的情况下，可直接计算柔索切线刚度矩阵3.2平面柔索单元(续)（A、B、C为杆端力的函数）3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)而用直杆代替柔索计算只是常用的近似方法柔索的垂度效应可用Ernst公式对弹性模量进行修正这种方法在小位移、高应力水平下，具有较高精度如果索工作在大位移状态或应力水平不高的情况下，用Ernst公式就会出现很大的误差3.2平面柔索单元(续)而用直杆代替柔索计算只是常用的近似方法3.2平面柔索单元U.L列式下的单元切线刚度矩3.3平面梁单元U.L列式下的单元切线刚度矩3.3平面梁单元4.桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论4.1稳定函数与几何刚度矩阵问题：非线性分析时可能有许多刚度矩阵表达形式，如何选用？思路：对比稳定函数与几何刚度矩阵元素之间的区别和联系如下图所示压杆的M、Q和位移为正，其挠曲平衡微分方程为：

(11－50)4.桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论4.1稳定函数与几4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)c为力矩作用端的角变形，s为另一端的角变形，均是γ的函数：

4.1稳定函数与几何刚度矩阵(续)c为力矩作用端的角变形，4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)以稳定函数表达的刚度系数包含了轴力对弯曲刚度的影响，相当于前面切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和

4.1稳定函数与几何刚度矩阵(续)以稳定函数表达的刚度系数几何刚度阵系数就是稳定函数忽略高阶项的轴力影响系数当>3时，随着的增大，几何刚度矩阵的误差也增大但由于与l成正比，有限元分析中只要减小单元长度，就可避免使用几何刚度阵产生的这种误差4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)几何刚度阵系数就是稳定函数忽略高阶项的轴力影响系数4.1稳在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量为： (11－63) (11－64)

(11－65)在外力作用下，杆件总的缩短量为：

(11－66)

因此(11－67)

式中：弯矩引起的轴向刚度修正系数，是杆两端弯矩和轴力的函数

弯矩对轴向刚度的影响较小，一般可以不用考虑4.2

弯矩对轴向刚度的影响在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量为：4非线性状态下荷载最不利加载区域称为影响区活载几何非线性分析，会遇到如下问题：线性叠加原理失效无法再用传统的影响线加载法进行活载分析确定影响区本身是一个非线性问题仅用恒载初始状态计算活载，会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差单位强迫变位产生的等效力很大用机动法求解影响区将破坏指定状态结构影响区的真实形状4.3

活载的几何非线性分析非线性状态下荷载最不利加载区域称为影响区4.3活载的几何非1)将结构恒载受力状态作为初始状态，计算出初始影响函数2)用动态规划加载法，找出最不利加载位置，并作好记录3)以恒载受力状态为计算初态，将活载按最不利载位一次性作用于结构，分析恒、活载共同作用下的结构受力状态和关心截面力学量4)将恒、活载共同作用下的结构状态作为求解下一步影响区函数新的初态，重复1)～3)的计算，经过数次迭代计算得到活载作用下关心力学量的最值求解活载影响区可用机动法但单位强迫变位应取用一个很小的数(如10-5），以保证确定的影响区不失真，使动态规划法找到的载位即为相应内力状态下的最不利载位4.3

活载的几何非线性分析(续)活载几何非线性分析，可按以下步骤计算：1)将结构恒载受力状态作为初始状态，计算出初始影响函数4.3在设计和施工计算中，常常需要对某些结构参数进行调整通过关心截面内力、位移、应力调值计算来解决一般情况下，要使关心截面中n个独立参量调整为指定值，就必须改变施调截面中的n个独立参量4.4

几何非线性调值计算当几何非线性表现突出时，基于线性叠加原理的调值计算方法无法直接用于非线性结构的计算下面讨论计入几何非线性影响的调值计算求解策略在设计和施工计算中，常常需要对某些结构参数进行调整4.4几4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)4.4

几何非线性调值计算(续)但当受调向量为内力时，将内力元素的影响向量用相应位置和方向上杆件的单位强迫变形影响向量来代替4.4几何非线性调值计算(续)但当受调向量为内力时，将内力4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)5.非线性方程的求解5.1求解方法概述结构非线性控制方程是一组非线性代数方程下面是几种常用的求解方法1)直接求解法（11-80）当设定位移向量{}的初值{}后，改进的近似解可由下式得到：迭代过程

