数学11线性空间及其子空间课件

应用数学基础

主讲人谢政工程硕士研究生课程1/5/20231应用数学基础主讲人谢政工程硕士研究生课程12/第

1

章线性空间1.1线性空间及其子空间

1.2线性算子

1.3赋范线性空间

1.4内积空间

1/5/20232第1章线性空间1.1线性空间及其子空间1.21.1线性空间及其子空间

1.1.1集合

1.1.2线性空间的定义与例子

1.1.3线性空间的子空间

1.1.4线性空间的基和维数

1/5/202331.1线性空间及其子空间1.1.1集合1.1.1.1.1集合

集合由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合

.常用大写字母表示,如A,

B,C等元素集合中的个体事物称为该集合的元素.常用小写字母表示,如a,b,c等集合与元素的关系:集合的表示法把一个集合的所有元素都列举出来,如

(1)列举法;

(2)描述法把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来,如

1/5/202341.1.1集合集合由具有某种性质所确定的事1.1.1集合

几种数集

表示自然数的集合

表示整数的集合

表示有理数的集合

表示实数的集合

表示复数的集合

1/5/202351.1.1集合几种数集表示自然数的集合表示整数的1.1.1集合

几个符号

表示“蕴涵”

表示“当且仅当”

表示“对任意的”或“对一切的”

表示“存在一个”或“至少有一个”

s.t.表示“使得”或“满足”

subjecttoExistAny1/5/202361.1.1集合几个符号表示“蕴涵”表示“当且仅当1.1.1集合

集合之间的关系若,称

A

是

B

的子集,若且,称A与B

相等,记为若且,称A是B的真子集,记为记为也称

A

包含于

B(或

B

包含

A

),1/5/202371.1.1集合集合之间的关系若1.1.1集合

由无限个元素组成的集合称为无限集.由有限个元素组成的集合称为有限集.用记号|A|表示有限集A

中的元素的个数,称|A|为集合A

的基数.不含任何元素的集合称为空集,记作规定空集是一切集合的子集

.1/5/202381.1.1集合由无限个元素组成的集合称为无限集.由有1.1.1集合

交并差定义1.1设A,

B是两个集合,则定义它们的集合之间的运算1/5/202391.1.1集合交并差定义1.1设A,B是1.1.1集合

(3)结合律

(4)分配律

定理1.1设A,B,C均为集合,则有(1)幂等性

(2)交换律

1/5/2023101.1.1集合(3)结合律(4)分配律定1.1.1集合

n

个集合的直积定义为例如这里n和n中的元素用列向量的形式表示.

定义1.2

(Descartes乘积、直积)

当集合A和B有一个为空集时,

规定

1/5/2023111.1.1集合n个集合的直积定义为例如这里1.1.1集合

数域定义1.3设

是含1的数集,如果

对于四则运算是封闭的,即则称

是一个数域.,,是数域,,不是数域.的子集称为数集.1/5/2023121.1.1集合数域定义1.3设是含1的数集,1.1.1集合

实数集的确界定义1.4

设(1)

若存在满足(a)

有(b)

则称是A

的上确界,记为.

superemum1/5/2023131.1.1集合实数集的确界定义1.4设(1)1.1.1集合

当和存在时,

和必定是惟一的.

(2)

若存在满足(a)

有(b)

则称是A

的下确界,记为.

infimum1/5/2023141.1.1集合当和1.1.1集合

如果非空实数集A有最大(小)值,那么它就是A的上(下)确界.反之不真.确界存在公理任何有上(下)界的非空实数集必有上(下)确界.非空实数集

A

的最大值(或最小值)是指

A

中所有实数的最大者(或最小者),记为(或).maximumminimum1/5/2023151.1.1集合如果非空实数集A有最大(小)值,1.1.2线性空间的定义及例子

定义1.5

设X是非空集合,

是数域(

=

或

).在X

上定义加法“+”:

