经济学微积分定积分的应用求面积体积课件

一、平面图形的面积平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。一条曲线情形：（积分变量为x）(1)f(x)≥0,(2)f(x)≤0,（3）一般情况一、平面图形的面积平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解1经济学微积分定积分的应用求面积体积课件2一条曲线（积分变量为y）(1)(2)(3)一般情况一条曲线（积分变量为y）(1)(2)(3)一般情况3经济学微积分定积分的应用求面积体积课件42条曲线（选择合适的积分变量）xyoxyo选x作为变量上边曲线减去下边曲线注：求面积时保证被积函数的非负性2条曲线（选择合适的积分变量）xyoxyo选x作为变量上边曲5xyo当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分段点.选y作为变量右边曲线减去左边曲线xyo当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分段点.6画草图.例所围成图形的面积.计算由解

得交点(0,0)和(1,1)解方程组另解.

选x为积分变量选y为积分变量求面积的解题步骤1、画草图2、联立方程求交点3、选取合适的积分变量，确定积分区间4、确定被积函数，利用公式进行求解画草图.例所围成图形的面积.计算由解得交点(0,0)7积分变量的选择选取积分变量x(y)应满足：过点x(y)

作垂直于x(y)

轴的直线穿区域D,是一进一出，即最多两个交点；xyo积分区间的确定选取积分变量x应为区域的左右两个边界点所确定的区间;选取积分变量y应为区域的上下两个边界点所确定的区间;被积函数应遵循的原则---大减小(x上减下,y右减左)理论上可以选择任何一个变元为积分变量.积分变量的选择选取积分变量x(y)应满足：过点x(8例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.9例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.解：两曲线的交点选为积分变量选x为积分变量例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.10例：求由曲线所围面积。解：画草图，例：求由曲线所围面积。解：画草图，11

例

设曲线

x轴与

y轴在第一象限所围的图形被曲线

分为面积相等的两部分，试确定a的值.解

如图，解方程组

而再由得得交点坐标例设曲线x12oxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积oxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积13oxyab具体求法如下：1.分割2.近似求和3.求极限oxyab具体求法如下：1.分割2.近似求和3.求极限14旋转体的体积旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体的轴。圆柱圆锥圆台旋转体的体积旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转15由连续曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围图形绕x轴旋转一周生成旋转体的体积为：由连续曲线x=(y),y=c,y=d,x=0所围图形绕y轴旋转一周生成旋转体的体积为：由连续曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围图16一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(x)和直线x=a、x=b所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为oxyy=ƒ(x)abx

x+dxy=g(x)一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(17例：求由椭圆旋转椭球体的体积．旋转椭球体可看作由上半椭圆绕x轴旋转。所围成的图形绕x轴旋转而成的解：例：求由椭圆旋转椭球体的体积．旋转椭球体可看作由上半椭圆绕x18例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。解：画图，求交点：(0,0)(0,1)积分变量：例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。19例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的图形绕x,y轴旋转而成的体积。解：画图，例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的20经济学微积分定积分的应用求面积体积课件21解：画图，解：画图，22三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量 已知某产品总产量Q的变化率是时间t的连续函数f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q‘(t)=f(t),Q0=Q(t0).则产品在t时刻的总产量函数可表示为注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量 已知某产23例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2(吨/小时),求⑴总产量函数Q(t);⑵从t0=4到t1=8这段时间内的总产量Q。解：=572.8(吨)例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t24经济应用举例之二已知边际函数求总量函数经济应用举例之二已知边际函数求总量函数25经济学微积分定积分的应用求面积体积课件26小结1.求在直角坐标系下平面图形的面积。（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）2.旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周绕非轴直线旋转一周***3.经济应用:已知变化率求总函数值。作业：pp211，12(3)(5)，13(8),16小结1.求在直角坐标系下平面图形的面积。（注意恰当的选择积27一、平面图形的面积平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。一条曲线情形：（积分变量为x）(1)f(x)≥0,(2)f(x)≤0,（3）一般情况一、平面图形的面积平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解28经济学微积分定积分的应用求面积体积课件29一条曲线（积分变量为y）(1)(2)(3)一般情况一条曲线（积分变量为y）(1)(2)(3)一般情况30经济学微积分定积分的应用求面积体积课件312条曲线（选择合适的积分变量）xyoxyo选x作为变量上边曲线减去下边曲线注：求面积时保证被积函数的非负性2条曲线（选择合适的积分变量）xyoxyo选x作为变量上边曲32xyo当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分段点.选y作为变量右边曲线减去左边曲线xyo当两条曲线相交时，应求出其交点作为区间分段点.33画草图.例所围成图形的面积.计算由解

得交点(0,0)和(1,1)解方程组另解.

选x为积分变量选y为积分变量求面积的解题步骤1、画草图2、联立方程求交点3、选取合适的积分变量，确定积分区间4、确定被积函数，利用公式进行求解画草图.例所围成图形的面积.计算由解得交点(0,0)34积分变量的选择选取积分变量x(y)应满足：过点x(y)

作垂直于x(y)

轴的直线穿区域D,是一进一出，即最多两个交点；xyo积分区间的确定选取积分变量x应为区域的左右两个边界点所确定的区间;选取积分变量y应为区域的上下两个边界点所确定的区间;被积函数应遵循的原则---大减小(x上减下,y右减左)理论上可以选择任何一个变元为积分变量.积分变量的选择选取积分变量x(y)应满足：过点x(35例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.36例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.解：两曲线的交点选为积分变量选x为积分变量例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.37例：求由曲线所围面积。解：画草图，例：求由曲线所围面积。解：画草图，38

例

设曲线

x轴与

y轴在第一象限所围的图形被曲线

分为面积相等的两部分，试确定a的值.解

如图，解方程组

而再由得得交点坐标例设曲线x39oxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积oxyabxS(x)二、平行截面面积已知的立体体积40oxyab具体求法如下：1.分割2.近似求和3.求极限oxyab具体求法如下：1.分割2.近似求和3.求极限41旋转体的体积旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体,这条定直线称为旋转体的轴。圆柱圆锥圆台旋转体的体积旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转42由连续曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围图形绕x轴旋转一周生成旋转体的体积为：由连续曲线x=(y),y=c,y=d,x=0所围图形绕y轴旋转一周生成旋转体的体积为：由连续曲线y=f(x),x=a,x=b,y=0所围图43一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(x)和直线x=a、x=b所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为oxyy=ƒ(x)abx

x+dxy=g(x)一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(44例：求由椭圆旋转椭球体的体积．旋转椭球体可看作由上半椭圆绕x轴旋转。所围成的图形绕x轴旋转而成的解：例：求由椭圆旋转椭球体的体积．旋转椭球体可看作由上半椭圆绕x45例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。解：画图，求交点：(0,0)(0,1)积分变量：例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕y轴旋转而成的体积。46例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的图形绕x,y轴旋转而成的体积。解：画图，例：求由y=x2,y=x,y=2x所围成的47经济学微积分定积分的应用求面积体积课件48解：画图，解：画图，49三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量 已知某产品总产量Q的变化率是时间t的连续函数f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q‘(t)=f(t),Q0=Q(t0).则产品在t时刻的总产量函数可表示为注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。三、经济应用举例（一）已知总产量的变化率求总产量 已知某产50例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2(吨/小时),求⑴总产量函数Q(t);⑵从t0=4到t1=8这段时间内的总产量Q。解：=572.8(吨)例：某产品总产量变化率为f(t