关于曲线上某个点的切线的斜率的推理课件

首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从最基本的二次函数曲线开始。右边，就是一个任意构造的二次函数曲线。首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从1然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。由图可以得知，y=x^2-5x+1,A(4,-3).(取整点只为方便计算)然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。由图可以得知，y=x2再过A点，作一条切线L1那么，如何来求这条切线呢？再过A点，作一条切线L1那么，如何来求这条切线呢？3在这里，要用到极限的思想。在这里，要用到极限的思想。4对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点A’，直线L1’通过点A和A’。那么，当点A和A’之间的距离变近时，L1’就越接近L1。而如果点A和A’靠近到极限——也就是重合的时候，L1’就成为了L1。对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点5所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）因为A(4,-3)因为A’在抛物线上由此我们可以列出方程(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）因为A(4,-3)因6(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q16-8p+p^2-20+5p+1=-3-q(展开)p^2-3p=-q-p+3=q/p(两边同除以p)因为p，q无限接近于0所以q/p=3(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q7所以，L1的斜率为3设L1：y=3x+b再将A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数表达式应该是可以求的了，但若每一点都这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到一个通用的公式。所以，L1的斜率为3那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数8设该点的坐标为（x,y）再按照上面方法求一遍(x-p)^2-5*(x-p)+1=y-q(x^2-5x+1)+p^2-2px+5p=y-q(展开并整理)p^2-2px+5p=-qp-2x+5=-q/p(同除以p)p可以忽略不计所以，q/p=2x-5设该点的坐标为（x,y）再按照上面方法求一遍9可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为210设这个函数式的解析式为：y=ax^2+bx+c同样有点A,A’,切线L1，L1’。设A(x,y),A’(x+p,y+q)设这个函数式的解析式为：11a(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q(ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp=y+q(展开并整理)2apx+bp+ap^2=q2ax+b+ap=q/p(除以p)

所以p/q=2ax+ba(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q12所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.那么，二次函数是如此，三次函数呢？所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x13先画个图。同样的，作出A’.设此函数式为：y=ax^3+bx^2+cx+d可以列出方程：a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q(和前几次一样展开、化简)3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p)先画个图。同样的，作出A’.设此函数式为：y=ax^3+b143ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p)如何化简？因为p可以忽略不计，所以3axp,ap^2,bp可以忽略所以，q/p=3ax^2+2bx+c即对于所有3次函数曲线（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某点（x，y）的斜率为3ax^2+2bx+c。3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p15那如果是相对与全体函数呢？（理论上曲线都可以用函数表示）那如果是相对与全体函数呢？（理论上曲线都可以用函数表示）16由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p,y+q）代入N次方程中然而，如果将不同指数的每一项分开看的话（这里以三次项为范例）a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p3ax^2+2bx+c=q/pa(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2+3axp+ap^2展开将原有的部分去除除以p仍带有p的忽略由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，17所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，再除以p

a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^23ax^2p所以处理后的结果就是展开来的式子中提出只带有一个p的这一项，18a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^23ax^2p由各次方的展开式的系数的规律（杨辉三角形）我们可以知道，这一项(式子中提出只带有一个p的这一项)的展开后的系数就等于这一项的指数。

这处理为：ax^n变为anx^(n-1)a(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap19比如，将四次函数（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e）经过处理，变为

点（x，y）的斜率=4ax^3+3bx^2+2cx+d(零次项算在（将原有部分去除）里)ax^n变为anx^(n-1)比如，将四次函数（y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e20精品课件！精品课件！21精品课件！精品课件！22综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以ax^n变为anx^(n-1)的变化，就可以求出在此函数式上坐标为（x,y）的点的斜率。综上所述，对于任意曲线（函数式），将（标准式）每一项以23首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从最基本的二次函数曲线开始。右边，就是一个任意构造的二次函数曲线。首先，既然是求某曲线上某点的切线，那么必然得先有一个曲线，从24然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。由图可以得知，y=x^2-5x+1,A(4,-3).(取整点只为方便计算)然后，再在这条曲线上任取一点，设为点A。由图可以得知，y=x25再过A点，作一条切线L1那么，如何来求这条切线呢？再过A点，作一条切线L1那么，如何来求这条切线呢？26在这里，要用到极限的思想。在这里，要用到极限的思想。27对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点A’，直线L1’通过点A和A’。那么，当点A和A’之间的距离变近时，L1’就越接近L1。而如果点A和A’靠近到极限——也就是重合的时候，L1’就成为了L1。对于这条切线，我们做一下处理：假设在那条函数曲线上有另一个点28所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）因为A(4,-3)因为A’在抛物线上由此我们可以列出方程(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q所以设A’的坐标点为（4-p，-3-q）因为A(4,-3)因29(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q16-8p+p^2-20+5p+1=-3-q(展开)p^2-3p=-q-p+3=q/p(两边同除以p)因为p，q无限接近于0所以q/p=3(4-p)^2-5*(4-p)+1=-3-q30所以，L1的斜率为3设L1：y=3x+b再将A（4，-3）代入可得：L1：y=3x-15那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数表达式应该是可以求的了，但若每一点都这样去求的话不是很麻烦？所以，还得找到一个通用的公式。所以，L1的斜率为3那么，这一条曲线上某点的切线的斜率和函数31设该点的坐标为（x,y）再按照上面方法求一遍(x-p)^2-5*(x-p)+1=y-q(x^2-5x+1)+p^2-2px+5p=y-q(展开并整理)p^2-2px+5p=-qp-2x+5=-q/p(同除以p)p可以忽略不计所以，q/p=2x-5设该点的坐标为（x,y）再按照上面方法求一遍32可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为2x-5可以得出，y=x^2-5x+1在(x,y)处的切线的斜率为233设这个函数式的解析式为：y=ax^2+bx+c同样有点A,A’,切线L1，L1’。设A(x,y),A’(x+p,y+q)设这个函数式的解析式为：34a(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q(ax^2+bx+c)+2apx+ap^2+bp=y+q(展开并整理)2apx+bp+ap^2=q2ax+b+ap=q/p(除以p)

所以p/q=2ax+ba(x+p)^2+b(x+p)+c=y+q35所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x，y）的切线L1的斜率为2ax+b.那么，二次函数是如此，三次函数呢？所以对于任意二次函数曲线(y=ax^2+bx+c)上的点（x36先画个图。同样的，作出A’.设此函数式为：y=ax^3+bx^2+cx+d可以列出方程：a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q(和前几次一样展开、化简)3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p)先画个图。同样的，作出A’.设此函数式为：y=ax^3+b373ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p(两边同除以p)如何化简？因为p可以忽略不计，所以3axp,ap^2,bp可以忽略所以，q/p=3ax^2+2bx+c即对于所有3次函数曲线（y=ax^3+bx^2+cx+d）的某点（x，y）的斜率为3ax^2+2bx+c。3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p38那如果是相对与全体函数呢？（理论上曲线都可以用函数表示）那如果是相对与全体函数呢？（理论上曲线都可以用函数表示）39由对于二次函数曲线和三次函数曲线的总体的研究，我们可以发现，解关于斜率的方程都是将坐标（x+p,y+q）代入N次方程中然而，如果将不同指数的每一项分开看的话（这里以三次项为范例）a(x+p)^3+b(x+p)^2+c(x+p)+d=y+q3ax^2p+3axp^2+ap^3+2bxp+bp^2+cp=q3ax^2+3axp+ap^2+2bx+bp+c=q/p3ax^2+2bx+c=q/pa(x+p)^3ax^3+3ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2p+3axp^2+ap^33ax^2+3axp+ap^2展开将原有的部分去除除以p仍带有p的