5.非线性方程的求解5.1求解方法概述结构非线性控制方程是5.1

求解方法概述(续)1)直接求解法直接迭代法应用简单，运算速度一般较快，可应用于具有轻微非线性的问题求解过程的成功与否很大程度上取决于对初值位移{}的正确估计。图(b)表示的是直接迭代法迭代过程发散时的情形为改善收敛性和收敛速度，可以采用将荷载分成若干级的做法5.1求解方法概述(续)1)直接求解法直接迭代法应用简单2)增量法将整个荷载变形过程划分为一连串增量段，每一增量段中结构的荷载响应被近似地线性化将每一级增量荷载下求得的状态变量视作结构平衡状态，计算相应的切线刚度阵，进而作下一级荷载计算，并不断累加其位移增量每一级荷载作用前结构并未精确地到达平衡位置，误差会逐渐累积无法修正为了保证计算精度，常常将增量区间划分得相当小5.1

求解方法概述(续)2)增量法每一级荷载作用前结构并未精确地到达平衡位3）增量法改进将不平衡力作为一种修正荷载并入下一级荷载增量具有较高的求解速度，比简单增量法的计算精度高在求解塑性问题时得到广泛的应用

5.1

求解方法概述(续)3）增量法改进5.1求解方法概述(续)5.2

Newton-Raphson法5.2Newton-Raphson法5.2

Newton-Raphson法(续)5.2Newton-Raphson法(续)5.2

Newton-Raphson法(续)N·R法M·N·R法

5.2Newton-Raphson法(续)N·R法图11.16法和法迭代流程图

5.2

Newton-Raphson法(续)编程时可以混合使用两种方法

图11.16法和法迭代流程在迭代计算中，为了中止迭代过程，必须确定一个收敛标准在实际应用中，可以从结构的不平衡力向量和位移增量向量两方面来判断迭代计算的敛散性节点力和位移都是向量，其大小一般用该向量的范数来表示

5.3

收敛准则在迭代计算中，为了中止迭代过程，必须确定一个收敛标准5.35.3

收敛准则(续)5.3收敛准则(续)位移准则——取位移增量为衡量收敛标准的准则，若满足下列条件就认为迭代收敛：

平衡力准则——取不平衡结点力为衡量收敛标准，若满足下列条件就认为迭代收敛：

5.3

收敛准则(续)位移准则——取位移增量为衡量收敛标准的准则，若满足下列条件就在用平衡力准则时，取比较好。在用位移准则时，取更为方便。在非线性比较严重的问题中，用位移准则更合适有的学者还用能量作为收敛标准，综合了力与位移两个方面，但要增加更多的计算量。

5.3

收敛准则(续)选取方法：在用平衡力准则时，取比较好。5.3收敛准则(续)选取6.算例例：图11.17结构在图示荷载作用下杆件材料仍将处在线弹性工作阶段，弹性模量E=2.0×104kN/cm2，杆件的横截面积A=4cm2。试采用带有一阶自校正的增量法和Newton-Raphson方法对其进行几何非线性分析。

6.算例例：图11.17结构在图示荷载作用下杆件材料仍将处在6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)1)带有一阶自校正的增量法。

6.算例(续)1)带有一阶自校正的增量法。6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)由表11－3可以看出：本例采用一阶自校正的增量法所得节点位移和杆件轴向力分别比精确值大5.32%和8.28%，比采用简单增量法(相应误差分别为24.32%和40.31%)有很大的改善。利用一阶自校正的增量法可以得到比较精确的荷载－变位曲线，而且计算工作量不大，因此一阶自校正增量法很合适于求解塑性问题等路径有关的非线性问题。一阶自校正增量法要求在荷载－变位反应非线性程度较大的区段采用较小的增量步。6.算例(续)由表11－3可以看出：6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)6.算例(续)本章介绍了桥梁结构非线性问题的分类及几何非线性分析理论的发展过程通过变形体的运动描述，介绍了总体拉格朗日列式法和更新的拉格朗日列式法求解非线性问题的思想及其异同和适用范围通过平面桁架单元的切线刚度矩阵的推导，说明了TL列式与UL列式两者的统一性讨论了稳定函数与几何刚度矩阵关系、弯矩对轴向刚度的影响、活载几何非线性分析方法、几何非线性调值计算方法等桥梁结构几何非线性分析中的特殊问题最后，给出了非线性方程的求解和收敛准则的确定方法7.小结6.算例本章介绍了桥梁结构非线性问题的分类及几何非线性分析理论的发展

