导数及其应用.板块三.导数的应用3-最值.教师版 普通高中数学复习讲义Wo版

导数及其应用.板块三.导数的应用3-最值.教师版普通高中数学复习讲义Word版

典例分析题型四：函数的最值【例1】函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（

）A．

B．

C．

D．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】2004，江苏，高考【解析】，令得，又，，，，故选C．【答案】C【例2】已知（是常数）在上有最大值，那么在上的最小值是（

）A．

B．

C．

D．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】，令，解得或；当时，；于是在上单调增，在上单调减；于是在上的最大值为．故；，故在的最小值为．【答案】D【例3】设函数则的最大值为．【考点】函数的最值【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】，∵，令，解得；令，解得，从而在上单调递增，在上单调递减，故在时取极大值，也即最大值．故．运用均值不等式也可以求解．【答案】【例4】函数的最大值是（

）A．

B．

C．

D．【考点】函数的最值【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】，故在上单调递增，在上单调递减，又此函数的图象为一条连续的曲线，故最大值为．【答案】A【例5】设函数，则（

）A．有最大值

B．有最小值

C．是增函数

D．是减函数【考点】函数的最值【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】，又，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值．当然也可以通过对勾函数的性质得到．【答案】A【例6】对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的“下确界”，则函数的下确界为．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】填空【关键词】1【解析】先求函数的最小值，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，，从而对，有；又，故的最小值为，由下确界定义知函数的下确界也为．【答案】【例7】设函数在内有定义．对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则（）A．的最大值为

B．的最小值为C．的最大值为

D．的最小值为【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，湖南，高考【解析】由，知，所以时，，当时，，所以，即的值域是，而要使在上恒成立，只有D符合，此时．【答案】D【例8】下列说法正确的是（

）A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C．满足的点可能不是函数的极值点D．函数在区间上一定存在最值【考点】函数的最值【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】【答案】C【例9】函数在区间上的最大值是；最小值是．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故的极值有，端点的函数值有，从而所求最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．【例10】对于函数，有下列命题：①过该函数图象上一点的切线的斜率为；②函数的最小值为；③该函数图象与轴有个交点；④函数在上为减函数，在上也为减函数．其中正确命题的序号是．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】填空【关键词】1【解析】时，，从而，①正确；当时，在时，为此时的最小值；当时，先减后增，在时取到极小值，故②正确；易知③正确（一负根，一零根，两正根，对应四个交点）；④也正确．【答案】①②③④【例11】已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】选择【关键词】2010，西城，二模，题141【解析】对求导，有．①当时，对有恒成立，因此函数是上的增函数；②当时，有解，设解为，则区间左侧右侧单调减最小值单调增因此，对于任意，函数存在最小值；③对于，，取（∵，∴这样的一定存在），则，因此③不成立；④若该命题不成立，则意味着对于任何，对于恒成立．事实上，取，，则，矛盾．因此该命题成立．【答案】②、④【例12】已知在区间上是减函数，那么（

）A．有最大值

B．有最大值

C．有最小值

D．有最小值【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】，由题意，因此，相加化简得，即有最大值．【答案】A【例13】求在上的最大值和最小值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】，令得，，结合的图象知：在处有极大值；在处有极小值；在区间端点处，，比较上述结果得：在上的最大值为，最小值为．【答案】最大值为，最小值为．【例14】已知函数．⑴求函数的单调递减区间；⑵当时，求函数的最大值和最小值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴，令，解得，∴函数的单调递减区间为．⑵列表