在和X上定义数乘

“

”(

算式中的“

”可省略):并且满足

交换律

结合律1/5/2023161.1.2线性空间的定义及例子定义1.5设X1.1.2线性空间的定义及例子

零元素负元素

结合律

分配律

分配律则称X是数域上的线性空间.1/5/2023171.1.2线性空间的定义及例子零元素负元素结合律分1.1.2线性空间的定义及例子

上述加法运算和数乘运算统称为线性运算．当时,称X是为实线性空间;当时,称X是为复线性空间.在一个线性空间中,零元素0是惟一的;

任何一个元素x的负元素也是惟一的,记之为x

.1/5/2023181.1.2线性空间的定义及例子上述加法运算和数乘运算统1.1.2线性空间的定义及例子

例1.1定义加法和数乘:则n是数域上的线性空间.按照同样的加法和数乘,

n是数域上的线性空间.线性空间n和n称为向量空间.1/5/2023191.1.2线性空间的定义及例子例1.1定义加法和数乘:1.1.2线性空间的定义及例子

例1.2

设是全体实矩阵的集合,

在上定义加法和数乘:1/5/2023201.1.2线性空间的定义及例子例1.2设1.1.2线性空间的定义及例子

则是数域上的线性空间.同样可以定义全体复矩阵的集合上定义矩阵的加法和数乘,使是数域上的线性空间.线性空间和称为矩阵空间.线性空间和称为方阵空间.1/5/2023211.1.2线性空间的定义及例子则是数域1.1.2线性空间的定义及例子

例1.3

设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函数(包括零函数)的集合,函数的加法和数与函数的乘法为则C[a,b]是数域上的线性空间.1/5/2023221.1.2线性空间的定义及例子例1.3设C[a,1.1.2线性空间的定义及例子

闭区间[a,b]上全体多项式的集合P

[a,b],

所有n

次多项式的集合,按照C[a,b]上的线性运算不构成线性空间.注以及[a,b]按照C[a,b]上的线性运算分别成为数域上的线性空间.上所有次数不超过n

的多项式的集合Pn[a,b],

1/5/2023231.1.2线性空间的定义及例子闭区间[a,b]上全1.1.3线性空间的子空间定义1.6

设X是数域上的线性空间,

Y是X

的一个非空子集,如果Y

对X

的线性运算是封闭的,即则称Y

是X

的线性子空间,简称为X

的子空间.在线性空间X

的线性运算下,

Y

本身是线性空间.2.仅含零元素的集合{0}以及X

本身都是X的子空间.3.P[a,b]

和Pn[a,b]

都是线性空间C[a,b]

的子空间.注1/5/2023241.1.3线性空间的子空间定义1.6设X是数域1.1.3线性空间的子空间例1.4在线性空间3中,过原点(0,0,0)的平面是3的一个线性子空间,其中a,

b,

c

是三个给定实数.

1/5/2023251.1.3线性空间的子空间例1.4在线性空间31.1.3线性空间的子空间例1.5设Amn,bm,b0,则齐次线性方程组Ax0的解的集合

是n

的一个线性子空间.

非齐次线性方程组Axb的解的集合

是n

的一个子集,但不是n

的子空间.

1/5/2023261.1.3线性空间的子空间例1.5设Am1.1.3线性空间的子空间定义1.7

设X是数域上的线性空间,

称X

中的元素(1.1)是x1,x2,,

xn的一个线性组合;

如果,且则称(1.1)式中x

是x1,x2,,

xn的凸组合;

则称(1.1)式中x

是x1,x2,,

xn的严格凸组合.