习题习题桥梁结构几何非线性同济大学桥梁工程系大跨度桥梁研究室第十一章计算理论桥梁结构几何非线性同济大学桥梁工程系第十一章计算理论1概述2桥梁结构几何非线性分析的有限元方法3桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵4桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论5非线性方程的求解6算例7小结第十一章桥梁结构几何非线性计算理论本章主要内容1概述第十一章桥梁结构几何非线性计算理论本章主要内容1概述二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程中的非线性问题逐步得以解决1概述二十世纪中叶，奠定了非线性力学的理论基础由于计算繁复固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类本构方程（广义胡克定律）

——应力与应变的关系固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类本构方固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)几何方程——位移与应变的关系固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类(续)固体力学中有三组基本方程——本构方程、几何运动方程和平衡方程1.1非线性问题及其分类(续)平衡方程——点的应力状态固体力学中有三组基本方程——1.1非线性问题及其分类(续)经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线性

1.1非线性问题及其分类(续)材料的应力、应变关系满足广义虎克定律位移是微小的约束是理想约束不满足其中任何一个假定，就转化为非线性问题

经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本方程成为线1.1

非线性问题及其分类(续)1.1非线性问题及其分类(续)几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实意义上平衡的一般结构的平衡状态不因变形而发生明显改变,线性理论才得以广泛应用1.2几何非线性问题几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上1.2几何非按线性理论求解无法找到平衡位置按几何非线性分析方法求解，可以找到平衡位置B’，即为B点位移的解受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进行分析几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题1.2几何非线性问题(续)PBACB’P按线性理论求解无法找到平衡位置1.2几何非线性问题(续)P1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论考虑主缆拉力二阶影响将平衡方程建立在变形后的位置上忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大节省了工程造价，充分显示了它的优越性此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了巨大贡献1.3桥梁结构中的几何非线性研究1888年，Melan在悬索桥结构分析中提出了挠度理论1.3挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的Timoshenko于1928年提出了三角级数解Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性挠度理论我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等代梁法将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数揭示了悬索桥受力的本质1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的1.3桥梁结构中1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析挠度折减系数与桥梁柔度关系图加劲梁挠度1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析加劲梁弯矩和剪力折减系数图加劲梁弯矩和剪力1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析Hp影响线影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0Q影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析影响线1—一阶理论；2—H=Hg；3—H=Hg+maxHp0位移η影响线（×10）

1/4-7M影响线1/41.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）弯矩包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）剪力包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理1.3

桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理论对比分析杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1—一阶理论；2—二阶理论）挠度包络图1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)悬索桥一阶和二阶理现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略对各种复杂结构，建立非线性平衡微分方程及其求解也越来越困难六十年代初，Brotton等发表求解结构大位移、初应力问题的研究成果这些理论方法都可归入几何非线性力学的有限位移理论

1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂1.3桥梁结1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应1）单元初内力对单元刚度矩阵的影响一般指单元轴力对弯曲刚度的影响有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应2）大位移对建立结构平衡方程的影响T.L列式法将参考座标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题U.L列式法将参考座标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应3）由索垂度引起的单元刚度变化引入Ernst公式，通过等效模量法近似修正垂度效应导出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)建立杆系结构几何非线目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解七十年代未，国外相继推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等结构分析综合程序可用于桥梁结构的部分非线性计算和局部应力分析但无法完整地完成桥梁设计计算国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序同济大学桥梁系开发的BAP系统交通部公规院开发的QJS系统有的已具备非线性计算功能1.3桥梁结构中的几何非线性研究(续)目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解1.3桥梁结构中的2.1变形体的运动描述变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动物体中一点0P，在t=0t时坐标为（0x1,0x2,0x3）2.桥梁几何非线性分析的有限元方法运动状态的描述方法：独立变量为0xi(i=1,2,3)和0t即给出任意时刻物体中各质点的位置1)物质描述2.1变形体的运动描述2.桥梁几何非线性分析的有限元方法运动2.1变形体的运动描述独立变量为质点Ｐ的当前坐标与时刻t——拉格朗日法选择t=0时的构形为参照时，称为总体拉格朗日描述(T.L列式)2)参照描述以nt为独立变量，取nt为非线性增量求解时增量步的开始时刻，称为更新的拉格朗日描述(U.L列式)3)相关描述独立变量是质点Ｐ当前的位置n+1x与时间n+1t——欧拉描述4)空间描述下面介绍T.L列式和U.L列式2.1变形体的运动描述独立变量为质点Ｐ的当前坐标与时刻t——在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变增量形式T.L列式的单元平衡方程：2.2总体拉格朗日列式法(TotalLagrangianFormulation)看看推导吧！——单元切线刚度矩阵，表示荷载增量与位移增量之间的关系；——单元弹性刚度矩阵，与单元节点位移无关；——单元初位移刚度矩阵，由大位移引起的结构刚度变化；——初应力刚度矩阵(几何刚度矩阵)，表示初应力对结构刚度的影响在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：