－＋

5极小值∴．【答案】⑴的单调递减区间为．⑵．【例15】已知函数的最大值为，最小值为，求、的值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】，显然，否则为常数，矛盾，∴为在上唯一可能的极值点．⑴若，列表如下：增函数最大值减函数由表可知，当时，取得最大值，∴，又，，有，从而有；⑵若，同理有在上单调递减，在上单调递增，，又，∴；综上知：，或，．【答案】，或，．【例16】已知函数，其中．若在区间上的最小值为，求的值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】，令，解得．当时，最小值只能在处取到，而，与最小值为不符；当时，最小值只能在时取到，，因此只可能．经验证符合要求．【答案】【例17】已知，函数，当为何值时，取得最小值？【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2005，全国，高考【解析】，令，解得，的单调区间如下表所示：极大值极小值∴在=处取得极大值，在=处取得极小值，于是由单调区间知在上的最小值为．只需要证明当时，，则为的最小值．当时，，即．注意到，而当时=，所以时，．由的单调性知因此时，．所以当时，取得最小值．【答案】【例18】设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．⑴求，，的值；⑵求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴∵为奇函数，∴，即，∴∵的最小值为，∴又直线的斜率为，因此，．∴，，．⑵．，列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和∵，，∴在上的最大值是，最小值是．【答案】⑴，，．⑵最大值是，最小值是．【例19】设，函数．⑴若是函数的极值点，求的值；⑵若函数在处取得最大值，求的取值范围．⑶若函数在时的最大值为，求的值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题212【解析】⑴．因为是函数的极值点，所以，即，因此．经验证，当时，是函数的极值点．⑵由题设，．当在区间上的最大值为时，，即．故得．反之，当时，对任意，，而，故在区间上的最大值为．综上，的取值范围为．⑶∵，故不在时取到最大值，故．此时，有两个相异的实根，记为（），∵，故在（）上单调递减，在上单调递增．又在上的最大值不在时取到，故必有，且在最大值在时取到，即．【答案】⑴；⑵的取值范围为．⑶．【例20】已知函数，⑴求的单调递减区间；⑵若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2005，北京，高考，题15【解析】⑴．令，解得或，所以函数的单调递减区间为．⑵因为，，所以．因为在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值，于是有，解得．故，因此，即函数在区间上的最小值为．【答案】⑴的单调递减区间为．⑵最小值为．【例21】已知．⑴当时，讨论的单调性、极值；⑵是否存在实数，使的最小值是，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴∵，，∴当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．∴的极小值为．⑵假设存在实数，使有最小值，．①当时，由于，则．∴函数是上的增函数，∴，解得（舍去）．②当时，则当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数．∴，解得．由①、②知，存在实数，使得当时，有最小值．【答案】⑴在上单调递减，在上单调递增；有极小值．⑵存在实数．【例22】设，函数．⑴当时，求曲线在处的切线方程；⑵当时，求函数的单调性；⑶当，时，求函数的最小值．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴当时，．令，易得，，所以切点为，切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为：．⑵当时，．当时，，在内单调递减，内单调递增；当时，恒成立，故在内单调递增；综上，在内单调递减，内单调递增．⑶①当时，，∴恒成立，在上为增函数．故当时，．②当时，，在上为减函数，在上为增函数，因此当时，．【答案】⑴；⑵在内单调递减，内单调递增．⑶．【例23】设是函数的一个极值点．⑴求与的关系式（用表示），并求的单调区间；⑵设，．若存在使得成立，求的取值范围．【考点】函数的最值【难度】4星【题型】解答【关键词】2006，湖北，高考3【解析】⑴，由，得，得，则．令，得，，由于是极值点，，那么．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．⑵由⑴知，当时，，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，，，那么在区间上的值域是．又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，由于，所以只须仅须且，解得．故的取值范围是．【答案】⑴，单调区间见解析；⑵．【例24】已知函数，．⑴求的单调区间和值域；⑵设，函数，．若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2005，全国，高考4【解析】⑴对函数求导，得，令，解得或．当变化时，、的变化情况如下：0极小值所以，当时，为减函数；当时，是增函数；当时，的值域为．⑵对函数求导，得．因为，当时，．因此当时，为减函数，从而当时有．又，，即当时有．任给，，存在使得，则，即解式①得或；解式②得．