如果,且1/5/2023271.1.3线性空间的子空间定义1.7设X是数域1.1.3线性空间的子空间例1.6

设

X是

上的线性空间,

M是

X

的非空子集,令即

spanM

是由M中任何有限个元素的任意线性组合的全体组成的集合,则

spanM

是包含

M

的最小线性空间,亦即是X

中一切包含

M

的子空间的交

,称

spanM为由M

生成的子空间.1/5/2023281.1.3线性空间的子空间例1.6设X是上1.1.3线性空间的子空间例1.7

考虑向量空间n中的向量组(1.2)则n中的任何一个向量

x

(x1,x2,,

xn)T都可由向量组

e1,e2,,

en线性表示,即1/5/2023291.1.3线性空间的子空间例1.7考虑向量空间n1.1.3线性空间的子空间并且

nspan{e1,e2,,

en}.同样复向量空间n中的任何一个向量都可由向量组e1,e2,,

en线性表示,且

nspan{e1,e2,,

en}.

定义1.8

设X是实线性空间,

S

X,若x1,x2S,有则称S

为X

中的凸集.

1/5/2023301.1.3线性空间的子空间并且1.1.3线性空间的子空间连接其中任意两点间的线段上的所有点都属于此集合.凸集的几何特征(a)凸集x1(b)非凸集x2x1实线性空间

X

的每一个子空间都是

X

的凸集．2

中的圆或凸多边形所围成的区域都是

2

的凸集

．

1/5/2023311.1.3线性空间的子空间连接其中任意两点间的线段上的所1.1.4线性空间的基和维数定义1.9

设

X是数域

上的线性空间,

M

是X

的非空子集,当M

{x1,x2,,

xr}

为有限集时,如果则称

M

线性无关;

当M

为无限集时,如果

M

的每一个非空有限子集都是线性无关的,则称M是线性无关的.如果集合M不是线性无关的,则称M

是线性相关的.1/5/2023321.1.4线性空间的基和维数定义1.9设X是1.1.4线性空间的基和维数无关集,

定义1.10

设X是数域上的线性空间,B

X是线性如果

spanB

X,即

X

的每一个元素都可以由B

中有限个元素线性表示,则称

B

是

X

的一个基.

当基

B

为有限集时,称X

为有限维线性空间,称

|B|

为线性空间X

的维数,记为dimX|B|;否则称X

为无限维线性空间.1/5/2023331.1.4线性空间的基和维数无关集,定义1.101.1.4线性空间的基和维数

有限维线性空间X

的基是不惟一的,但是X

的每一个基所含元素的个数必定是相同的.向量集{e1,e2,,

en}是n(或n

)的一个基,从而dimndimn

n.向量集也是n(或n

)的一个基.注1.因线性空间{0}没有基,故规定

dim{0}0.1/5/2023341.1.4线性空间的基和维数有限维线性空间X的基是1.1.4线性空间的基和维数例1.8

考虑函数则(1)是C[a,b]中一个线性无关集;(4)B

不是C[a,b]的基.

(2)

B

是P[a,b]的一个基;是Pn[a,b]的一个基,故(3)1/5/2023351.1.4线性空间的基和维数例1.8考虑函数则(11.1.4线性空间的基和维数例1.9

mn和mn都是mn

维线性空间.第i

行第j列元素为1其余元素全为0的矩阵,则是mn和mn的一个基,且dimmn

dimmnmn.用Eij表示1/5/2023361.1.4线性空间的基和维数例1.9mn和应用数学基础

主讲人谢政工程硕士研究生课程1/5/202337应用数学基础主讲人谢政工程硕士研究生课程12/第

1

章线性空间1.1线性空间及其子空间

1.2线性算子

1.3赋范线性空间

1.4内积空间

1/5/202338第1章线性空间1.1线性空间及其子空间1.21.1线性空间及其子空间

1.1.1集合

1.1.2线性空间的定义与例子

1.1.3线性空间的子空间

1.1.4线性空间的基和维数

1/5/2023391.1线性空间及其子空间1.1.1集合1.1.1.1.1集合

集合由具有某种性质所确定的事物的全体称为集合

.常用大写字母表示,如A,

B,C等元素集合中的个体事物称为该集合的元素.常用小写字母表示,如a,b,c等集合与元素的关系:集合的表示法把一个集合的所有元素都列举出来,如

(1)列举法;