2.2总体拉格朗日列式法(续)(TotalLagrangianFormulation)式中：0[K()]T为结构切线刚度矩阵;d{P}为荷载增量。荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式在计算中，一般通过迭代法来求解

2.2总体拉格朗日列式法(续)式中：0[K()]T为结构以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列式)与T.L列式的一个重要区别:t[k]L的积分式是t[k]0的一阶或二阶小量,因此，代表[k]L的积分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可写成:2.3

更新的拉格朗日列式法(U.L列式)以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗相同点——

相同的荷载增量步内,其线性化的切线刚度矩阵相同不同点——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围相同点——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围适用范围——从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性分析一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题U.L列式除了适应于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用U.L列式方法2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围适用范围——2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围总体拉格朗日列式法推导过程[B]矩阵可分解为与杆端位移无关的部分[B0]和与杆端位移有关的部分[BL]两部分，即：[B]=[B0]+[BL](11－3)全量列式法杆系单元的平衡方程可由虚功原理得到：总体拉格朗日列式法推导过程[B]矩阵可分解为与杆端位移无关的增量列式法：总体拉格朗日列式法推导过程增量列式法：总体拉格朗日列式法推导过程由前面讨论可知:T.L列式下单元切线刚度阵可分为三个部分，即弹性刚度阵0[k]0、初位移刚度阵0[k]L和几何刚度阵0[k]而U.L列式下单元切线刚度阵只有t[k]0和t[k]两部分本节进一步讨论桥梁结构分析中常用单元切线刚度阵的具体表达形式3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵由前面讨论可知:3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵(续)推导非线性刚度方程的一般方法建立应变与位移的非线性关系即几何方程；将形函数代入几何方程得到应变矩阵:[B]=[B]0+[BL]；代入各式即可求得相应刚度矩阵。3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵(续)推导非线性刚度方程的3.1平面桁架单元图11.3所示的桁架单元ij，杆长为l，截面积为A，在外荷载作用下，i、j端发生了位移3.1平面桁架单元3.1平面桁架单元(续)单元应变与节点位移的关系矩阵：

(11－2)

3.1平面桁架单元(续)单元应变与节点位移的关系矩阵：3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)3.1

平面桁架单元(续)3.1平面桁架单元(续)由此说明:T.L和U.L列式的单元切线刚度矩阵具有等价性T.L列式下单元初位移矩阵的实质是让单元在变形后的位置上发挥其作用，以满足平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一重要条件U.L列式则通过节点坐标的不断迁移来实现平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一目标3.1