又，故的取值范围为．【答案】⑴的单调增区间为，单调减区间为，值域为；⑵．【例25】已知函数，，且有极值．⑴求实数的取值范围；⑵求函数的值域；⑶函数，证明：，，使得成立．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴由求导可得，令，可得．∵，∴，∴又因为极大值所以，有极值，实数的取值范围为．⑵由⑴可知的极大值为．又∵，，由，解得，又∵∴当时，函数的值域为当时，函数的值域为．⑶由求导可得．令，解得．令，解得或．又∵，∴在上为单调递增函数．∵，，∴在的值域为．∵，，∴，．∴，，使得成立．【答案】⑴；⑵当时，函数的值域为当时，函数的值域为．⑶见解析．【例26】已知函数．⑴当时，讨论的单调性；⑵设．当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围．【考点】函数的最值【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，山东，高考22【解析】⑴因为，所以，令，，（ⅰ）当时，，，所以当时，，此时，函数单调递；当时，，此时，函数单调递增．（ⅱ）当时，，即，解得，．①当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；②当时，，时，此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增；时，，此时，函数单调递减；③当时，由于，时，，此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增．综上所述：当时，函数在和上单调递减；当时，函数在上单调递减；当时，函数在和上单调递减，在上单调递增；⑵因为，由⑴知，，，当时，．函数单调递减；当时，，函数在单调递增，所以在上的最小值为．由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”．又，，所以①当时，因为，此时与矛盾；②当时，因为，同样与矛盾；③当时，．解不等式，可得．综上，的取值范围是．【答案】⑴当时，函数在和上单调递减；当时，函数在上单调递减；当时，函数在和上单调递减，在上单调递增；⑵的取值范围是．【例27】设函数⑴当时，求的单调区间；⑵若在上的最大值为，求的值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，江西，高考191【解析】函数的定义域为，，⑴当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；⑵当时，，即在上单调递增，故在上的最大值为，因此．【答案】⑴的单调递增区间为，单调递减区间为；⑵．【例28】已知函数．⑴当时，求函数的单调区间；⑵若函数在上的最小值是求的值．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题181【解析】函数的定义域为，⑴∵，∴故函数在其定义域上是单调递增的．⑵在上，发如下情况讨论：①当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；②当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；③当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，所以函数满足最小值为由，得．④当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾；⑤当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，仍与最小值是相矛盾；综上所述，的值为．【答案】⑴的单调递增区间为；⑵．【例29】已知是实数，函数．⑴若，求的值及曲线在点处的切线方程；⑵求的极值．⑶求在区间上的最大值．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2008，浙江，高考，题215【解析】⑴，因为，所以．又当时，，，所以曲线在处的切线方程为．⑵令，解得，．①时，，无极值；②时，或，故在与上单调增，在上单调减，故在处有极大值；在处有极小值．③时，或，故在与上单调增，在上单调减，故在处有极大值；在处有极小值．⑶，①当，即时，在上单调递增，从而；②当，即时，在上单调递减，从而；③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而．综上所述，．【答案】⑴；⑵见解析；⑶．【例30】已知函数，．⑴讨论的单调性；⑵设，求在区间上的值域，其中是自然对数的底数．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2009，安徽，高考【解析】⑴的定义域是，导函数．设，二次方程的判别式．①当即时，对一切都有．此时是上的单调递增函数．②当即时，仅对有，对其余的都有．此时也是上的单调递增函数．③当即时，方程有两个不同的实根，，．极大值极小值此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．⑵当时，方程有两个不同的实根．由⑴知，在内，当时取得极值，，，．因为，所以在区间上的值域为．【答案】⑴见解析；⑵．【例31】已知为实数，．⑴求导数；⑵若，求在上的最大值和最小值；⑶若在和上都是递增的，求的取值范围．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴由原式得，∴；⑵由得，此时有，．令得或，又，所以在上的最大值为，最小值为；⑶法一：的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件得，即