(2)描述法把一个集合的元素所具有的特征性质表示出来,如

1/5/2023401.1.1集合集合由具有某种性质所确定的事1.1.1集合

几种数集

表示自然数的集合

表示整数的集合

表示有理数的集合

表示实数的集合

表示复数的集合

1/5/2023411.1.1集合几种数集表示自然数的集合表示整数的1.1.1集合

几个符号

表示“蕴涵”

表示“当且仅当”

表示“对任意的”或“对一切的”

表示“存在一个”或“至少有一个”

s.t.表示“使得”或“满足”

subjecttoExistAny1/5/2023421.1.1集合几个符号表示“蕴涵”表示“当且仅当1.1.1集合

集合之间的关系若,称

A

是

B

的子集,若且,称A与B

相等,记为若且,称A是B的真子集,记为记为也称

A

包含于

B(或

B

包含

A

),1/5/2023431.1.1集合集合之间的关系若1.1.1集合

由无限个元素组成的集合称为无限集.由有限个元素组成的集合称为有限集.用记号|A|表示有限集A

中的元素的个数,称|A|为集合A

的基数.不含任何元素的集合称为空集,记作规定空集是一切集合的子集

.1/5/2023441.1.1集合由无限个元素组成的集合称为无限集.由有1.1.1集合

交并差定义1.1设A,

B是两个集合,则定义它们的集合之间的运算1/5/2023451.1.1集合交并差定义1.1设A,B是1.1.1集合

(3)结合律

(4)分配律

定理1.1设A,B,C均为集合,则有(1)幂等性

(2)交换律

1/5/2023461.1.1集合(3)结合律(4)分配律定1.1.1集合

n

个集合的直积定义为例如这里n和n中的元素用列向量的形式表示.

定义1.2

(Descartes乘积、直积)

当集合A和B有一个为空集时,

规定

1/5/2023471.1.1集合n个集合的直积定义为例如这里1.1.1集合

数域定义1.3设

是含1的数集,如果

对于四则运算是封闭的,即则称

是一个数域.,,是数域,,不是数域.的子集称为数集.1/5/2023481.1.1集合数域定义1.3设是含1的数集,1.1.1集合

实数集的确界定义1.4

设(1)

若存在满足(a)

有(b)

则称是A

的上确界,记为.

superemum1/5/2023491.1.1集合实数集的确界定义1.4设(1)1.1.1集合

当和存在时,

和必定是惟一的.

(2)

若存在满足(a)

有(b)

则称是A

的下确界,记为.

infimum1/5/2023501.1.1集合当和1.1.1集合

如果非空实数集A有最大(小)值,那么它就是A的上(下)确界.反之不真.确界存在公理任何有上(下)界的非空实数集必有上(下)确界.非空实数集

A

的最大值(或最小值)是指

A

中所有实数的最大者(或最小者),记为(或).maximumminimum1/5/2023511.1.1集合如果非空实数集A有最大(小)值,1.1.2线性空间的定义及例子

定义1.5

设X是非空集合,

是数域(

=

或

).在X

上定义加法“+”:

在和X上定义数乘

“

”(

算式中的“

”可省略):并且满足

交换律

结合律1/5/2023521.1.2线性空间的定义及例子定义1.5设X1.1.2线性空间的定义及例子

零元素负元素

结合律

分配律

分配律则称X是数域上的线性空间.1/5/2023531.1.2线性空间的定义及例子零元素负元素结合律分1.1.2线性空间的定义及例子

上述加法运算和数乘运算统称为线性运算．当时,称X是为实线性空间;当时,称X是为复线性空间.在一个线性空间中,零元素0是惟一的;