平面桁架单元(续)由此说明:3.1平面桁架单元(续)柔索的特点：抗弯刚度小索的自重对结构平衡影响不可忽略用拉压杆模拟柔索会引起误差有必要建立柔索单元的刚度方程3.2平面柔索单元为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假定：1)柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力（抗弯刚度为0）2)柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载作用，荷载合力效应为q3)柔索材料符合虎克定律4)局部座标系取在柔索荷载合力平面内3.2平面柔索单元为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假考察图11.5中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向下为正。3.2平面柔索单元(续)考察图11.5中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向（A、B、C为杆端力的函数）在索端平衡力已知的情况下，可直接计算柔索切线刚度矩阵3.2平面柔索单元(续)（A、B、C为杆端力的函数）3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)3.2平面柔索单元(续)而用直杆代替柔索计算只是常用的近似方法柔索的垂度效应可用Ernst公式对弹性模量进行修正这种方法在小位移、高应力水平下，具有较高精度如果索工作在大位移状态或应力水平不高的情况下，用Ernst公式就会出现很大的误差3.2平面柔索单元(续)而用直杆代替柔索计算只是常用的近似方法3.2平面柔索单元U.L列式下的单元切线刚度矩3.3平面梁单元U.L列式下的单元切线刚度矩3.3平面梁单元4.桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论4.1稳定函数与几何刚度矩阵问题：非线性分析时可能有许多刚度矩阵表达形式，如何选用？思路：对比稳定函数与几何刚度矩阵元素之间的区别和联系如下图所示压杆的M、Q和位移为正，其挠曲平衡微分方程为：

(11－50)4.桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论4.1稳定函数与几4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)c为力矩作用端的角变形，s为另一端的角变形，均是γ的函数：

4.1稳定函数与几何刚度矩阵(续)c为力矩作用端的角变形，4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)以稳定函数表达的刚度系数包含了轴力对弯曲刚度的影响，相当于前面切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和

4.1稳定函数与几何刚度矩阵(续)以稳定函数表达的刚度系数几何刚度阵系数就是稳定函数忽略高阶项的轴力影响系数当>3时，随着的增大，几何刚度矩阵的误差也增大但由于与l成正比，有限元分析中只要减小单元长度，就可避免使用几何刚度阵产生的这种误差4.1

稳定函数与几何刚度矩阵(续)几何刚度阵系数就是稳定函数忽略高阶项的轴力影响系数4.1稳在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量为： (11－63) (11－64)

(11－65)在外力作用下，杆件总的缩短量为：

(11－66)

因此(11－67)

式中：弯矩引起的轴向刚度修正系数，是杆两端弯矩和轴力的函数

弯矩对轴向刚度的影响较小，一般可以不用考虑4.2

弯矩对轴向刚度的影响在杆件微段上，弯曲引起的杆件轴线计算长度的改变量为：4非线性状态下荷载最不利加载区域称为影响区活载几何非线性分析，会遇到如下问题：线性叠加原理失效无法再用传统的影响线加载法进行活载分析确定影响区本身是一个非线性问题仅用恒载初始状态计算活载，会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差单位强迫变位产生的等效力很大用机动法求解影响区将破坏指定状态结构影响区的真实形状4.3

活载的几何非线性分析非线性状态下荷载最不利加载区域称为影响区4.3活载的几何非1)将结构恒载受力状态作为初始状态，计算出初始影响函数2)用动态规划加载法，找出最不利加载位置，并作好记录3)以恒载受力状态为计算初态，将活载按最不利载位一次性作用于结构，分析恒、活载共同作用下的结构受力状态和关心截面力学量4)将恒、活载共同作用下的结构状态作为求解下一步影响区函数新的初态，重复1)～3)的计算，经过数次迭代计算得到活载作用下关心力学量的最值求解活载影响区可用机动法但单位强迫变位应取用一个很小的数(如10-5），以保证确定的影响区不失真，使动态规划法找到的载位即为相应内力状态下的最不利载位4.3

活载的几何非线性分析(续)活载几何非线性分析，可按以下步骤计算：1)将结构恒载受力状态作为初始状态，计算出初始影响函数4.3在设计和施工计算中，常常需要对某些结构参数进行调整通过关心截面内力、位移、应力调值计算来解决一般情况下，要使关心截面中n个独立参量调整为指定值，就必须改变施调截面中的n个独立参量4.4

几何非线性调值计算当几何非线性表现突出时，基于线性叠加原理的调值计算方法无法直接用于非线性结构的计算下面讨论计入几何非线性影响的调值计算求解策略在设计和施工计算中，常常需要对某些结构参数进行调整4.4几4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)4.4

几何非线性调值计算(续)但当受调向量为内力时，将内力元素的影响向量用相应位置和方向上杆件的单位强迫变形影响向量来代替4.4几何非线性调值计算(续)但当受调向量为内力时，将内力4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)4.4

几何非线性调值计算(续)4.4几何非线性调值计算(续)5.非线性方程的求解5.1求解方法概述结构非线性控制方程是一组非线性代