∴．所以的取值范围为．法二：令即，由求根公式得：所以在和上非负．由题意可知，当或时，，从而，，即，解不等式组得．∴的取值范围是．【答案】⑴；⑵的最大值为，最小值为；⑶的取值范围是．【例32】已知函数，⑴若在上是减函数，求的最大值；⑵若的单调递减区间是，求函数图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】⑴，由题意可知，在上恒有则且，得，所以的最大值为．⑵∵的单调递减区间是，∴的两个根为和1，可求得，∴，①若不是切点，则设切线的切点为，，则有，，解得（舍），，∴，②若是切点，则，综上，切线方程为，∴这两条切线方程与两坐标轴围成的图形，为直角梯形，它的面积．【答案】⑴；⑵．【例33】设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形的面积为，⑴求切线的方程；⑵求的最大值．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2004，浙江，高考【解析】⑴，，故切线的方程为，即．⑵令得：；令得：；故，求导得：，又，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．∴在极大值，也即最大值在处取到，．【答案】⑴；⑵．【例34】已知函数，，⑴若在区间上的最大值为1，最小值为，求、的值；⑵在⑴的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；⑶设函数的导函数为，函数，试判断函数的极值点个数，并求出相应实数的范围．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2008，朝阳，二模【解析】⑴∵，∴由，得，．又，，∴当时，，递增；当时，，递减．∴在区间上的最大值为，∴．又，，∴．由题意得，即，得．故，为所求．⑵由⑴得，易知点在曲线上．又，∴当切点为时，切线的斜率，∴的方程为，即．当点不是切点时，设切点为，切线的斜率，∴的方程为．又点在上，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴切线的方程为．故所求切线的方程为或．（或者：由⑴知点为极大值点，所以曲线的点处的切线为，恰好经过点，符合题意．）⑶由已知得，∴．∴．∵，二次函数的判别式为，整理，得．又，∴当时，，此时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．【答案】⑴，；⑵或．⑶当时，有个极值点；当时，有两个极值点．【例35】在实数集上定义运算，若，，若．⑴求的解析式；⑵若在上是减函数，求实数的取值范围；⑶若，的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】⑴=；⑵∵，当上时，单调递减∴对恒成立，∴，解得：；⑶时，，设是曲线上的任意两点，∵，∴不成立，∴的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．【答案】⑴；⑵；⑶不存在．【例36】已知函数，，且．⑴若，求的值；⑵当时，求函数的最大值；⑶求函数的单调递增区间．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，朝阳，二模，题18【解析】⑴函数的定义域为，．由，解得．⑵由，得．由，解得；由，解得．所以函数在区间递增，递减．因为是在上唯一一个极值点，故当时，函数取得最大值，最大值为．⑶因为ⅰ）当时，．令解得．ⅱ）时，令，解得或．①当即时，由，及得，解得，或；②当即时，因为，恒成立．③当即时，由，及得，解得，或；综上所述，当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，．【答案】⑴；⑵；⑶当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，；当时，函数的递增区间是；当时，函数的递增区间是，．【例37】已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．【考点】函数的最值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，宣武，二模，题18【解析】⑴∵是的极值点，∴，即，解得或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴由可知和是的极值点．∵∴在区间上的最大值为．⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．而的两根为，，区间长为，∴在区间上不可能有2个零点．所以，即．∵，∴．又∵，∴．【答案】⑴或2．⑵；⑶．【例38】已知函数⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，①求在区间上的最大值；②求函数的单调区间．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，宣武，二模，题18【解析】⑴．∵是极值点，∴，即．∴或2．⑵∵在上．∴∵在上，∴又，∴∴，解得∴；①由可知和是的极值点．∵∴在区间上的最大值为．②，令，得当时，，此时在单调递减当时：0+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增．当时：00+0极小值极大值此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增．【答案】⑴或2．⑵①；②当时，在单调递减；时，在单调递减，在单调递增；时，在单调递减，在单调递增．【例39】已知函数，其中．⑴求函数的零点；⑵讨论在区间上的单调性；⑶在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值【难度】3星【题型】解答【关键词】2010，西城，一模，题191【解析】⑴令，得，所以函数的零点为．⑵函数在区域上有意义，，令得，因为，所以，当在定义域上变化时，的变化情况如下：所以在区间上是增函数，在区间上是减函数．⑶在区间上存在最小值，证明：由⑴知是函数的零点，因为，所以．由知，当时，．又函数在上是减函数，且．所以函数在区间上的最小值为，且．所以函数在区间上的最小值为．计算得．【答案】⑴；⑵在区间上是增函数，在区间上是减函数．⑶存在最小值．【例40】已知函数，其中．⑴若函数存在零点，求实数的取值范围；⑵当时，求函数的单调区间，并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【考点】函数的最值【难度】4星【题型】解答【关键词】2010，西城，一模，题201【解析】⑴设有零点，即函数有零点，所以，解得或；⑵，令得或，因为，所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．此时，存在最小值．的极小值为．根据的单调性，在区间上的最小值为m，解=0，得的零点为和，结合可得在区间和上，．因为，所以，并且，即，综上，在区间和上，，在区间上的最小值为，，所以，当时存