任何一个元素x的负元素也是惟一的,记之为x

.1/5/2023541.1.2线性空间的定义及例子上述加法运算和数乘运算统1.1.2线性空间的定义及例子

例1.1定义加法和数乘:则n是数域上的线性空间.按照同样的加法和数乘,

n是数域上的线性空间.线性空间n和n称为向量空间.1/5/2023551.1.2线性空间的定义及例子例1.1定义加法和数乘:1.1.2线性空间的定义及例子

例1.2

设是全体实矩阵的集合,

在上定义加法和数乘:1/5/2023561.1.2线性空间的定义及例子例1.2设1.1.2线性空间的定义及例子

则是数域上的线性空间.同样可以定义全体复矩阵的集合上定义矩阵的加法和数乘,使是数域上的线性空间.线性空间和称为矩阵空间.线性空间和称为方阵空间.1/5/2023571.1.2线性空间的定义及例子则是数域1.1.2线性空间的定义及例子

例1.3

设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函数(包括零函数)的集合,函数的加法和数与函数的乘法为则C[a,b]是数域上的线性空间.1/5/2023581.1.2线性空间的定义及例子例1.3设C[a,1.1.2线性空间的定义及例子

闭区间[a,b]上全体多项式的集合P

[a,b],

所有n

次多项式的集合,按照C[a,b]上的线性运算不构成线性空间.注以及[a,b]按照C[a,b]上的线性运算分别成为数域上的线性空间.上所有次数不超过n

的多项式的集合Pn[a,b],

1/5/2023591.1.2线性空间的定义及例子闭区间[a,b]上全1.1.3线性空间的子空间定义1.6

设X是数域上的线性空间,

Y是X

的一个非空子集,如果Y

对X

的线性运算是封闭的,即则称Y

是X

的线性子空间,简称为X

的子空间.在线性空间X

的线性运算下,

Y

本身是线性空间.2.仅含零元素的集合{0}以及X

本身都是X的子空间.3.P[a,b]

和Pn[a,b]

都是线性空间C[a,b]

的子空间.注1/5/2023601.1.3线性空间的子空间定义1.6设X是数域1.1.3线性空间的子空间例1.4在线性空间3中,过原点(0,0,0)的平面是3的一个线性子空间,其中a,

b,

c

是三个给定实数.

1/5/2023611.1.3线性空间的子空间例1.4在线性空间31.1.3线性空间的子空间例1.5设Amn,bm,b0,则齐次线性方程组Ax0的解的集合

是n

的一个线性子空间.

非齐次线性方程组Axb的解的集合

是n

的一个子集,但不是n

的子空间.

1/5/2023621.1.3线性空间的子空间例1.5设Am1.1.3线性空间的子空间定义1.7

设X是数域上的线性空间,

称X

中的元素(1.1)是x1,x2,,

xn的一个线性组合;

如果,且则称(1.1)式中x

是x1,x2,,

xn的凸组合;

则称(1.1)式中x

是x1,x2,,

xn的严格凸组合.

如果,且1/5/2023631.1.3线性空间的子空间定义1.7设X是数域1.1.3线性空间的子空间例1.6

设

X是

上的线性空间,

M是

X

的非空子集,令即

spanM

是由M中任何有限个元素的任意线性组合的全体组成的集合,则

spanM

是包含

M

的最小线性空间,亦即是X

中一切包含

M

的子空间的交

,称

spanM为由M

生成的子空间.1/5/2023641.1.3线性空间的子空间例1.6设X是上1.1.3线性空间的子空间例1.7

考虑向量空间n中的向量组(1.2)则n中的任何一个向量

x

(x1,x2,,

xn)T都可由向量组

e1,e2,,

en线性表示,即1/5/2023651.1.3线性空间的子空间例1.7考虑向量空间n1.1.3线性空间的子空间并且

nspan{e1,e2,,

en}.同样复向量空间n中的任何一个向量都可由向量组e1,e2,,

en线性表示,且

nspan{e1,e2,,

en}.

定义1.8

设X是实线性空间,

S

X,若x1,x2S,有则称S

为X

中的凸集.

1/5/2023661.1.3线性空间的子空间并且1.1.3线性空间的子空间连接其中任意两点间的线段上的所有点都属于此集合.凸集的几何特征(a)凸集x1(b)非凸集x2x1